數(shù)值分析實(shí)習(xí)報(bào)告-劉仕進(jìn)

數(shù)值分析實(shí)習(xí)報(bào)告學(xué)院：數(shù)理學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號：20091003078姓名：劉仕進(jìn)指導(dǎo)老師：吳振遠(yuǎn)20111年11月27日目錄1.緒論2.用Matlab進(jìn)行插值計(jì)算3.多項(xiàng)式曲線擬合4.解線性方程5.用Matlab求解非線性方程的跟1．緒論數(shù)值分析是研究分析用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)計(jì)算問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論的學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的理論和方法為研究對象。MATLAB是主要面對科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案。2.用matlab進(jìn)行插值計(jì)算下列數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值X01491625364964Y012345678可以得到平方根函數(shù)的近似，在區(qū)間[0,64]上作圖。(1)用這9個(gè)點(diǎn)作8次多項(xiàng)式插值.(2)用三次樣條（第一邊界條件）程序求.從得到的結(jié)果看在[0,64]上，哪個(gè)插值更精確；在區(qū)間[0,1]上，兩種插值哪個(gè)更精確？2.1程序文件建立新的m文件unit2.m：代碼如下：clc;clear;x=[0,1,4,9,16,25,36,49,64];y=[0:8];xi=[0:64];p=polyfit(x,y,8);yi=polyval(p,xi);subplot(2,2,1);plot(x,y,'x',xi,yi,'k')xlabel('x軸');ylabel('y軸');legend('插值點(diǎn)','8次差值多項(xiàng)式')yi=interp1(x,y,xi,'cubic');subplot(2,2,2);plot(x,y,'x',xi,yi,'k')xlabel('x軸');ylabel('y軸');legend('插值點(diǎn)','三次樣條插值')xi=[0:0.01:1];p=polyfit(x,y,8);yi=polyval(p,xi);subplot(2,2,3);plot(xi,yi,'k')xlabel('x軸');ylabel('y軸');legend('8次差值多項(xiàng)式')yi=interp1(x,y,xi,'cubic');subplot(2,2,4);plot(xi,yi,'k')xlabel('x軸');ylabel('y軸');legend('三次樣條插值')圖12.2圖樣運(yùn)行文件得到圖12.3分析比較兩個(gè)函數(shù)的圖像可知，在區(qū)間[0,64]上三次樣條插值函數(shù)要更精確一些，在區(qū)間[0,1]上拉格朗日插值函數(shù)仍然不如三次樣條插值函數(shù)更精確3多項(xiàng)式曲線擬合由實(shí)驗(yàn)給出數(shù)據(jù)表X0.0Y1.00.410.500.610.912.022.46試求3次、4次多項(xiàng)式的曲線擬合，再根據(jù)曲線形狀，求一個(gè)另外函數(shù)的擬合曲線，用圖示數(shù)據(jù)曲線及相應(yīng)的三種擬合曲線。3.1程序文件建立新的m文件unit3.m：代碼如下：clc;clear;x=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.5,0.8,1.0];y=[1.0,0.41,0.50,0.61,0.91,2.02,2.46];a=polyfit(x,y,3);b=polyfit(x,y,4);xi=[0.0:0.01:1.0];aa=polyval(a,xi);bb=polyval(b,xi);subplot(1,2,1);plot(x,y,'x',xi,aa,'k')xlabel('x軸');ylabel('y軸');legend('插值點(diǎn)','3次曲線擬合')subplot(1,2,2);plot(x,y,'x',xi,bb,'k')xlabel('x軸');ylabel('y軸');legend('插值點(diǎn)','4次曲線擬合')poly2str(a,'x')poly2str(b,'x')3.2圖形和結(jié)果運(yùn)行程序結(jié)果如下：ans=-6.6221x^3+12.8147x^2-4.6591x+0.92659ans=2.8853x^4-12.3348x^3+16.2747x^2-5.2987x+0.94272圖像如下：圖23.25次多項(xiàng)式曲線擬合下面進(jìn)行的：代碼如下：clc;clear;x=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.5,0.8,1.0];y=[1.0,0.41,0.50,0.61,0.91,2.02,2.46];a=polyfit(x,y,5);xi=[0.0:0.01:1.0];aa=polyval(a,xi);plot(x,y,'x',xi,aa,'k')xlabel('x軸');ylabel('y軸');legend('插值點(diǎn)','5次曲線擬合')poly2str(a,'x')運(yùn)行程序結(jié)果如下：ans=-79.3261x^5+195.4554x^4-172.7104x^3+69.0498x^2-11.0044x+0.99547圖像如下：圖3由圖像可知，次數(shù)越高，擬合越準(zhǔn)確。4.解線性方程題目線性方程組Ax=b的A及b為A= ，b=，則解x=.用MATLAB內(nèi)部函數(shù)求detA及A的所有特征值和cond(A).若令A(yù)+δA=，求解(A+δA)(x+δx)=b,輸出向量δx和.從理論結(jié)果和實(shí)際計(jì)算兩方面分析線性方程組Ax=b解的相對誤差及A的相對誤差的關(guān)系.4.1求detA及A的所有特征值和cond(A)輸入程序：A=[10787;7565;86109;75910]det(A)[V,D]=eig(A)norm(A,2)輸出結(jié)果為：A=1078775658610975910ans=1V=0.5016-0.30170.61490.5286-0.83040.09330.39630.38030.20860.7603-0.27160.5520-0.1237-0.5676-0.62540.5209D=0.010200000.843100003.8581000030.2887ans=30.2887則得到detA=1A的特征值為0.01010.84313.858130.2887=30.28875.用MATLAB求解非線性方程的根題目求下列方程的實(shí)根(1);(2).要求：(1)設(shè)計(jì)一種不動點(diǎn)迭代法，要使迭代序列收斂，然后再用斯特芬森加速迭代，計(jì)算到為止.(2)用牛頓迭代，同樣計(jì)算到.輸出迭代初值及各次迭代值和迭代次數(shù)k，比較方法的優(yōu)劣.5.1不動點(diǎn)迭代法建立新的m文件unit71.m：代碼如下：function[y,n]=unit71(x,eps)ifnargin==1eps=1.0e-8;elseifnargin<1errorreturnendx1=gg(x); n=1;while(norm(x1-x)>=1e-8)&&(n<=10000)x=x1; x1=gg(x); n=n+1;endy=x;若是functionf=gg(x) f(1)=(exp(x)-2-x^2)/(-3);在在命令窗口輸入：unit71(1)輸出結(jié)果為：n=15ans=0.2575若是functionf=gg(x) f(1)=-(x^3+2*x^2-20)/10;在命令窗口輸入：unit71(1)輸出結(jié)果為：n=10001ans=0.54895.2斯特芬森加速迭代法建立新的m文件unit72.m：代碼如下：functiony=unit72(x0,eps)ifnargin<2eps=1.0e-8;enda=g(x0); b=g(a);x1=x0-(a-x0)^2/(b-2*a+x0); n=1;while(abs(x1-x0)>=eps)&(n<=10000)x0=x1; a=g(x0); b=g(a);x1=x0-(a-x0)^2/(b-2*a+x0); n=n+1;endx1n若是functiony=g(x); y=(exp(x)-2-x^2)/(-3);在命令窗口輸入：unit72(1)輸出結(jié)果為：x1=0.2575n=4若是functiony=g(x);y=-(x^3+2*x^2-20)/10在命令窗口輸入：unit72(1)輸出結(jié)果為：x1=1.3688n=55.3牛頓迭代法建立新的m文件unit73.m：代碼如下：functiony=unit73(x0,eps)ifnargin<2eps=1.0e-8;endx1=x0-fa(x0)/faa(x0); n=1;while(abs(x1-x0)>=eps)&(n<=10000)x0=x1; x1=x0-fa(x0)/faa(x0); n=n+1;endx1n若是functiony=fa(x); y=x^2-3+2*x-exp(x);functiony=faa(x); y=2*x-3-exp(x);在命令窗口輸入：unit73(0)輸出結(jié)果為：x1=-3.0123n=33若是functiony=fa(x); y=x^3+2*x^2+10*x-20;functiony=faa(x); y=3*x^2+4*x+10;在命令窗口輸入：unit73(0)輸出結(jié)果為：x1=1.3688n=6通過三種方法的比較，可以看出斯特芬森加速迭代法迭代次數(shù)最少，方法最優(yōu)，牛頓迭代法次之，而不動點(diǎn)迭代法次數(shù)最多，不動點(diǎn)迭代法針對收斂函數(shù)求解，所以在不動點(diǎn)迭代法求解之前要先判斷函數(shù)斂散性。牛頓迭代法因