專題07三角形中的邊角關(guān)系（6個知識點7種題型2個易錯點4種中考考法）（原卷版）

專題07三角形中的邊角關(guān)系（6個知識點7種題型2個易錯點4種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.三角形的有關(guān)概念（重點）知識點2.三角形的分類（重點）（難點）知識點3.三角形的三邊關(guān)系（重點）知識點4.三角形內(nèi)角和定理（重點）知識點5.三角形中的幾種重要線段（重點）（難點）知識點6.定義的概念【方法二】實例探索法題型1.三角形的識別題型2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用題型3.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用題型4.三角形的三種重要線段的應(yīng)用題型5.三角形三邊關(guān)系的實際應(yīng)用題型6.由三角形的三邊關(guān)系證明線段間的不等關(guān)系題型7.有關(guān)三角形個數(shù)的探究【方法三】差異對比法易錯點1.對三角形的三線，尤其是角平分線和高的理解不深刻，導(dǎo)致在作圖時發(fā)生錯誤易錯點2.忽略了三條線段能否組成三角形導(dǎo)致錯誤【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1.三角形三種重要線段考法2.三角形的面積考法3.三角形三邊關(guān)系考法4.三角形內(nèi)角和定理【方法五】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】經(jīng)歷探索三角形內(nèi)角和定理的過程，理解三角形內(nèi)角和定理及其證明方法。理解三角形的三邊關(guān)系，會判斷三條線段能否組成一個三角形，能運用它解決有關(guān)問題。了解三角形的高、中線和角平分線的概念及性質(zhì)，會畫任意三角形的高、中線、角平分線?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.三角形的有關(guān)概念（重點）由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．【例1】一位同學(xué)用三根木棒兩兩相交拼成如下圖形，則其中符合三角形概念的是（）A． B．C． D．【變式】三角形是指()A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形知識點2.三角形的分類（重點）（難點）按邊分類：要點詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.知識點3.三角形的三邊關(guān)系（重點）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．【例2】三角形按邊長關(guān)系，可分為（

）A．等腰三角形，直角三角形 B．直角三角形，不等邊三角形C．等腰三角形，不等邊三角形 D．等腰三角形，等邊三角形【變式】如圖表示三角形的分類，則表示的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三邊都不相等的三角形【例3】圖中的三角形被木板遮住了一部分，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能【變式】將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（）A．都是直角三角形 B．都是鈍角三角形C．都是銳角三角形 D．是一個直角三角形和一個鈍角三角形知識點4.三角形內(nèi)角和定理（重點）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關(guān)系．知識點5.三角形中的幾種重要線段（重點）（難點）三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標(biāo)示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，這個交點就是三角形的重心。一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點．例1．如圖，△ABC中AB邊上的高是（）A．線段AD B．線段AC C．線段CD D．線段BC【變式1】如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線例2．BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長的差是．【變式1】三角形三條中線（）A．交點在三角形外 B．交點在三角形內(nèi) C．交點在三角形頂點 D．交點在三角形邊上例3．已知△ABC，如圖，過點A畫△ABC的角平分線AD、中線AE和高線AF．【變式1】在△ABC中，線段AP，AQ，AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ知識點6.定義的概念能界定某個對象含義的句子叫做定義．【方法二】實例探索法題型1.三角形的識別1．（浙江·八年級校考階段練習(xí)）圖中，三角形的個數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，稱有一條公共邊的兩個三角形為一對共邊三角形，則圖中的共邊三角形有（

）對．A．8 B．16 C．24 D．323.如圖，圖中共有_____個三角形，∠B是_________________的內(nèi)角．4．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，分別是邊上的點，連接，，相交于點．(1)的三個頂點是什么?三條邊是什么?(2)是哪些三角形的邊?5．如圖所示，圖中共有多少個三角形？請寫出這些三角形并指出所有以E為頂點的角．6．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，（1）圖中有幾個三角形？（2）說出的邊和角．（3）是哪些三角形的邊？是哪些三角形的角？題型2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用7.已知三角形三邊長分別為，，，則的取值范圍是________．8.在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC為偶數(shù)，求△ABC的周長．9.已知三角形的三邊長分別為2，a1，4，則化簡|a3|+|a7|．10.在中，，，且的長為偶數(shù)，求的周長，并判斷其形狀．11．（2022秋?亳州期中）已知三角形的兩邊長為5和7，第三邊的邊長a．（1）求a的取值范圍；（2）若a為整數(shù)，當(dāng)a為何值時，組成的三角形的周長最大，最大值是多少？12．（2022秋?無為市期中）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a＝4，b＝6，設(shè)三角形的周長是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數(shù)①求c的長；②判斷△ABC的形狀．題型3.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用13.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，試求∠A，∠B和∠C的度數(shù)．14.已知，如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù).15.在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，試判斷該三角形的形狀．16.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數(shù)是多少?17.如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，EF⊥CD于點G，∠ADE＝∠EFC．（1）請說明DE∥BC；（2）若∠A＝60°，∠ACB＝72°，求∠CDE的度數(shù)．題型4.三角形的三種重要線段的應(yīng)用18.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④19．（2022秋·安徽滁州·八年級?？计谀┤鐖D，在中，已知點D、E、F分別是BC、AD、CE的中點，且，則_______．20．（2022秋·安徽馬鞍山·八年級?？计谥校┰谥?，，邊上的中線把的周長分為12和21兩部分，求長_________．21.如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．（1）猜想：△ABD與△ADC的面積有何關(guān)系？并簡要說明理由；（2）在△BED中作BD邊上的高；（3）若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？22．（2022秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD、AE、AF分別是ABC的高線、角平分線和中線．(1)若，CF=4，求AD的長．(2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度數(shù)．題型5.三角形三邊關(guān)系的實際應(yīng)用23.兩根木棒的長度分別為，取第三根木棒，使它們首尾順次相接組成一個三角形，則第三根木棒的長度可以是（

）A． B． C． D．24．（2022秋?安徽期中）小明家和小紅家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km．那么小明和小紅兩家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km25．（2022秋?瑤海區(qū)期中）如圖，為估計校園內(nèi)池塘邊A，B兩點之間的距離，小華在池塘的一側(cè)選取一點O，測得OA＝18m，OB＝12m，則A，B兩點之間的距離可能是（）A．6m B．18m C．30m D．32m26．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）小王準(zhǔn)備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的場地，用于飼養(yǎng)家兔，已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.(1)請用a表示第三條邊長.(2)問第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由.27．（浙江·八年級統(tǒng)考期中）小明準(zhǔn)備用一段長30米的需包圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔，已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.（1）請用a表示第三條邊長（2）問第一條邊長可以為7米嗎？為什么？請說明理由.（3）求出a的取值范圍.（4）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說出你的圍法：若不能，請說明理由.28．（浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形．記這些三角形的三邊分別為，，，并且這些三角形三邊的長度為大于且小于的整數(shù)個單位長度，用記號（，，）（）表示一個滿足條件的三角形，如（，，）表示邊長分別為，，個單位長度的一個三角形，請列舉出所有滿足條件的三角形．題型6.由三角形的三邊關(guān)系證明線段間的不等關(guān)系29．（2022秋·安徽安慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，點在的延長線上．求證：．（要求每一步推理都要標(biāo)明相應(yīng)的理由）30．（2020秋·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，點D是△ABC內(nèi)一點．求證：(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．31．（浙江·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，是內(nèi)一點．求證：．32．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，點在上，連接，點在上，連接，求證：．33．（2021秋·陜西延安·八年級陜西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，M是的中點，求證：．題型7.有關(guān)三角形個數(shù)的探究34.某同學(xué)在紙上畫了四個點，如果把這四個點彼此連接，連成一個圖形，則這個圖形中會有_____個三角形出現(xiàn)．35．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有________個三角形，圖②中共有________個三角形，圖③中共有________個三角形．（2）由以上規(guī)律進(jìn)行猜想，第n個圖形共有________個三角形．36．（2020秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，為AC邊上不同的n個點，首先連接，圖中出現(xiàn)了3個不同的三角形，再連接，圖中便有6個不同的三角形……(1)完成下表：連接點的個數(shù)123456出現(xiàn)三角形個數(shù)(2)若出現(xiàn)了45個三角形，則共連接了多少個點？(3)若一直連接到，則圖中共有多少個三角形？【方法三】差異對比法易錯點1：對三角形的三線，尤其是角平分線和高的理解不深刻，導(dǎo)致在作圖時發(fā)生錯誤37．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知．(1)畫出的中線和角平分線；(2)畫出的高，．易錯點2：忽略了三條線段能否組成三角形導(dǎo)致錯誤38．（2022秋?招遠(yuǎn)市期中）有四根細(xì)木棒，長度分別為6cm，7cm，9cm，14cm，從中取三根木棒組成一個三角形，有_____種可能情況．（）A．1 B．2 C．3 D．439.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1.三角形三種重要線段1．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線2．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為．考法2.三角形的面積3．（2022?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．考法3.三角形三邊關(guān)系4．（2023?金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm5．（2023?宿遷）以下列每組數(shù)為長度（單位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，86．（2023?徐州）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為（寫出一個即可）．考法4.三角形內(nèi)角和定理7．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°8．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝°．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2022秋·安徽淮北·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，過點作于點，則下列說法正確的是（

）A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高2．（2023秋·安徽·八年級階段練習(xí)）長為4，5，6，9的四根木條，選其中三根組成三角形，選法有（

）種．A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·安徽馬鞍山·八年級?？计谥校┤鐖D，的面積為8，為邊上的中線，E為上任意一點，連接，，圖中陰影部分的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2022秋·安徽安慶·八年級?？计谥校┤鐖D，和是的角平分線，它們交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·安徽馬鞍山·八年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┯袟l線段的長分別是，，和，選擇其中能組成三角形的三條線段作三角形，共可作不同的三角形有（

）A．個 B．個 C．個 D．個6．（2022秋·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點在邊上，，連接．若，則的大小為（

）A． B． C． D．7．（2022秋·安徽阜陽·八年級?？计谥校┤鐖D，和是的中線，則以下結(jié)論：①；②是的重心；③與面積相等；④過的直線平分線段；⑤；⑥，其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥8．（2022秋·安徽·八年級期末）一個三角形的兩邊長分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<69．（2022秋·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的兩條高分別為4和12，第三條高也為整數(shù)，則第三條高所有可能值為（

）A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和510．（2022秋·安徽·八年級期末）如圖，已知AE是ΔABC的角平分線，AD是BC邊上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，則∠DAE的大小是（

）A．5° B．13° C．15° D．20°二、填空題11．（2022秋·安徽淮北·八年級?？计谥校┤鐖D，三角形有一部分被墨跡所遮擋，觀察可判斷三角形的形狀為三角形．（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）12．（2022秋·安徽宣城·八年級?？计谥校┮阎切蔚膬蛇呴L分別為，，第三邊長是c，且，則c的取值范圍是．13．（2022秋·安徽宣城·八年級?？计谥校┊?dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的一半時，我們稱此三角形為“半角三角形”，其中α稱為“半角”．如果一個“半角三角形”的“半角”為25°，那么這個“半角三角形”的最大內(nèi)角的度數(shù)為．14．（2022秋·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，分別是的中點，且，則．三、解答題15．（2022秋·安徽宣城·八年級?？计谥校┤簟鰽BC的三邊長分別為m－2，2m＋1，8．（1）求m的取值范圍；（2）若△ABC的三邊均為整數(shù)，求△ABC的周長．16．（2022秋·安徽淮北·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，邊上的中