2021-2022學(xué)年湖北省部分學(xué)校高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年湖北省部分學(xué)校高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．一質(zhì)點(diǎn)在單位圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其位移滿足的方程為，其中h表示位移（單位：m），t表示時(shí)間（單位：s），則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．sin2m/s B．cos2m/s C．2sin2m/s D．2cos2m/s【答案】D【分析】求出可求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為2cos2m/s．故選：D.2．2022年北京冬奧會(huì)的順利召開，引起大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花樣滑冰這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種【答案】C【分析】每一人都可在兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有兩種選法，根據(jù)分步乘法原理可得答案.【詳解】由題意可知：每一人都可在兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有兩種選法，可分四步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有2×2×2×2=16種，故選：C3．以橢圓的左?右頂點(diǎn)作為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以的焦點(diǎn)作為的頂點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用定義求出焦距與長軸，代入公式即可【詳解】由題可知的焦距為4，實(shí)軸長為，所以的離心率為故選：C4．甲、乙、丙等6人排成一排，則甲和乙相鄰且他們都和丙不相鄰的排法共有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．246種【答案】A【詳解】甲乙相鄰，看作一個(gè)整體，內(nèi)部排列，他們兩人都和丙不相鄰，因此采用插空法，先排甲乙丙外的三人，三人之間或兩邊會(huì)出現(xiàn)四個(gè)空，將甲乙看作的一個(gè)人和丙選兩空排列，由此可知，不同的排法共有種,故選:A5．已知直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A．或0 B．或4 C．0或4 D．或2【答案】A【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用數(shù)量積為0得到圓心角為直角，再利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，由，得，即圓心到直線的距離為，即，即或.故選：A.6．已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可求得；令，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，由方程有兩個(gè)不同實(shí)根可知，解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；令，是圖象關(guān)于對(duì)稱的，開口方向向上的二次函數(shù)，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，由得：，即的取值范圍為.故選：B.7．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問題：將1到2022這2022個(gè)自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．132 B．133 C．134 D．135【答案】C【分析】先由條件得到一個(gè)首項(xiàng)為14，公差為15的等差數(shù)列，再按照等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)橛?到2022這2022個(gè)自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為14，公差為15的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.令，解得，即該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為134.故選：C.8．如圖（1），在矩形中，，為線段上一點(diǎn)（不是端點(diǎn)），沿線段將折成（如圖（2）），使得平面平面，且二面角的余弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二面角的余弦值列方程，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】過作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．過作于，連接，則即二面角的平面角，所以．在圖（1）中，直線與垂直，交于，以為原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，所以直線的方程為，直線的方程為．由，可知直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立解得，所以．因?yàn)?，所以，解得．由，得，所以，化簡得，解得，即．在圖（2）中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．因?yàn)?，，所以，，進(jìn)而可得，因?yàn)?，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D二、多選題9．對(duì)于函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，都存在另外一點(diǎn)，使得的圖象在這兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相平行，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中不具有性質(zhì)的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由至少有兩個(gè)不同的解對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】函數(shù)具有性質(zhì)，等價(jià)于對(duì)于導(dǎo)函數(shù)值域中任意的值，至少有兩個(gè)不同的解．對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，只有唯一的解，故函數(shù)不具有性質(zhì)；對(duì)于B，只有唯一的解，故函數(shù)不具有性質(zhì)；對(duì)于C，是周期函數(shù)，對(duì)于任意的，有無數(shù)個(gè)解，故函數(shù)具有性質(zhì)；對(duì)于D，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，不存在兩個(gè)解，故函數(shù)不具有性質(zhì)．故選：ABD10．如圖，在直三棱柱中，，，，則（

）A．點(diǎn)到平面的距離為1B．點(diǎn)到平面的距離為C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】BD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)面距離、線面角等知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得．因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離：．直線與平面所成角的正弦值為．故選：BD11．將14個(gè)相同的玩偶分給甲、乙等5個(gè)人，每人至少分到1個(gè)玩偶，則（

）A．不同的分配方法共有1287種B．不同的分配方法共有715種C．若甲分得3個(gè)玩偶，則不同的分配方法有120種D．若甲、乙各分得3個(gè)玩偶，則不同的分配方法有21種【答案】BCD【分析】元素相同的分配問題常使用隔板法求解.【詳解】每人至少分到1個(gè)玩偶，可看作在14個(gè)玩偶中間產(chǎn)生的13個(gè)空位中插入4個(gè)隔板，故不同的分配方法共有種，A不正確，B正確．若甲分得3個(gè)玩偶，可看作在11個(gè)玩偶中間產(chǎn)生的10個(gè)空位中插入3個(gè)隔板，則不同的分配方法有種，C正確．若甲、乙各分得3個(gè)玩偶，可看作在8個(gè)玩偶中間產(chǎn)生的7個(gè)空位中插入2個(gè)隔板，則不同的分配方法有種，D正確．故選：BCD12．設(shè)正項(xiàng)遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．由，得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以B正確；因?yàn)?，所以C正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題13．若點(diǎn)M（1，1）在曲線上，則曲線在點(diǎn)M處的切線方程是______．【答案】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求得，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)M（1，1）在曲線上，所以，得，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)M處的切線方程是，即．故答案為：．14．已知直線與平行，則______．【答案】3【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得的可能取值，然后排除重合的情況，從而求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以或或．?dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意，故．故答案為：15．已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，，動(dòng)點(diǎn)滿足，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的最大值為___________.【答案】【分析】由題意可知的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形，利用幾何性質(zhì)可求得答案.【詳解】動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由題知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故答案為：四、雙空題16．在某城市中，A，B兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地，則不同的路徑共有__________條，其中途徑C地的不同路徑共有__________條．【答案】

210

90【分析】根據(jù)圖形可知從A地出發(fā)去往B地的最短路徑共10步，其中4步向上，6步向右，結(jié)合排列與組合的概念即可得出結(jié)果.【詳解】由圖可知，從A地出發(fā)去往B地的最短路徑共10步，其中4步向上，6步向右，則不同的路徑共有條．途徑地，則不同的路徑共有條．故答案為：210；90五、解答題17．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)，.【分析】（1）根據(jù)可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)單調(diào)性可確定，，由此可求得最值.【詳解】(1)，在處取得極值，，，解得：，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)由（1）知：，，又，，.18．如圖，在四棱錐中，，為平行四邊形，，平面，，分別是，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，通過證明和可得答案；（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，利用夾角公式求解即可.【詳解】(1)證明：連接.因?yàn)槠矫妫杂忠驗(yàn)椋覟槠叫兴倪呅?，，所以為等邊三角?又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平?(2)解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，由，，可得令，則，即.，又二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19．解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用排列數(shù)和組合數(shù)公式化簡可得出關(guān)于的方程，結(jié)合的取值范圍可解得的值.【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，整理得，所以，所以?2)解：因?yàn)?，所以，所以，即．因?yàn)?，，所以?0．已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先通過退位相減法得到，再按照定義證明等比數(shù)列即可；（2）先由（1）求出，進(jìn)而求出，再按照裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】(1)證明：當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)?，①所以，②由②①得，化簡可得，，所以?shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.(2)由（1）可知，化簡可得..所以.21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).(1)證明：以為直徑的圓與直線相切；(2)設(shè)（1）中的切點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用直線與圓相切等價(jià)于圓心到直線的距離等于半徑來證明；（2）先設(shè)直線的方程為，以為參數(shù)表示出點(diǎn)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離，即為的高，最后把的面積表示成的函數(shù)，求其最值.【詳解】(1)證明：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，弦的中點(diǎn)，則到準(zhǔn)線的距離為，所以以為直徑的圓與直線相切.(2)解：由題可知直線的斜率不能為0，設(shè)直線的方程為，由整理得，又，則，所以.點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是直線的方程為，代入，整理得或，從而則點(diǎn)到直線的距離為，故.令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故22．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，求出的值，然后分別解不等式、，可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，解得，所以．函?shù)的定