上海市延安中學(xué)2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

上海市延安中學(xué)2023學(xué)年9月質(zhì)量調(diào)研高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為___________.2.已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為___________.3.若，則___________.4.若，則實(shí)數(shù)的值為___________.5.已知直線：與直線：垂直，則實(shí)數(shù)的值為___________.6.已知復(fù)數(shù)，其中，，則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為___________.7.已知在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.8.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名志愿者將分別安排到游泳?射擊?體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)，則甲?乙兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)的概率為___________.9.已知在中，為的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為___________.10.已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，，，則雙曲線的離心率為___________.11.設(shè)數(shù)列滿足，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，恒有，則的取值范圍為___________.12.若，，則的值為___________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，每題有且只有一個(gè)正確答案，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）13.若，為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件14.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.B.C.D.15.已知函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)，滿足，則以下結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.16.已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱為“回旋數(shù)列”.以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）（1）若，則為“回旋數(shù)列”；（2）設(shè)為等比數(shù)列，且公比為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；（3）設(shè)為等差數(shù)列，已知，當(dāng)公差時(shí)，若為“回旋數(shù)列”，則；（4）若為“回旋數(shù)列”，則對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得.A.1B.2C.3D.4三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）規(guī)定內(nèi)寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知數(shù)列?滿足，，，為正整數(shù)，且，.（1）求證：是等比數(shù)列：（2）若是嚴(yán)格增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，平面平面，.（1）證明：平行四邊形為矩形；（2）若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.19.（本題滿分14分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分.近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購物?直播帶貨?網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為"不喜歡網(wǎng)上買菜".某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計(jì)6040100（1）是否有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？（2）社區(qū)的市民李華周一?周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從，兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買菜.如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為；如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為，求李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率；（3）用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為，事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的的值.參考公式：，其中.0.10.050.00.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知，分別是橢圓：的左?右頂點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).①求直線的方程；②記，的面積分別為，，求的最大值.21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分.設(shè)是定義在上且滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程有實(shí)數(shù)解；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.（1）試判斷函數(shù)是否為集合的元素，并說明理由；（2）若集合中的元素具有下面的性質(zhì)：對(duì)于任意的區(qū)間，都存在，等式成立，證明：方程有唯一實(shí)數(shù)解.（3）設(shè)是方程的實(shí)數(shù)解，求證：對(duì)于函數(shù)，任意的，當(dāng)，時(shí)，有.上海市延安中學(xué)2023學(xué)年高三年級(jí)9月質(zhì)量調(diào)研答案一?填空題1.42.13.4.25.0或6.7.1358.9.810.11.12.二?選擇題13.B14.C15.A16.B三?解答題（解答下列各題，必須寫出必要的步驟.）17.解：（1）由題設(shè)，，兩式相加可得，又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（2）是嚴(yán)格增數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，由（1）知對(duì)任意正整數(shù)恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為1，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.證明：（1）取中點(diǎn)，連接為正三角形，則，平面平面，平面平面平面，則平面，平面，故.又平面，所以平面平面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則令，則，由題設(shè)，易知，解得，則面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.解：（1）假設(shè)社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關(guān).由題意可得，，則假設(shè)不成立，所以有的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).（2）記事件：李華周一選擇平臺(tái)買菜；事件：李華周二選擇平臺(tái)買菜，則，由全概率公式可得，因此，李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率為.（3）由題意可知，抽取的20名市民，喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)服從二項(xiàng)分布，且喜歡上網(wǎng)買菜的頻率為，則，且，設(shè)，若，即，即，解得，若，即，即，解得（舍）或，所以當(dāng)時(shí)，最大.所以，的值為12.20.（1）由題意可知，且面積的最大值為所以.即橢圓的方程為.（2）如下圖所示：①設(shè)，由題意知直線的斜率一定存在，即，代入直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程為.因?yàn)橹本€與直線垂直，而，且；所以可得，即直線的方程為.又因?yàn)樵跈E圓上可得，聯(lián)立可得，，即，即直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；同理可得，可得；即直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.所以直線的方程為.②設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立可得.所以.同理可得.由可得.同理可得.所以易知，所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.21.（1）函數(shù)是集合中的元素.理由如下：①方程，即.顯然是方程的實(shí)數(shù)解，因此，方程有實(shí)數(shù)解.②由于，又，即，所以.綜上，函數(shù)是集合中