分析法與綜合法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用 論文

PAGEPAGE1分析法與綜合法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用題時(shí)若能將分析法與綜合法很好的結(jié)合起來運(yùn)用，就可以使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解既深刻又全面。我們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)題時(shí)，既需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo)，也需要各種具體的方法幫助我們準(zhǔn)確、快速地解題。考方法。一、 分析與綜合于未知的整體事物，要能深刻地認(rèn)識(shí)它、理解它，首先就得恰當(dāng)?shù)胤纸馑?、?jiǎn)化它。綜合是在思想中把事物的各個(gè)部分、各個(gè)方面、各種要素、各個(gè)階段連結(jié)為整體進(jìn)行系的規(guī)律性。程。在辯證思維中，系統(tǒng)分析方法的邏輯起點(diǎn)則是綜合，其邏輯程序是綜合分析綜合雙向的并存和反饋，它體現(xiàn)了矛盾分析的特點(diǎn)，要求從系統(tǒng)整體出發(fā)，以總體優(yōu)的綜合。二、分析法1、概述分析法是數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到的一種推理和證明的重要方法。數(shù)學(xué)分析法就是從需證明的數(shù)學(xué)結(jié)論出發(fā)，以一系列的已知定義、定理為依據(jù)，正確性，這就是分析法的實(shí)質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須十分重視分析能力的培養(yǎng)，特別注意突出啟發(fā)性，把數(shù)學(xué)知識(shí)髓，逐步提高分析問題和解決問題的能力。2、例題例1. 已知等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長(zhǎng)分成9CM和15CM兩部分,求這個(gè)三角形腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng).解(設(shè)等腰三角形腰長(zhǎng)為xcm,底邊長(zhǎng)為ycm,由題意得,x+x/2=9或x+x/2=15y+x/2=15y+x/2=9解得：x=6或x=10y=12y=4底邊長(zhǎng)為4cm。例2．證明(分析法)要證EB=EC，只要證△ABE≌△DCE，而已知AB=CD，EA=ED，因此只要證∠BAE=∠CDE因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，AB=CD，所以∠BAD=∠CDA，因?yàn)镋A=ED，所以∠EAD=∠EDA所以∠BAE=∠CDE例1，例2用的分析法，從結(jié)論入手進(jìn)行分析易于找到解題的突破口.例1借助方程作工具.表示逆推.3、注意事項(xiàng)中常見的有兩種：（1）書寫錯(cuò)誤分析法。例若（z－x）2－4(x－y)(y－z)=0，求證x、y、z成等差數(shù)列。錯(cuò)誤證明：因?yàn)閤、y、z成等差數(shù)列，所以x+z=2y，即x+z-2y=0,兩邊平方得（x+z-2y）2=0,所以（x+z）2－2×2y(x+z)+4y2=0.變形整理得(z-x)2+4(zx-xy-yz+y2)=0,所以（z-x）2－4(x-y)(y-z)=0.因此，x、y、z成等差數(shù)列。錯(cuò)誤分析上面證法雖然也是從結(jié)論出發(fā)，最后推倒出已知條件，但實(shí)際上，命題成立，也不能說明原命題成立。正確解法上“等式（z-x）2－4(x-y)(y-z)=0是已知的，且以上各式皆可逆，由此命題得證?！边@樣才是分析法。(2)推理過程不可逆例已知︱a︱<1,︱b︱<1,求證︱a+b︱/︱1+ab︱<1.錯(cuò)誤證明欲證︱a+b︱/︱1+ab︱<1，①須證︱a+b︱<︱1+ab︱.②兩邊平方得（a+b）2<(1+ab)2.③展開并整理得a2+b2<1+a2b2.④因?yàn)?ab<a2+b2,⑤所以2ab<1+a2b2,⑥即須證0<(1－ab)2.⑦由已知︱a︱<1,︱b︱<1，所以1－ab≠0,因而上式成立，而上述每步皆可逆推，可得原不等式成立。錯(cuò)誤分析在分析法證明問題時(shí)，要求推導(dǎo)過程必須可逆，即每步之間是充分必分條件。所以證明不可逆。正確解法所以a2－1<0,1－b2>0,從而（a2－1）(1－b2)<0成立。這樣，每一步均可逆，故原不等式成立。貌似可逆而實(shí)際上并不可逆，這是證題中最常見的錯(cuò)誤，因此，在使用分析法時(shí)，一定要注意推理過程的等效性，即各步之間互為充分必要條件。三、 綜合法1、概述綜合法也是數(shù)學(xué)中經(jīng)常用來推理與證明的方法，它是一種從已知到未知的邏輯推理方法。綜合法是從題設(shè)條件出發(fā)，以一系列已知定義、定理為依據(jù)，通過逐步推導(dǎo)從而得出由此可知，綜合法是邏輯推理法，恰恰地同分析法相反，因而將前面例題中推理方法面性質(zhì)的有機(jī)聯(lián)結(jié)，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)許多新的聯(lián)系和性質(zhì)，因此它并不排斥發(fā)現(xiàn)性的一面。2、例題例設(shè)a,b∈R+,且a≠b,求證：a3+b3>a2b+ab2.證法1用分析法要證a3+b3>a2b+ab2成立，只需證（a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2>ab成立.（因?yàn)閍,b∈R+）只需證a2-2ab+b2>0成立.即需證（a-b）2>0成立.PAGEPAGE5而已知條件是a,b∈R+，a≠b，所以（a-b）2>0顯然成立。由此命題得證。證法2用綜合法依題設(shè)，a,b∈R+,且a≠b，有（a-b）2>0→a2-2ab+b2>0→a2-ab+b2>ab.因?yàn)閍+b>0,所以（a+b）(a2-ab+b2)>ab.所以a3+b3>a2b+ab2.解題過程。四、 分析法與綜合法的綜合運(yùn)用例1設(shè)a,b,c,d是互不相等的整數(shù)，則(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)－9=0①有整數(shù)根，試證：a+b+c+d能被4整除。證明設(shè)x0為方程①的整數(shù)根，則(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)=9.②由題設(shè)可知，x0－a,x0－b,x0－c,x0－d是互不相等的整數(shù)，且必為9的不同9這四個(gè)相異整數(shù)的積，則x0－a,x0－b,,x0－d只能分別等于這四個(gè)相異整數(shù)。于是(x0－a)+(x0－b)+(x0－c)+(x0－d)=(+1)+(－1)+(+3)+(－3)=0.所以a+b+c+d=4x0所以4∣(a+b+c+d).例1把方程和數(shù)的整除性結(jié)合起來，構(gòu)思十分巧妙，不大容易入手。解題