2021-2022學(xué)年福建省漳州第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年福建省漳州第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用求導(dǎo)公式，求出，進(jìn)而求出.【詳解】，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.2．函數(shù)在區(qū)間(0，e](其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值為（

）A． B．－1 C．－e D．0【答案】B【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值是.故選：B3．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．【答案】A【分析】可從原函數(shù)的圖像中得到函數(shù)在附近的單調(diào)性，從而得到其導(dǎo)函數(shù)在附近的符號(hào)，由后者可得函數(shù)圖像的正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像可知，在的左側(cè)附近，為減函數(shù)；在的右側(cè)附近，為增函數(shù)，所以在的左側(cè)附近，；在的右側(cè)附近，，故選A.【點(diǎn)睛】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．4．等比數(shù)列{}中，，函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求導(dǎo)，代入，再通過(guò)等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】，.故選：C.5．設(shè)函數(shù)一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，所以錯(cuò)；對(duì)于B中的是將的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以是其極大值點(diǎn),錯(cuò)誤；對(duì)于C中的是將的圖象關(guān)x軸對(duì)稱，所以才是其極小值點(diǎn)，錯(cuò)誤；而對(duì)于D中的是將的圖象關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，故是其極小值點(diǎn)，正確.故選D.6．設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】B【分析】通過(guò)條件，先確定函數(shù)圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性求出函數(shù)值的和.【詳解】由，可得，，令，得，又，所以對(duì)稱中心為，所以，…，，.所以．故選：B.7．已知，若對(duì)于且都，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，化簡(jiǎn)整理得，構(gòu)造函數(shù)，依題意為增函數(shù)，求導(dǎo)，令，即可求解.【詳解】依題意，所以，設(shè)，則為增函數(shù)，所以，化簡(jiǎn)整理得.而當(dāng)時(shí)，的最大值為1，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍問(wèn)題，難點(diǎn)在于構(gòu)造新函數(shù)，并根據(jù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，屬中檔題.8．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意，得，代換，代換，則滿足：，即，以代換，可得點(diǎn)，滿足，因此求的最小值即為求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則，解得，所以切點(diǎn)為,所以點(diǎn)到直線的距離，則的最小值為，綜上所述，選C.【解析】1.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)；2.點(diǎn)到直線距離公式.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，推理能力與計(jì)算能力，屬于難題，通過(guò)換元法可轉(zhuǎn)化成函數(shù)間的問(wèn)題，通過(guò)變形發(fā)現(xiàn)變成求的最小值即為求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，因此在曲線上找到一個(gè)和平行的直線與之間的距離最小，因此將點(diǎn)到直線距離最小值轉(zhuǎn)化成直線與直線距離最小值，因此此類題目將已知條件合理轉(zhuǎn)換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.二、多選題9．下列四個(gè)函數(shù)中，在處取得極值的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分析各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義可得出合適的選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，故函數(shù)在上為減函數(shù)，無(wú)極值；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極小值；對(duì)于C選項(xiàng)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極小值；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在上為增函數(shù)，無(wú)極值.故選：BC.10．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．是函數(shù)的極值點(diǎn)C．存在兩個(gè)零點(diǎn) D．在(1，+∞)上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正確；，故A正確；，得，中，，所以恒成立，即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即，故C錯(cuò)誤.故選：AD11．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】采用逐一驗(yàn)證的方法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，，，，根據(jù)這些函數(shù)在的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，A正確；設(shè)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即，故，B錯(cuò)誤；設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，，即，C正確；設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，故，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.12．設(shè)函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在使成立，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】由得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定值域，即可求得數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，若，則.故存在使成立，則，即在上有解.故，設(shè)，則，令，在上單減，在上單增，故即，在上單增，又，故.故選：BC.三、填空題13．設(shè)曲線在點(diǎn)A(0，1)處的切線與直線垂直(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則m=_________.【答案】3【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線與切線垂直建立方程求出m.【詳解】，，切線與直線垂直，，解得.故答案為：14．已知函數(shù)，若，則a=__________.【答案】－1或或1【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在討論的取值，分段求自變量.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍）；當(dāng)時(shí)，，得,所以或.故答案為：或15．若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】(4，5)【分析】由已知得在上存在變號(hào)零點(diǎn)，參變分離后利用導(dǎo)數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則在上存在變號(hào)零點(diǎn)，由得，令，，，在遞減，在遞增，而，，，所以.故答案為：.16．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若對(duì)任意，都有，且則不等式的解集為___________.【答案】(－1，2)【分析】由題意，得，構(gòu)造函數(shù)，然后求出函數(shù)的解析式，再確定的解析式，進(jìn)一步解一元二次不等式即可．【詳解】解：由題意，因?yàn)椋?，，令，則，，即，，，不等式的解集等價(jià)于，解得．故答案為：．四、解答題17．已知數(shù)列{}滿足，.(1)求證：數(shù)列成等比數(shù)列，并求{}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列{}的前n項(xiàng)的和，求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）已知等式變形后可得數(shù)列是等比數(shù)列，由此可得通項(xiàng)公式；（2）求出的表達(dá)式，由裂項(xiàng)相消法求和后可得不等式成立．【詳解】(1)由可得，∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，即；(2)∵，∴.18．已知f（x）＝．（1）曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）＜x2在（1，＋）恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）．【分析】第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，為切線的斜率，解出a的值，再利用和判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問(wèn)，先將在（1，＋）恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，從而得到a的取值范圍．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，由得，，令得；令得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）由題意：，即，恒成立．令，則，[令，則，在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，∴a的取值范圍為．【點(diǎn)晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．19．已知函數(shù)的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為(，1)(2)(－，1)【分析】（1）先根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)有極值，可知導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，利用判別式建立不等式求解即可.【詳解】(1)依題意知函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(2，0)，∴，①.∵，∴，②由①②解得，，∴；∵，∴或；，∴的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為(，1)；(2)∵，∴，.∵g(x)存在極值，∴，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－，1).20．已知函數(shù)f(x)=ln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.【答案】(1)在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)（2）見解析【詳解】(1)．由x=0是f(x)的極值點(diǎn)得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定義域?yàn)?－1，+∞)，．函數(shù)在(－1，+∞)上單調(diào)遞增，且f'(0)=0，因此當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)m≤2，x∈(－m，+∞)時(shí)，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f(x)>0．當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在(－2，+∞)上單調(diào)遞增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一實(shí)根，且．當(dāng)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)時(shí)，f'(x)>0，從而當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得=，，故．綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0．21．已知橢圓C：的離心率，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)F到直線的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l與坐標(biāo)軸不垂直，l與橢圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，若直線FM和FN的斜率互為相反數(shù)，試探究：動(dòng)直線l是否恒過(guò)x軸上的某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，定點(diǎn)(4，0)【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得a，再由，求得b，得橢圓的C的方程；（2）設(shè)直線l：，與橢圓的方程聯(lián)立整理得.設(shè)M(，)，N(，)，由兩點(diǎn)的斜率公式表示，根據(jù)，得出，由此可得動(dòng)直線l值過(guò)x軸上的定點(diǎn).【詳解】(1)解：由題意知，點(diǎn)F(c，0)到直線的距離為，∴，又橢圓C的離心率，∴，∴，∴橢圓C的方程為.(2)解：設(shè)直線l：，由.設(shè)M(，)，N(，)，∴，，∴，由已知得，∴，∴，即，∵，∴，∴動(dòng)直線l只過(guò)x軸上的定點(diǎn)(4，0).22．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對(duì)按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)，若，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)在有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域?yàn)?，，（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1