麥克斯韋方程組和電磁場

電磁學已學知識回顧:1靜電場

E與試驗電荷q受力F方向一致電勢(電位)定義:

環(huán)路定理:

高斯定理:

有源場無旋、保守場第一頁10/20/20231第二頁，共75頁。2穩(wěn)恒磁場

高斯定理:

安培環(huán)路定理:

無源場渦旋場畢薩定律:

3總結靜電場有源無旋電力線：正電荷—>負電荷穩(wěn)恒磁場無源有旋磁感應線：環(huán)套通電導線洛倫茲力：靜電場、穩(wěn)恒磁場回顧介質特性：第二頁10/20/20232第三頁，共75頁。一、法拉第電磁感應定律1法拉第實驗(1821-1831)法拉第電磁感應定律其中

為回路中的感應電動勢。(a2)S(a1)(b)共同因素：穿過導體回路的磁通量

發(fā)生變化。wiNS(c)第三頁10/20/20233第四頁，共75頁。2、電磁感應定律*產生條件：其中B、

、s有一個量發(fā)生變化，回路中就有的

i存在。*

的大小:df/dt(SI)f的變化率*

的方向：“–”表示感應電動勢的方向?！般洞味伞备袘娏鞯某霈F(xiàn)總是阻礙引起感應電流的變化。*

的計算*磁通計原理法拉第電磁感應定律第四頁10/20/20234第五頁，共75頁。3楞次定律判斷感應電流方向的定律。感應電流的效果，總是反抗引起感應電流的原因。感應電流激發(fā)的磁場通量磁通量的變化（增加或減小）B

NSvf>0,df/dt>0

<0順時針B

Nvf<0df/dt<0

>0逆時針SB

Nvf<0,df/dt>0

<0順時針S法拉第電磁感應定律

Nvf>0,df/dt<0

>0逆時針SBv補償?shù)谖屙?0/20/20235第六頁，共75頁。應用此定律時應注意：(1)磁場方向及分布;(2)

發(fā)生什么變化？(3)確定感應電流激發(fā)磁場的方向;(4)由右手定則從激發(fā)B方向來判斷

的方向。由d/dt

的大小；由楞次

的方向

注：楞次定律中“反抗”與法拉第定律中“–”號對應。與能量守恒定律相一致，保證了電磁現(xiàn)象中的能量守恒與轉換定律的正確，并且也確定了電磁“永動機”是不可能的。法拉第電磁感應定律第六頁10/20/20236第七頁，共75頁。NS若沒有“–—”或不是反抗將是什么情形？電磁永動機可能存在這種能產生如此無境止電流增長的能源?正是外界克服阻力作功，將其它形式的能量轉換成回路中的電能。NSi滿足愣次定律不滿足愣次定律過程將自動進行，磁鐵動能增加的同時，感應電流急劇增加，而i↑，又導致

↑→i↑…而不須外界提供任何能量。SNNS法拉第電磁感應定律第七頁10/20/20237第八頁，共75頁。4感應電動勢

i計算S(a)(b)wiNS(c)S、q=

constantB、q=

constantB、S=

constant法拉第電磁感應定律第八頁10/20/20238第九頁，共75頁。5單匝—>多匝回路中相應的感應電流：從t1→t2時間內，通過回路導線任一橫截面的電量：與d/dt無關若已知N、R、q，便可知

=？若將

1定標，則

2為t2時回路的磁通量磁通計原理

若

1=

2=···=N，則

=－Nd/dt。其中=1+

2+···+N，稱為回路的總磁通匝鏈數(shù)；全磁通法拉第電磁感應定律第九頁10/20/20239第十頁，共75頁。丹麥工程學院研制的空間磁力計分辨率：10pT工作原理：磁通計+反饋控制技術法拉第電磁感應定律第十頁10/20/202310第十一頁，共75頁。例1.長直導線通有電流I，在它附近放有一矩形導體回路求：(1)穿過回路中的

；(2)若I=kt,回路中

=？(3)若I=常數(shù)，回路以v向右運動，

=？(4)若I=kt，且回路又以v向右運動時，求

=？解：設回路繞行方向為順時針1）2）

I=kt時k>0逆時針方向;k<0順時針方向Ilrdrab3）t時刻此時回路的磁通：v>0,

>0順時針方向4）回路的磁通：第十一頁10/20/202311第十二頁，共75頁。例2.彎成

角的金屬架COD，導體棒MN垂直O(jiān)D以恒定速度在金屬架上滑動，設v向右，且t=0，x=0，已知磁場的方向垂直紙面向外，求下列情況中金屬架內的

=？1）磁場B分布均勻，且磁場不隨時間變化。2）非均勻時變磁場，B=kxcost。解：設回路繞向逆時針1）t時刻，x=vt。方向與繞向相反,順時針。此處可直接利用均勻場：BMNxCDO第十二頁10/20/202312第十三頁，共75頁。2）B不均勻，與繞向相同。與繞向相反。xdxBMNxCDO2）時變磁場，B=kxcost第十三頁10/20/202313第十四頁，共75頁。電動勢

內是什么力作功？

的變化方式：導體回路不動，B變化—>感生電動勢導體回路運動，B不變—>動生電動勢法拉第電磁感應定律：1、感生電動勢(1)產生感生電動勢的機制——感應電場Ei驅動線圈2中電荷運動的決不是磁場是靜電場E？E為保守力場.靜電場E不能為閉合回路運動的電荷提供能量。二、感應電場線圈1中，I

變化時，線圈2中出現(xiàn)感應電流Ii兩個靜止的線圈G12第十四頁10/20/202314第十五頁，共75頁。

麥克斯韋引入感應電場的概念磁場B

t

變化的同時感應電場E渦

的電力線是閉合的，環(huán)套變化磁場，渦旋電場電場產生非保守場與一樣，對場中的電荷有電場力的作用。*不依賴空間是否有導體存在，只要有dB/dt≠0，則就有E渦的存在。*是非保守力場，感生電動勢與感應電場第十五頁10/20/202315第十六頁，共75頁。與成右手螺旋關系。感應電場不能引入電勢概念。顯然

與導體回路形狀有關。（3）與的異同

相同處:對電荷的作用相同。不同處無源有源無旋有旋保守場→電勢非保守場（2）感生電動勢定義：環(huán)路定律對閉合回路：感應電場的方向判斷用楞次定律，E渦與

方向基本一致。感應電場的電力線是無頭無尾閉合曲線—

渦旋電場。感生電動勢與感應電場第十六頁10/20/202316第十七頁，共75頁。例3求一個圓柱對稱磁場變化時的渦旋電場。已知磁場均勻分布在半徑為R的范圍，且dB/dt=常量，而且大于零。求

1）任意距中心o為r處的E渦=?2）計算將單位正電荷從a→b，E渦的功。解：1)由Ｂ的均勻及柱對稱性可知，感應的E渦應具有圓柱對稱性，即在同一圓周上E渦的大小相等，方向沿切線方向，取半徑為r的電力線為積分路徑，方向沿逆時針方向:當r＞R時：當r＜R時：rRooabr感生電動勢與感應電場第十七頁10/20/202317第十八頁，共75頁。2）沿1/4圓周將單位正電荷從a→b，Ei作功沿3/4圓周E渦作功？結論：1）E渦∝dB/dt，與B大小無關？2）r＞R，磁場外E渦≠0。3）A1/4ab≠A3/4ab即:E渦作功與路徑有關——非保守場oabr感生電動勢與感應電場第十八頁10/20/202318第十九頁，共75頁。例4.在例3中，如圖放入一邊長為l的正方形導體回路oabc。

求：1）回路各邊的感應電動勢；2）

i總；

3）回路內有靜電場嗎？比較c與a點的電勢。解：1)2）

總=

ab+

bc=l2dB/dt，或obacEr同理：方向：逆時針第十九頁10/20/202319第二十頁，共75頁。3）有靜電場?在哪里。

ab=

bc會使正電荷在c點聚集，負電荷在a點聚集。Uca=Uc

–

Ua=

–IR/2一致等效電路abocobac或:Uca=Uc

–Ua=IR/2靜電場與感應電場相平衡的結果！第二十頁10/20/202320第二十一頁，共75頁。補充知識：電動勢概念回顧電源電動勢：單位q電荷從負極通過電源內部移動到正極時，非靜電力做的功。表征電源中非靜電力做功的本領，與外界電路導通與否及形狀等無關；方向：電源負極—>正極。FeFn第二十一頁10/20/202321第二十二頁，共75頁。感應電場B不變，導體回路運動。導線切割磁力線

=Blv法拉第電磁感應定律B=Cs、q變化->

(動生電動勢）（1）產生動生電動勢的機制靜電場？dB/dt=0，則Ei=0。感應電場？非靜電場vFEk洛侖茲力—>非靜電場？2動生電動勢第二十二頁10/20/202322第二十三頁，共75頁。洛侖茲力作功？作功？作功？Fv對電子的漂移運動而言作正功—>動生電動勢這一能量從何而來？Fu對導體的運動而言作負功<—外界提供能量FV

的作用：并不作功提供能量，轉化能量的中介所定量上看：vVFVFvuFu動生電動勢第二十三頁10/20/202323第二十四頁，共75頁。-+閉合回路在磁場中運動時：vFE*動生電動勢討論：E*與Ei的區(qū)別E*產生條件

表達式與法拉第感應定律吻合第二十四頁10/20/202324第二十五頁，共75頁。例5如圖導線回路架鉛直放在均勻磁場B中。導線長ab=l，質量為m，回路電阻為R。在重力作用下ab邊由靜止開始運動，不計摩擦下求導線ab的運動速度。該方程的解為：解：導線桿ab的受力分析，然后給出其運動方程：初始條件：v(0)=0A=-mgR/(B2l2)tvvmomg=Fm—>vm=mgR/(B2l2)

abmgvFi兩棒切割演示第二十五頁10/20/202325第二十六頁，共75頁。導體回路在變化磁場中運動情況例6.長直導線通有電流I，在它附近放有一矩形導體回路求若I=kt，且回路又以v向右運動時，求

=？Ilab第二十六頁10/20/202326第二十七頁，共75頁。三、自感與互感（線圈中兩種典型的電磁感應）電磁感應定律：感生電動勢動生電動勢

L問題：下圖中當K接通1端時回路中的電流變化？KRL12abctio引言第二十七頁10/20/202327第二十八頁，共75頁。1.自感1）自感現(xiàn)象回路中i變化→B變化→

變化→

LL~~自感系數(shù)或電感:取決于回路的大小、形狀、匝數(shù)以及

當L=Constant可見，

L總是阻礙回路自身電流的變化?！埃北硎?/p>

L的方向，i(a)自感電動勢：(b)自感與互感第二十八頁10/20/202328第二十九頁，共75頁。討論：*回路里di/dt0

L直流電路在開或關的瞬間才出現(xiàn)

L.*L大，

L大→阻礙電路變化的阻力大；L小，

L小→阻礙電路變化的阻力小∴L~~對電路“電磁慣性”的量度。*電感（線圈）和電容一樣是儲能元件。*L的單位。（1H=1Wb/A）SIi(a)(b)自感第二十九頁10/20/202329第三十頁，共75頁。2）自感L的計算例7：計算一螺線管的自感，截面積為S，長為l，單位長度上的匝數(shù)為n，管中充有

的磁介質，求L。解：設螺線管通有i的電流，設螺線管長>>寬，則管內磁場可視為均勻場，即管內磁場為B=

ni管內全磁通:

=N=NBS=NniS=n2ilS。注：除線圈外，任何一個實際電路都存在電感，輸電線相當于單匝回路，回路上有分布電感。S=10cm2,l=50cm,N=3000,真空介質時L=23mH自感第三十頁10/20/202330第三十一頁，共75頁。問題：下圖中當K接通1或2端時回路中的電流變化？1tio2時間常數(shù)t=L/RK接通1端時回路的電路方程為初始條件：i(0)=0K接通2端時回路的電路方程為初始條件：i(0)=/R結論：L越大，t越大，上升越慢t0.63ImKRL12

L

Liii自感第三十一頁10/20/202331第三十二頁，共75頁。L1L21）互感系數(shù)在L2中產生感應電動勢~~互感電動勢e21反之:L2中i2的變化，也將在L1中產生互感電動勢e12L2中y21的變化引起由圖可見，y12和y21不僅與另一線圈的電流變化有關，而且還與它們的相對位置和以及兩線圈的尺寸、形狀、介質有關。2.互感：一導體回路的電流變化，在另一回路中產生感應電動勢~~互感電動勢。L1中的電流i1變化若兩線圈的相對位置確定,設L1電流為i1，在L2中產生的磁通匝鏈數(shù)為

21。同理可得:互感第三十二頁10/20/202332第三十三頁，共75頁。Mij是比例系數(shù)——互感系數(shù)，簡稱互感?？勺C明給定的一對導體回路：M12=M21=MM=

/i，單位:H互感電動勢：兩回路的位置有關Mij與線圈的幾何形狀及介質m有關當M=Constant：L1L2互感第三十三頁10/20/202333第三十四頁，共75頁。此處

12很難算出！圓環(huán)中:y21=B1pr2=mni1pr2

設此螺線管通有i1，則B1=mni1。例8：長直螺線管，單位長度上有n匝線圈，另一半徑為r的圓環(huán)放在螺線管內，環(huán)平面與管軸垂直。求M？解：分析r說明：原則上可對任一線圈產生磁場計算另一線圈的磁通量y

M=y

/i。但很多實際問題中M很難算出。互感2）互感的計算第三十四頁10/20/202334第三十五頁，共75頁。3）串聯(lián)線圈的自感L1L2順接串聯(lián)L1L2反接串聯(lián)互感第三十五頁10/20/202335第三十六頁，共75頁。四、電磁場的能量1.LR電路中的能量轉換電路在建立穩(wěn)定電流的過程中電源力克服自感電動勢

L作功儲存

L中能量K接通1端時，當電流以di/dt>0變化時，電流變化di，電源克服

L作功為dA=–

Ldq=–

Lidt；儲存電流穩(wěn)定后，K與2端連接，電流i從I→0，eL作正功，釋放存在線圈內的磁能，把能量傳給電阻，以熱能形式散發(fā)KRL12

L

Lii第三十六頁10/20/202336第三十七頁，共75頁。2.RLC電路中的能量轉換RLCRLC電路的基爾霍夫方程：kmxFext能量m—>L；b—>R;k—>1/C類比：電磁場能量第三十七頁10/20/202337第三十八頁，共75頁。3.磁能與磁能密度：由上可得，通有電流I的自感線圈中儲能：類比電能存在電場中，可認為，磁能儲存在磁場中。那么，Wm→磁場（B、H），如何聯(lián)系？引子：平板電容器的電能，電場能量密度注：任意電場成立，普遍適應公式電磁場能量第三十八頁10/20/202338第三十九頁，共75頁。以長直螺線管為例：已知，長螺線管n、l、S、I。∵管內為均勻磁場，單位體積儲存的能量為：以上結論對任意形式的磁場都成立。一般地，非均勻場：磁場能量體密度電磁場的能量密度：電磁場能量第三十九頁10/20/202339第四十頁，共75頁。Wm→L解：設電纜通有電流I，則兩圓柱面間的磁場為：abr同軸電纜，兩圓柱面半徑分別為a、b，充滿磁介質m，求單位長度Wm與L。例9.第四十頁10/20/202340第四十一頁，共75頁。本節(jié)總結法拉第電磁感應定律感應電場和感應電動勢動生電動勢自感與互感系數(shù)及電動勢磁場能量密度第四十一頁10/20/202341第四十二頁，共75頁。第8.2節(jié)麥克斯韋方程組和電磁場經典電動力學研究進展中國古代磁針、指南針—>歐洲、航海家發(fā)現(xiàn)地磁傾角和地磁；帶電效應：皮毛與樹脂摩擦帶負電、絲綢與玻璃摩擦帶正電；1750劍橋大學米歇爾發(fā)現(xiàn)磁體之間的排斥力遵循反平方規(guī)律；1785年庫侖提出靜電力滿足反平方定律—庫侖定律；17世紀末伽伐尼（意醫(yī)生）、伏特（意）等人發(fā)現(xiàn)電流；1800年奧斯特（丹）發(fā)現(xiàn)電—>磁現(xiàn)象、安培建立安培法則（安培定律）；畢奧和薩伐爾（法）建立了畢薩定律；1825年歐姆（德）建立歐姆定律（電流定律）；1831年法拉第（英）、亨利（美）發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象；1862-73年麥克斯韋（英）建立電磁場理論（麥克斯韋方程組）；1886年赫茲（德）證實電磁波存在，即驗證麥克斯韋電磁理論。第四十二頁10/20/202342第四十三頁，共75頁。靜電場穩(wěn)恒磁場電

電電

磁磁

電變化電場感應磁場？麥克斯韋又敏銳提出了：變化電場渦旋磁場產生如何提出？電場有源有旋變化磁場感應電場引言：已學知識總結:麥克斯韋方程組和電磁場第四十三頁10/20/202343第四十四頁，共75頁。一、位移電流：1.電流場的連續(xù)方程：含義：單位時間任一封閉曲面的電量減少量等于凈流出量。注：j為傳導電流密度2.電流場不連續(xù)情況時？（如電容器內連續(xù)方程滿足？)電流連續(xù)性方程不滿足!穩(wěn)恒電流電路中滿足電流連續(xù)性方程：S2S1麥克斯韋方程組和電磁場第四十四頁10/20/202344第四十五頁，共75頁。思考之一：場客觀存在環(huán)流值必須唯一思考之二：定理應該普適假設：電容器內存在一種類似電流的物理量第四十五頁10/20/202345第四十六頁，共75頁。S2S1D的高斯定律：上式含義：穿入s1面的傳導電流I等于穿過s2面的電位移通量隨時間的變化率。其稱之為位移電流ID。位移電流密度jD為電流的連續(xù)性成立！&H的環(huán)流值唯一！根據電流定義：（I為穿入s1面的傳導電流）電容極板端面上q(t)隨時間變化—>板間電場和也隨之變化.位移電流ID麥克斯韋方程組和電磁場第四十六頁10/20/202346第四十七頁，共75頁。RICRIC放電時：D、D/

t

D

、ID//I充電時：D、（D/t)//D、ID//I充放電都有，可見：被極板中斷的傳導電流由位移電流接替下去。結論：任意電路的電流連續(xù)性方程(全電流連續(xù))全電流定義為：全電流密度：推廣即：磁場強度H沿任意閉合環(huán)路的積分等于穿過此環(huán)路的傳導電流與位移電流的代數(shù)和。第四十七頁10/20/202347第四十八頁，共75頁。3.位移電流(1)位移電流引入的作用將安培環(huán)路定律推廣到一般交變電場。電流的連續(xù)性推廣到交變電場。(2)位移電流內涵位移電流的本質并不是電荷的流動，而是電場的變化。二者在激發(fā)磁場方面完全等效，即變化的電場產生磁場。麥克斯韋方程組和電磁場第四十八頁10/20/202348第四十九頁，共75頁。例一圓形平行板電容器，兩極板的半徑為a。設其正在充放電，電荷按規(guī)律Q=Qosin

t變化，忽略邊緣效應.求：兩極板間任意點的jD和B？解：(1)平行板之間的電場為：jD均勻分布在橫截面上，與傳導電流同向。(2)在極板間取半徑為r的同心圓環(huán)為積分回路根據全電流定理：r<a時I+ID=0a麥克斯韋方程組和電磁場第四十九頁10/20/202349第五十頁，共75頁。(r<a)(r>a)r=a注：一般變化的電場產生的磁場很小例：a=5cm，，若——當時無法驗證!aBrar>a時I+ID=0第五十頁10/20/202350第五十一頁，共75頁。將電、磁場高斯定理也推廣到一般：變化電場產生磁場變化磁場產生電場穩(wěn)恒情況的電磁場規(guī)律任意電場任意電流磁場傳導電流I的磁場位移電流ID的磁場電場：自由電荷的電場變化磁場的電場麥克斯韋方程組和電磁場二、麥克斯韋方程組第五十一頁10/20/202351第五十二頁，共75頁。物理意義：(1)在任何電場中，通過任何閉合曲面的電位移通量等于該閉合曲面內自由電荷的代數(shù)和?！性磮?3)在任何磁場中，通過任何閉合曲面的磁通量恒等于0?！獰o源場——有旋場(4)磁場強度H沿任意閉合環(huán)路的積分，等于穿過該環(huán)路傳導電流和位移電流的代數(shù)和?！行龍?1)(2)(3)(4)(2)在一般電場中，電場強度E沿任意閉合環(huán)路的積分，等于穿過該環(huán)路磁通量隨時間變化率的負值。麥克斯韋方程組和電磁場第五十二頁10/20/202352第五十三頁，共75頁。結論：無論是否有磁荷、磁流存在，麥克斯韋方程組不受影響。它成為電磁場理論的基礎，并經受了實踐的檢驗，已成為現(xiàn)代電子學、無線電學等學科的理論基礎。麥氏方程組是普遍情況下電磁場運動變化的方程，其于電磁場而言等同于牛頓方程于力學的地位。給定所求區(qū)域內電荷分布、介質以及邊界和初始條件，麥氏方程組唯一確定區(qū)域中電磁場的分布和變化。電荷激發(fā)電場(1)，電流激發(fā)磁場(4)，而且變化的電場和磁場可以相互激發(fā)(2、4)。該方程組對稱？麥克斯韋方程組和電磁場第五十三頁10/20/202353第五十四頁，共75頁。Gauss定理Stokes定理梯度散度旋度算符直角坐標系麥克斯韋方程組的微分形式數(shù)學準備第五十四頁10/20/202354第五十五頁，共75頁。矢量場的通量散度高斯定理矢量場的環(huán)量旋度斯托克斯定理麥氏方程組微分形式麥克斯韋方程組和電磁場第五十五頁10/20/202355第五十六頁，共75頁。三、真空自由電磁波解一維解真空下電磁波傳播速度C麥克斯韋方程組和電磁場第五十六頁10/20/202356第五十七頁，共75頁。四、電磁振蕩1.無阻尼自由振蕩過程電磁振蕩：電路中電量和電流的周期性變化.

振蕩電路：產生電磁振蕩的回路.無阻尼振蕩電路：電路無電阻、無輻射、產生的電磁振蕩是無阻尼自由振蕩.(1)振蕩過程:——LC振蕩LCt=0麥克斯韋方程組和電磁場第五十七頁10/20/202357第五十八頁，共75頁。i放電，自感作用I逐漸

，q

We

,Wm

We

,Wm

We

max放電完畢，電流本應終止，因Wm,自感作用，產生與原來方向相同電流，反向充電q

We

Wm

maxWe

0Wm0放電完畢，電流本應終止因Wm自感作用、產生與原來方向相同的電流，電容器重新充電t=T時,回到

t=0時的狀態(tài)We

maxWm0反向放電，電流與原方向相反因自感作用，i逐漸

q

We

Wm

0tq(t)i(t)第五十八頁10/20/202358第五十九頁，共75頁。LC電路中，任一時刻系統(tǒng)的總能量不變：W=常量振蕩方程：（類似于

）其解：(2)振蕩方程：那么：電磁振蕩中，q、I、We、Wm都在周期性變化，麥克斯韋方程組和電磁場第五十九頁10/20/202359第六十頁，共75頁。LC電路中，任一時刻系統(tǒng)的總能量補充：H方法第六十頁10/20/202360第六十一頁，共75頁。(3)LC振蕩電路的能量電能極大值（常數(shù)）注意：（1）磁能極大值（常數(shù)）（2）能量變化的頻率是振蕩頻率的2倍，麥克斯韋方程組和電磁場第六十一頁10/20/202361第六十二頁，共75頁。2.LCR

電路——阻尼振蕩LCR化簡：令：即：討論：*

弱阻尼：頻率：周期：麥克斯韋方程組和電磁場*受迫振動、諧振第六十二頁10/20/202362第六十三頁，共75頁。**受迫振蕩：問Q=0.5？討論：當時電流產生共振——諧振最大值外加電源對系統(tǒng)始終做正功引入第六十三頁10/20/202363第六十四頁，共75頁。五、電磁波根據麥克斯韋理論：LC振蕩電路理論上可以發(fā)射電磁波(實際上不能)。原因：

太低，輻射功率很小變化的磁場與變化的電場互相激發(fā)形成電磁波電場、磁場分別集中在電容器、自感線圈中HE1.電磁波產生的條件：只要波源——電