函數(shù)極限理論的歸納與解題方法的總結(jié)

PAGEPAGE9目錄TOC\o"1-3"\h\z引言 1一、基本概念與基本理論 2(一)函數(shù)極限 2(二)重要極限 9(三)函數(shù)的上極限與下極限 10(四)Stolz定理的推廣定理 11二、習題類型與其解題方法歸納 11(一)根據(jù)定義證明函數(shù)正常極限與非正常極限的方法。 12(二)根據(jù)定義與極限性質(zhì)證題的方法 14(三)求函數(shù)極限方法 15(四)判斷函數(shù)極限存在與不存在的方法 20參考文獻： 24

函數(shù)極限理論的歸納與解題方法的總結(jié)薛昌濤(渤海大學數(shù)學系遼寧錦州121000中國)摘要：宇宙中的任何事物都是不斷運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的?！昂瘮?shù)”的產(chǎn)生正是為了滿足刻劃這種關(guān)系的需要，函數(shù)極限理論可謂函數(shù)理論重中之重。極限定義24個，性質(zhì)60個，習題更是千變?nèi)f化，看上去似乎很繁雜，但經(jīng)過深入淺出的分析就會很明了。本文旨在化繁為簡、總結(jié)規(guī)律，啟示方法。關(guān)鍵詞：函數(shù)、極限、方法TheConclusionofTheoryofFunctionLimitandMethodsSummary（Departmentofmathbohaiuniversityliaoningjinzhou121000）XueChangtaoAbstract:Everythingintheuniverseisalwaysmoving,varying,intergratingorrestrictingeachother.Functionemergedfortheneedofdescribingthisrelation.Thethoryoffunctionlimitplaysakeyroleinfunctiontheory.ThereareTwenty–fourdefinitionstolimit,sixtyqualties,andtheexercisesareeverchanging.Itseemscomplexverymuch,butitwillbeclearafterdelicateanalysis.Thistextaimatchangingcomplextosimple,suminguptheregulars,enlighteningthemethods.Keywords:FunctionLimitMethod引言“函數(shù)”一詞是微積分的創(chuàng)始人之一萊布尼茲(Leibniz)最先使用的，并且把的函數(shù)記為等，但是，直到19世紀初，人們還是把函數(shù)理解為“變量和常數(shù)組成的解析表達式”。直到1834年，狄里克萊(Dirichlet)指出，函數(shù)與變量的關(guān)系不但不必用統(tǒng)一的法則在全區(qū)間上給出，而且不必用解析式給出。至此，函數(shù)才被賦予了單值對應的意義。在整個宇宙中，我們找不出不在運動變化的事物，但各個事物的變化，又絕非彼此孤立隔絕，而是相互聯(lián)的，相互制約的?！昂瘮?shù)”無論在理論研究還是現(xiàn)實的科學探索，都發(fā)揮著舉足輕重的作用，而極限問題可謂函數(shù)問題之重點，所以搞清函數(shù)極限的相關(guān)問題是尤為重要的。一、基本概念與基本理論（一）函數(shù)極限1．函數(shù)正常極限與非正常極限定義共個，它們的形式是：為有限數(shù))可見函數(shù)正常極數(shù)定義共6個，非正常極數(shù)定義共18個，比數(shù)列正常極限定義1個、非正常極限定義3個(兩者總共4個)多了20個定義，而此24個定義是整部數(shù)學分析的基礎。對它們的理解與記憶按下述程序進行：先理解與記憶4個基本定義，再推及其它而總觀24個定義。(1)四個基本定義定義1(定義)設是定義在上的函數(shù)，是一個確定的數(shù)，若，，當時，有，則稱函數(shù)當時以為極限，記作，或，或。此時也稱為在正無窮遠處的極限。注1此定義，是數(shù)列極限之定義的推廣，只需將定義中之換為，換為即可，這是由于，數(shù)列是以自然數(shù)集為定義域的函數(shù)，故均為自然數(shù)集的成員，而函數(shù)的定義域為實數(shù)集，因而改為中之，來描述。注2定義1是在正無窮遠點處函數(shù)的極限，現(xiàn)將正無窮遠點改為有限點處，其函數(shù)極限即為下述定義2，即只要將正無窮遠鄰域的描述改為的空心鄰域的描述即可，因變量刻劃相同。定義2(雙側(cè)極限定義)設函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，是一個確定的數(shù)。若，當時，有，則稱當趨于時以為極限，記作，或。問題1在的定義中，為什么限定(即)？如果把此條件去掉，寫作“當時，有”是否可以？［3］答：不可以，極限的意義是：當自變量趨于時，對應的函數(shù)值無限接近常數(shù)。在的情況，包括在是否有定義，有定義時，等于什么都不影響時，的變化趨勢，故應把這一點排除在外。如果把此條件去掉，把的定義寫作“，，當時，有”，則當時，也有，由的任意性，要使此不等式成立，必定有，這個條件顯然與時，的變化趨勢是不相干的。定義3(單側(cè)極限定義)設函數(shù)在［或］內(nèi)有定義，是一個確定的數(shù)，若，使當(或時，有，則稱在趨于時以為右(左)極限，記作，或(或)。注3定義3中右極限(左極限)，定義在的右側(cè)，則；對于左極限，定義在的左側(cè)，則，于是定義2是關(guān)鍵，只要考慮到“單側(cè)”這一特點。定義4(無窮大量定義)函數(shù)定義在的某個空心臨域內(nèi)，若，，使當時，有，則稱當趨于時有非正常極限，或稱當趨于時為無窮大量(或發(fā)散到無窮大)，記作或。(2)由自變量變化趨勢刻劃六種與因變量變化趨勢刻劃四種搭配成正常極限與非正常極限共24個定義的方法。自變量變化趨勢及其刻劃六種：因變量變化趨勢及其刻劃四種：將自變量與因變量的變化趨勢刻劃互相搭配，而構(gòu)成24種，每一種均按前述四個基本定義的標準敘述法敘述，即得24個定義。2、正常極限性質(zhì)(共48個或60個)按華東師大教材，每一種類型極限有8個性質(zhì)來計算，六種類型極限總共有48個性質(zhì)。再加上重要的“絕對值性”與“單調(diào)有界定理”，則共計60個性質(zhì)。前面是按照極限類型而言；若按照性質(zhì)類型而言，對照數(shù)列極限性質(zhì)，函數(shù)極限性質(zhì)總共8種(或10種)：存在性、唯一性、局部保號性、局部有界性等等，每一種，按六類極限形式又有六類形式，總計仍是48個或60個性質(zhì)。無論是48個還是60個性質(zhì)，看似很多，實際上只要扣住前述自變量變化趨勢刻劃六種，再將數(shù)列極限相應性質(zhì)移過來，這些性質(zhì)均不難掌握了。教材中是就極限類型而給出8個性質(zhì)，這里，再就極限而給出。極限的性質(zhì)：(1)存在性——三個存在定理I兩邊夾定理設，均有，且，則II柯西準則設函數(shù)在內(nèi)有定義，則存在，當時，有。III單調(diào)有界函數(shù)定理設函數(shù)在內(nèi)單調(diào)且有界，則存在。注4單調(diào)有界函數(shù)定理在有限點處為：若函數(shù)在包含的某一區(qū)間單調(diào)有界，則在的左、右極限必存在。這里是左、右極限存在，但在的極限不一定存在，這是與數(shù)列單調(diào)有界必收斂定理之區(qū)別。(2)唯一性若存在，則它只有一個極限。(3)局部有界性若存在，則，在內(nèi)，有界。(4)局部保號性若，則對任何，當時，有［或］。(5)不等式性若均存在，且，當時，有，則。(6)四則運算法則若均存在，則［僅除法還要求］在時極限也存在，且有(7)歸結(jié)原則設函數(shù)在上有定義，則對任何，都有，其中為有限數(shù)。推論設在上有定義，則存在對任何，，均存在。注5歸結(jié)原則與數(shù)列情形之“數(shù)列極限與其子列極限關(guān)系定理”類似，均是在揭示整體與部分的關(guān)系這一意義上而言的。(8)絕對值性若，則，且3、無窮小量與無窮大量(1)無窮小量若，則稱當時為無窮小量。無窮小量的四則運算性質(zhì)：(i)兩個無窮小量之和、差、積仍為無窮小量。(ii)無窮小量與有界變量之積為無窮小量。(iii)兩個無窮小量之商的極限為下述四種情形之一：有限實數(shù)不存在，此即無窮小量的階的比較。無窮小的階的比較，是考察它們收斂于零的速度的快慢。設時，均為無窮小量，則其中，當時，又稱與為等價無窮小(當時)，記作。若，為有限數(shù)，，則稱為關(guān)于基本無窮小的階無窮小，通常為正有理數(shù)。注6在應用極限運算的四則運算法則時，初學者會寫出“”等式子。這是不對的。出現(xiàn)這類“錯誤”的主要原因是將符號“”誤認為一個常數(shù)，對它施行了數(shù)的運算法則。事實上，“”不是一個常數(shù)，而是表示絕對值無限增大的變量，記號“”表示兩個絕對值無限增大的變量之差，仍是一個變量。同樣地，記號“”表示兩個絕對值無限增大的變量之商，仍是一個變量。問題2下面的極限運算對嗎？［3］答：結(jié)果正確，表達錯誤，這是因為不存在，不能利用積的極限運算法則，則可以這樣表達：因為，，所以。問題3如果數(shù)列收斂，數(shù)列發(fā)散，那么數(shù)列是否一定收斂？如果數(shù)列和都發(fā)散，那么數(shù)列的收斂性又怎樣？［3］答：在兩種題設情形下，數(shù)列的收斂性都不能肯定，現(xiàn)分析如下：情形1、數(shù)列收斂，數(shù)列發(fā)散。若，則數(shù)列必定發(fā)散，這是因為若數(shù)收斂，且，則由等式及商的極限運算法則立即可知數(shù)列收斂，與假設矛盾。若，則數(shù)列可能收斂，也可能發(fā)散。例如，(1)，于是數(shù)列收斂。(2)，于是數(shù)列發(fā)散。情形2數(shù)列和都發(fā)散。若數(shù)列和中至少有一個是無窮大，則數(shù)列必定發(fā)散。這是因為若數(shù)列收斂，而數(shù)列為無窮大，從等式便推得，與假設矛盾。若數(shù)列和都不是無窮大，則數(shù)列可能收斂，例如，(3)，于是數(shù)列收斂。(4)，于是數(shù)列發(fā)散。4、幾個關(guān)系(1)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系——歸結(jié)原則(2)單側(cè)極限與極限的關(guān)系與均存在相等，均為。(3)無窮大量與無窮小量的關(guān)系(倒數(shù))(二)重要極限。前者為型的未定式的極限，后兩式為型的未定式的極限。問題4討論函數(shù)極限時，在什么情況下要考慮左、右極限？［3］答：一般說來，討論函數(shù)在點的極限，都應先看一看單側(cè)極限的情形。如果當時，在兩側(cè)的變化趨勢一致，那么就不必分開研究；如果在兩側(cè)的變化趨勢可能有差別就應分別討論記左、右極限。例如，求分段函數(shù)在分段點處的極限時，必須研究左、右極限；有些三角函數(shù)在特殊點的左、右極限不一樣。例如，在的左右極限不一樣；有些反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)也有類似情形，例如，在處的左、右極限都不一樣。(三)函數(shù)的上極限與下極限1、概念設函數(shù)在的某個空心臨域內(nèi)有定義，則定義，其中為有限數(shù)或或，特別當在內(nèi)有界時，均為有限數(shù)。［1］2、性質(zhì)(1)上極限性質(zhì)設為有限數(shù)，則(I)當時，有；(II)，在的每一個空心臨域內(nèi)，必有，使得(2)下極限性質(zhì)設為有限數(shù)，則(I)，使當時，有；(II)，在的每一空心臨域內(nèi)，必有，使得。3、函數(shù)上(下)極限與函數(shù)值數(shù)列上(下)極限的關(guān)系。定理設函數(shù)在的某空心臨域內(nèi)有定義，為此鄰域內(nèi)的任意點列，，則對應于一切這種點列，所成數(shù)集必有最大值(包括或)，所成數(shù)集必有最小值(包括或)，在的上(下)極限即為這最大(小)值。4、上(下)極限與極限的關(guān)系。，為有限數(shù)或或。(四)Stolz定理的推廣定理定理設(i)函數(shù)，定義于，且均在的任意子區(qū)間有界。(ii)對一切，其中為一正常數(shù)，(iii)，(iv)(有限數(shù)或或)，則。［5］可見，(ii)、(iii)兩條是stolz第二定理之“”的推廣，(iv)是“”之推廣。而此stolz定理的推廣定理與羅比達法則不同點是：后者為型及存在，而在這里，只要定義于，且在上的任意子區(qū)間上有界，，及即可。二、習題類型與其解題方法歸納關(guān)于函數(shù)極限的習題類型大致有：(一)根據(jù)定義證明函數(shù)正常極限與非正常極限。(二)根據(jù)極限定義與極限性質(zhì)證題。(三)求函數(shù)極限。(四)判斷函數(shù)極限存在與不存在。此外，還有諸如無窮小(無窮大)的階的比較等，本文將不涉及。關(guān)于上述四種類型習題的解題方法在下文給出。(一)根據(jù)定義證明函數(shù)正常極限與非正常極限的方法。這里是指根據(jù)24個定義證明函數(shù)的正常極限與非正常極限的方法，屬根據(jù)定義證題術(shù)——扣住定義而證，解題思路均是：(或)，找(或)，使當滿足自變量的變化趨勢刻劃時，有因變量變化趨勢之刻劃，解題關(guān)鍵是找或，找法如下。1、當以具體形式給出時，扣住因變量變化趨勢之刻劃，分析并對進行恒等變形或加強不等式，使之變成，，其中為正無窮小量，為正無窮大量，令，或；再扣住自變量變化趨勢之刻劃。對不等式或不等式，關(guān)于解之，解得，取或關(guān)于，解之，解得，取。2．抽象論證找或找法當是以抽象形式給出時，與1類似，對進行恒等變形或加強不等式，使之變成，，其中為已知正無窮小量，為已知正無窮大量，利用此或確定抽象的或。確定或的具體方法與技巧是：(I)根據(jù)已知極限或無窮大量確定或。(II)根據(jù)已知極限的性質(zhì)或無窮大量確定或。(III)三角不等式及其它。可見，與數(shù)列的此部分方法完全類似，只是比之更復雜些，下面舉一些例子。例1、設在任一有限區(qū)間上Riemann可積，且，證明，(上海交大1987)。分析要證：，當時，有，而；由不難聯(lián)想到已知，于是當時，有，而，由于，則，當時，有；又由于，再考慮要證，則取及取。證明：，因，則，當時，有。因任一有限區(qū)間上Riemann可積，則為定數(shù)，于是，因而，當時有由此有：當時，即——抽象法證找法(利用已知極限分段處理)。(二)根據(jù)定義與極限性質(zhì)證題的方法這里是指根據(jù)24個定義和48個性質(zhì)等證題，其方法為：遇到正常極限與非正常極限符號，就用等語言表達出來；深入分析題目，聯(lián)想相關(guān)性質(zhì)；再將之有機結(jié)合起來而找到證題方法。例2設在內(nèi)滿足，且有。證明：。分析證明恒等問題，首選反證法，如何找矛盾？扣住已恬，不難得到：當是，，當時，而找矛盾。證明反正法假設，則至少存在一點，使，則或，且顯然，下面只證的情形，的情形同理可證。(I)當時，因，則對，當時，有(1)，因，則對，，當時，有；不妨取及取，則顯然，于是由(1)知矛盾。(II)當時，因，則對，當時，有(2)因，則對，，當時，有，不妨取及取，則，于是由(2)知，矛盾。綜上即得證。(三)求函數(shù)極限方法1、根據(jù)定義證明函數(shù)以為極限，即已求得了函數(shù)的極限。2、用函數(shù)極限的四則運算法則、不等式性、絕對值性及無窮大量的四則運算等性質(zhì)，根據(jù)已知極限求極。3、根據(jù)公式與不等式求極限。4、用兩邊夾定理求極限。5、用stolz定理的推廣定理求極限。6、用羅比達法則求極限。7、用羅比達法則與微積分學基本定理、含參量積分求極限，用牛頓——萊布尼茲公式求極限。8、用函數(shù)的連續(xù)性求極限。9、用泰勒公式、導數(shù)定義等求極限。10、用函數(shù)的上、下極限求極限。11、用左極限與右極限求極限。12、用歸結(jié)原則求極限。13、用函數(shù)項級數(shù)理論，如函數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件或函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)求極限。14、其它，諸如反證法、變量代換等等。下面在羅比達法則和泰勒公式的選用上，微積分學基本定理與羅比達法則的運用上，兩邊夾定理，stolz定理的推廣定理的運用上重點舉幾例。例3設在可導，求。解——用導數(shù)定義、羅比達法則、已知極限、極限四則運算法則求極限。例4求。分析本題為型未定式，用羅比達法則試解之。不難發(fā)現(xiàn)，用羅比達法則兩次之后，所得函數(shù)表達式已變得更為復雜，因而用羅比達法則解決不了，需改用它法?？紤]到為有限個正數(shù)，因而必有最大值與最小值，于是聯(lián)想到用與不等式有關(guān)的兩邊夾定理。解令，則，由于。因而，由兩邊夾定理知：例5設在上連續(xù)，。證明：分析要證，只要求出極限值為，即已證得，于是歸結(jié)到求極限問題。顯然積分號下不能取極限；而已知連續(xù)，則顯然與均可由其原函數(shù)在兩端點處的函數(shù)值所給出，于是極限問題不難解決。解因為在上連續(xù)，則在上有原函數(shù)，由牛頓——萊布尼茲公式知：——用原函數(shù)存在定理、牛頓——萊布尼茲公式、導數(shù)定義等求極限。例6求(中國科技大學)分析令，分析之結(jié)構(gòu)，易知當時，為型未定式；當時，為型未定式，按通常方法，將其化為型或型去解決，于是有，其為型。(當時)或型(當時)分子之導數(shù)為，比復雜得多，且求導不易，因而此法不可??；另想別法，只得將按冪指函數(shù)法處理如下。，只求出即可，易見為型未定式，需化為型或型，于是可用羅比達法則解之，當然將展成泰勒公式，也可解之。解法一由羅比達法則知則——用冪指數(shù)函數(shù)處理法與羅比達法則求極限。解法二令，由泰勒公式知，則，因而——用冪指數(shù)函數(shù)處理法與泰勒公式求極限。例6解題方法小結(jié)：1°某些問題，看似用羅比達法則解之，但較麻煩；用泰勒公式解之，甚是方便。2°冪指數(shù)函數(shù)處理法：形如的函數(shù)稱為冪指數(shù)函數(shù)，其中。遇見這類問題，一般是將其恒等變形如下形式來處理：，這就是冪指數(shù)函數(shù)處理法。本例的每種解法中，均用到此法。(四)判斷函數(shù)極限存在與不存在的方法1、判斷函數(shù)極限存在的方法(1)求出函數(shù)極限，即已斷定函數(shù)極限存在，因而(三)中各法適用。(2)用函數(shù)極限柯西準則。(3)用單調(diào)有界函數(shù)定理。(4)用歸結(jié)原則的推論。(5)證明函數(shù)的上極限與下極限相等。(6)反證法、變量代換及它法。2、判定函數(shù)極限不存在的方法(1)由極限定義而來——極限定義的否命題對任何實數(shù)，；即對任何實數(shù)，存在某一，對任何，，使得，則不存在。(2)由柯西準則而來——柯西準則的否命題。不存在存在某一，對任何，，使得。(3)左、右極限關(guān)系定理的否命題左極限與右極限均存在且不等；或左極限與右極限中至少有一個不存在，則極限不存在。(4)歸結(jié)原則的否命題存在兩個點列，，但；或存在一個點列，但不存在，則不存在。(5)上極限與下極限關(guān)系的充要定理的否命題。上極限與下極限不等，則極限不存在。(6)運算：若存在，不存在，則不存在。(7)反證法，變理代換法及其它。例81)設于連續(xù)可微，且求證：存在。(吉林大學)分析要證存在，則的表達式在題設中沒有給出，但題設中給出了表達式。由此表達式，立知，則為遞增的，因而聯(lián)想到單調(diào)有界定理去試之，這樣只要探究出的上有界性即可。為此，必須將與已知的聯(lián)系上，由于已知連續(xù)，則由