MM定理的嚴(yán)格推導(dǎo)

MM定理的嚴(yán)格推導(dǎo)一基本模型未確定現(xiàn)金流的資本化率假設(shè)公司只進(jìn)行股權(quán)融資。假設(shè)1：公司擁有的實(shí)物資產(chǎn)會(huì)帶來(lái)一系列現(xiàn)金流（即收益），現(xiàn)金流是隨機(jī)變量，不同個(gè)體對(duì)各現(xiàn)金流的預(yù)期期望值相同。假設(shè)2該假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格，它保證了任何情況下MM定理的成立。該假設(shè)可放寬，比如，如果人們的投資決策只與投資收益的分布有關(guān)，則只要假設(shè)同一類別公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相關(guān)。：某一公司的股票收益與同一類別（這應(yīng)該就是類別的定義吧）的另一公司的股票收益的比值為常數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)同一類別的公司，該假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格，它保證了任何情況下MM定理的成立。該假設(shè)可放寬，比如，如果人們的投資決策只與投資收益的分布有關(guān)，則只要假設(shè)同一類別公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相關(guān)。在上述假設(shè)下，每一類別的公司股票收益與其股價(jià)的比值的期望為常數(shù)。即，或其中，是第k類公司中、公司j的股價(jià)，是其股票收益的期望，為常數(shù)。 具有三個(gè)含義：式(2)表示是1單位股份的期望收益。式(1)中，令，則，表示是為獲得1單位收益所支付的成本。從終身年金的角度考慮，式(1)表示是未確定現(xiàn)金流的貼現(xiàn)率，即未確定現(xiàn)金流的資本化率。債務(wù)融資和其對(duì)股價(jià)的影響可發(fā)債情況下，債務(wù)比例越高，公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)越大，股價(jià)波動(dòng)也越大。公司有不同的“杠杠”，因此同一類別的公司的股票不是完全替代了，高杠桿公司的股票應(yīng)該要求更高的收益率。假設(shè)1：所有債券在單位時(shí)間內(nèi)有確定的現(xiàn)金流。假設(shè)2：債券市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)。即所有債券的收益與價(jià)格的比值相同，且是確定的。命題：在類別k中，設(shè)公司j的息前收益的期望為，公司債務(wù)的市場(chǎng)價(jià)值為，公司普通股的市場(chǎng)價(jià)值為，公司價(jià)值為，則表述1對(duì)在類別k下的任一公司j，有即：同一類別下的各公司價(jià)值與資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，僅取決于公司的期望收益和無(wú)杠杠公司的資本化率。同一類別所有公司的價(jià)值都是其期望收益的常數(shù)倍。表述2對(duì)在類別k下的任一公司j，有即：同一類別下各公司的平均資本成本與資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，且等于無(wú)杠桿公司的資本化率。證明：考慮同一類別下的兩個(gè)公司。公司1全部用股權(quán)融資，公司2有杠杠。設(shè)兩家公司的息前收益為，根據(jù)前面的假設(shè)，為常數(shù)?？紤]如下兩種資產(chǎn)組合：組合1：用1元錢買公司2的股票。組合2：用1元錢+借入的買公司1的股票。組合1的收益為，組合2的收益為。組合1-組合2構(gòu)成的新組合的成本為0，收益為，得 又，，代入上式得。 證畢。命題：記為第k類別公司j的普通股收益率，為相應(yīng)的資本化率，則即：股票的期望收益率等于相應(yīng)的資本化率+杠杠化的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)證明：該命題是命題的推論。由命題，，即，化簡(jiǎn)即得。證畢?？梢园l(fā)現(xiàn)是加權(quán)平均資本成本，即。還是每股份額的期望收益率，即。證明該式只需將代入命題。一些評(píng)論和MM定理的數(shù)學(xué)解釋可以發(fā)現(xiàn)在推導(dǎo)命題1和2時(shí)，資本化率扮演了一個(gè)非常重要的角色，公司的價(jià)值由其期望收益和資本化率完全決定，與其資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。事實(shí)上，資本化率是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的貼現(xiàn)率，它將具有不同風(fēng)險(xiǎn)的現(xiàn)金流貼現(xiàn)到現(xiàn)期，從而得到公司價(jià)值。有稅情況下的MM定理本質(zhì)與無(wú)稅情況相同，這里不再討論。MM定理是無(wú)套利定價(jià)方法的一個(gè)特例。我們可以將不同資本結(jié)構(gòu)的公司股權(quán)看成金融資產(chǎn)。由于MM定理只考慮了同一類別下不同資本結(jié)構(gòu)公司的市場(chǎng)價(jià)值，這其實(shí)是假設(shè)了現(xiàn)實(shí)中其他金融資產(chǎn)與公司股權(quán)不相關(guān)，沒(méi)有作為無(wú)套利定價(jià)的參考變量。那么，在這問(wèn)題中所有的金融資產(chǎn)即為：不同資本結(jié)構(gòu)的公司股票和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。僅利用這些金融工具，我們要考慮的問(wèn)題就是：公司的股票價(jià)值要滿足什么條件，才能保證無(wú)套利？這相當(dāng)于給金融衍生品定價(jià)，標(biāo)的資產(chǎn)就是公司的收益。而衍生品定價(jià)的無(wú)套利方法非常直觀明白易懂。這個(gè)問(wèn)題比MM定理更簡(jiǎn)單明了，而且解決起來(lái)很簡(jiǎn)單，也更容易推廣。下面具體來(lái)解決問(wèn)題。下面討論的所有公司都處于同一類別。設(shè)公司j發(fā)行一份合約，該合約給持有人的收益為公司的凈利潤(rùn)，即資本收益-債券利息，則該合約是一份衍生品（MM定理貌似沒(méi)有考慮破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，這個(gè)合約不是看漲期權(quán)，即在資本收益小于債券利息的情況下持有人要蒙受損失），標(biāo)的資產(chǎn)為公司的資本收益，其價(jià)格為公司股權(quán)價(jià)值，設(shè)債權(quán)價(jià)值為，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為r，公司的資本收益為。如何給該合約定價(jià)是我們要考慮的問(wèn)題。由于公司的資本收益具有完全相關(guān)性，這里只需要兩個(gè)不同的公司即可構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。對(duì)任意公司，每期末合約的收益為，。設(shè)，消去波動(dòng)性，購(gòu)買1份公司i的合約，賣出份公司j的合約，則每期末收益為其成本為這是一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，則，即成本=收益的現(xiàn)值。MM定理構(gòu)造了每期的無(wú)套利組合，這里構(gòu)造了整個(gè)時(shí)期的無(wú)套利組合。（3）MM定理構(gòu)造了每期的無(wú)套利組合，這里構(gòu)造了整個(gè)時(shí)期的無(wú)套利組合。若i公司為無(wú)杠杠公司，則又代入（3）式即得實(shí)際上，由（3）式可直接得出公司價(jià)值與資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)?；?jiǎn)（3）式得即公司價(jià)值只與資本收益的均值相關(guān)，與資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。對(duì)的進(jìn)一步解釋既然公司的價(jià)值只與資本收益有關(guān)，則不只是表示了無(wú)杠杠公司的資本報(bào)酬率，實(shí)際上它是對(duì)公司價(jià)值和資本收益的關(guān)系的一種測(cè)度。對(duì)于任意公司，以該公司的資本收益除以公司價(jià)值，該值就是，然后可以用去計(jì)算同一類別的其他公司的價(jià)值。實(shí)際上是該類別的特征價(jià)格。經(jīng)過(guò)上面的討論，有如下結(jié)論：(1)公司的價(jià)值只取決于兩個(gè)因素