一維應力波理論

材料動態(tài)力學概論2.一維應力波理論

本節(jié)討論波陣面在連續(xù)介質中傳播時，波陣面前后各參量之間應滿足的限制條件，即波陣面上的守恒條件：質量守恒條件、動量守恒條件和能量守恒條件。2.8波陣面上的守恒條件質量守恒條件

設有平面波陣面以波速D向右傳播，波陣面上的任一物理量為，設波陣面之前和之后的ψ值分別表示為和，則波陣面前后參量的變化值表示為：

(2-8-1)

如果ψ在波陣面上連續(xù)，有，有間斷則，用表示物理量在波陣面前后的差值，即突躍值。考察物理量對時間的變化率，即隨波微商有：

(2-8-2)

對和分別取隨波微商并相減，可得

(2-8-3)2.8波陣面上的守恒條件

對于一階奇異面（強間斷），ψ連續(xù)而一階導數(shù)發(fā)生間斷，有，(2-8-3)式變?yōu)椋?/p>

(2-8-4)此即著名的Maxwell定理。2.8波陣面上的守恒條件強間斷：如果位移函數(shù)u的一階導數(shù)間斷弱間斷：如果函數(shù)u及其一階導數(shù)皆連續(xù)，但其二階導數(shù)等發(fā)生間斷

對于二階奇異面，用ψ的一階偏導數(shù)和代替(2-8-3)式中的ψ，有

ψ及其一階導數(shù)連續(xù)，二階導數(shù)間斷，有，，從而有：

(2-8-5)2.8波陣面上的守恒條件(2-8-3)-(2-8-5)式分別對應于ψ本身、ψ的一階導數(shù)和二階導數(shù)發(fā)生間斷情況下波陣面上運動學相容條件的通式。以此類推，還可得到更高階奇異面上的運動學相容條件。如果是對于左行波，相應的關系式只需用-D替代D即可。

2.8波陣面上的守恒條件

如果波陣面上運動學相容條件的通式中的ψ用位移u來代替，根據(jù)位移連續(xù)條件，顯然有

對于沖擊波（一階奇異面）波陣面，ψ用位移u來代替，(2-8-4)式整理可以變?yōu)椋?/p>

(2-8-6)

對于加速波波陣面（一階奇異面）

，ψ用位移u來代替，(2-8-5)式整理可以變?yōu)椋?/p>

(2-8-7)

2.8波陣面上的守恒條件沖擊波和加速波波陣面的運動學相容條件——質量守恒條件動量守恒條件

對于強間斷波，根據(jù)動量定理，有：波速，兩邊除以dt，則上式變?yōu)椋?/p>

(2-8-8)圖2-8-12.8波陣面上的守恒條件

對于弱間斷波，有，，需要考察v和ε偏導數(shù)之間的關系，把一維縱波的動量守恒方程分別應用于波陣面的前方和后方并相減可得：

(2-8-9)

(2-8-8)和(2-8-9)式分別為強間斷波與加速度波的動量守恒條件。2.8波陣面上的守恒條件

對于沖擊波，由質量守恒條件(2-8-6)式和動量守恒條件(2-8-8)式可推得：

(2-8-10)

故沖擊波的波速可表示為：

(2-8-11)

對于加速度波，由質量守恒條件(2-8-7)式和動量守恒條件(2-8-9)式可推得：

(2-8-12)從而加速度波的波速可表示為：

(2-8-13)2.8波陣面上的守恒條件

討論：

（1）波陣面上運動學的相容條件和動力學的相容條件，在推導時未涉及材料的物性，因此其結果對任何連續(xù)介質中的表面波一概成立。2.8波陣面上的守恒條件2.8波陣面上的守恒條件

（2）弱間斷波的波速與強間斷波的波速是不同的，因為關系與關系是不同的，這涉及到材料的物性。根據(jù)應變率無關理論，應力是應變的單值連續(xù)函數(shù)，對于弱間斷有

則波速形式變?yōu)椋?/p>

(2-8-14)

這樣加速度波的波速仍然是由材料本構關系曲線的切線斜率所確定。若應力與應變滿足線性關系，則，此時加速度波與強間斷波的波速一致。沖擊波波陣面上的能量守恒條件

如圖，對于沖擊波，根據(jù)能量守恒定律，應力波在dt時間內，對dX微元內介質所做的功，一部分用來增加介質的內能，一部分變?yōu)榻橘|的運動動能，即有：

式中e為介質的比內能（單位質量的內能）。圖2-8-12.8波陣面上的守恒條件整理可得(2-7-15)利用

和

將上式展開整理可得：

（2-7-16）引入單位體積內能E，有上式變?yōu)椋?（2-7-17）2.8波陣面上的守恒條件

沖擊波波陣面上的守恒條件統(tǒng)稱為沖擊突躍條件或Rankine-hugoniot關系：（2-8-18）或（2-8-19）2.8波陣面上的守恒條件

如果令沖擊波波陣面上的突躍值由有限值趨于無限小，波速用C來替代D，則相應的守恒方程組變?yōu)椋海?-8-20）或（2-8-21）2.8波陣面上的守恒條件

從弱間斷波與強間斷波的波陣面上的相容條件的前兩式的形式可以看出，它與特征線上的相容關系正好符號相反。2.8波陣面上的守恒條件

這是因為波陣面上的相容條件反映的是波陣面前方和后方狀態(tài)參量之間的關系，即跨過波陣面時狀態(tài)參量所應滿足的關系，而特征線上相容條件是沿著特征線前進時狀態(tài)參量之間所應滿足的關系。擾動沿著右行特征線傳播時將跨過一系列左行特征線，也就是要跨過一系列左行波的波陣面，反之則反，因此二者的相容關系正好反號。2.8波陣面上的守恒條件2-9橫向慣性引起的彌散效應前面幾節(jié)討論了一維應力縱波的初等理論，這一理論忽略了桿中質點的橫向運動慣性作用，即忽略了橫向慣性（包括收縮和膨脹）對動能的影響，顯然這是一種粗糙的近似理論。下面在彈性波范圍內考察橫向慣性的影響，以此來考察初等理論的局限性，以及初等理論在何種條件下才適用。2.9橫向慣性引起的彌散效應2-9-1橫向運動的動能（彈性桿）桿在軸向應力作用下，除了有軸向應變之外，還存在著因Poisson效應引起的橫向變形（應變），即對于縱向應變有：（2-9-1）而對于橫向應變有：（2-9-2）上式進行積分，可以得到橫向位移為：（2-9-3）2.9橫向慣性引起的彌散效應

取桿橫截面中心為橫向坐標Y和Z的原點，可得橫向運動的質點速度和加速度分別為：（2-9-4）（2-9-5）2.9橫向慣性引起的彌散效應

以上各式表明：只要桿的截面存在橫向質點位移，就會存在橫向速度和橫向加速度，桿的截面將會發(fā)生變形，不再保持平截面，長桿的應力狀態(tài)不再是一維應力狀態(tài)了，而是二維或者三維問題了。2.9橫向慣性引起的彌散效應

從能量角度來看，忽略橫向慣性就是忽略橫向運動的動能。對于單位體積平均橫向動能可由（2-9-4）式導出為：（2-9-6）式中為截面對X軸的回轉半徑： （2-9-7）2.9橫向慣性引起的彌散效應2-9-2橫向動能對彈性應力應變關系的影響圖2-9-1有：2.9橫向慣性引起的彌散效應

圖中微元體兩側所受力，可分解為靜力平衡力和與微元體縱向慣性有關的非靜力平衡力。其中非靜力平衡力在單位時間內對微元體所做的功等于縱向動能的增加率，即： （2-9-8）整理上式，所得正好是一維應力縱波的運動方程，即2.9橫向慣性引起的彌散效應

一對靜力平衡力對微元體所做的功，在初等理論中不考慮橫向慣性效應，全部轉化為微元體的內能，在彈性波情況下就轉變?yōu)閺椥詰兡埽夯?/p>

2.9橫向慣性引起的彌散效應

考慮橫向慣性效應時，靜力平衡力所做的功，分為兩部分：一部分使微元體應變能增加，一部分近似認為轉變成橫向動能。靜力平衡力在單位時間、單位體積所做的功為：橫向動能

整理可得：（2-9-9）彈性應變能2.9橫向慣性引起的彌散效應

討論：（1）（2-9-9）式為考慮橫向慣性效應時，桿在彈性階段的應力-應變關系，其中第二項即為慣性效應修正項，若忽略該項時，桿的本構關系就簡化為一維應力下的本構關系（Hooke定律）：（2）由于慣性修正項與成正比，因此只有當施加的載荷隨時間有十分顯著的變化的情況下，這一修正才是必要的，否則就可忽略慣性效應的影響。2.9橫向慣性引起的彌散效應2-9-3橫向慣性效應對波動方程的影響將考慮橫向慣性效應的本構方程（2-9-9）式代入運動方程得

將代入上式整理可得（2-9-10）2.9橫向慣性引起的彌散效應

討論：（1）（2-9-10）式即考慮了橫向慣性的影響之后的彈性波的波動方程，與一維縱波的波動方程相比，增加了反映慣性效應的第二項。（2）由于存在橫向慣性效應，桿中的彈性波將不再以恒速C0進行傳播了，對于不同頻率（或波長）的諧波將以不同的波速（相速）傳播。2.9橫向慣性引起的彌散效應為了求解考慮橫向慣性效應下的波速表達式，利用諧波解：

將其代入（2-9-10）式，可得（2-9-11）式中，u為位移，ω為圓頻率，,f為頻率，k為波數(shù)，

,為波長。圓頻率為ω的諧波中任一相位的相速度C可表示為：則（2-9-11）式可變?yōu)椋海?-9-12）

2.9橫向慣性引起的彌散效應當時，上式可近似變?yōu)椋海?-9-13）對于半徑為a的圓柱桿，，則（2-9-14）這是考慮到橫向慣性修正的近似解，稱為Rayleigh近似解。2.9橫向慣性引起的彌散效應

討論：（1）對于一般介質，，則，當桿的半徑（直徑）與波長相比很小時，可忽略橫向慣性效應的影響，此時。（2）研究表明，時，Rayleigh修正式能給出較好的結果，但相對波長再短的波，該式就不夠精確了。（3）對于高頻波（短波）——f高，λ小，則就大，相速C就低；反過來，低頻波（長波），相速高。不同頻率的波將各自按自己的相速傳播，于是應力波在傳播過程中不再保持不變的波形了。2.9橫向慣性引起的彌散效應

（4）波的彌散現(xiàn)象：應力波在傳播過程中波形發(fā)生散開的現(xiàn)象，它包括有幾何彌散、非線性本構彌散和粘性彌散等幾類。這里所討論的是由于幾何形狀所引起的，稱為幾何彌散。前面討論不同材料中波的傳播特點時，所描述的由應力應變本構關系的非線性所引起的彌散現(xiàn)象，稱為非線性本構彌散。由材料的粘性效應所引起的，稱為粘性彌散。2.9橫向慣性引起的彌散效應

（5）按照初等理論，兩桿相撞時（如在Hopkinson撞擊實驗中），在彈性范圍內，波形應該為矩形。但是實測所得的波形總是或多或少地呈現(xiàn)出幾何彌散現(xiàn)象，見圖所示。包括波形的拉平、變長，以及發(fā)生局部振蕩等，特別是包含高頻分量的強間斷波在桿中傳播時一般都難以保持其陡峭的前沿，這主要就是因為桿中橫向慣性或多或少地存在著。圖2-9-2

2.9橫向慣性引起的彌散效應

（6）圓桿中的橫向慣性效應具體表現(xiàn)在以下幾個主要方面：

a）桿橫截面上應力分布不均勻；

b）波形振蕩；

c）應力脈沖前沿升時增大；

d）應力脈沖峰值隨傳播距離發(fā)生衰減。2.9橫向慣性引起的彌散效應2-10桿中的扭轉波前面討論的都是一維應力縱波，這一節(jié)討論桿中的彈性扭轉波（橫波），作為長桿中波的傳播問題的補充內容。2.10扭轉波2-10-1彈性扭轉波的控制方程研究對象：截面均勻的圓柱桿基本假定：圓桿平截面不變形加載性質：純扭轉加載坐標系：物質坐標系2.10扭轉波

參量說明：M——扭矩，——扭轉角，ω——角速度，θ——單位扭轉角，τ——剪應力，——剪應變，I——單位長度桿微元對扭轉軸X的轉動慣量。

補充說明：與一維應力狀態(tài)相比，可以把某些參量看成具有一定的相互對照關系，即，，，2.10扭轉波mm

OBA

基本關系式：，（2-10-1）（相對照：，）（2-10-2）（2-10-3）式中，r為桿截面上任一點距扭轉軸的的距離，m為線密度，即單位長度圓桿的質量，G為剪切模量。2.10扭轉波如圖所示，有（2-10-4）由（2-10-1）式，可得連續(xù)方程：（2-10-5）（相對照：）圖2-10-12.10扭轉波根據(jù)扭轉過程的角動量守恒條件有：（2-10-6）由（2-10-4）式和（2-10-6）式，可得角動量守恒方程為：（2-10-7）由（2-10-3）式和（2-10-7）式，可得角動量守恒方程的另一種形式：（2-10-8）（對照：）

式中，CT稱為彈性扭轉波的波速，。2.10扭轉波

（2-10-5）式和（2-10-8）式就組成了以ω和θ為未知參量的一階偏微分方程組：（2-10-9）（對照：）2.10扭轉波

根據(jù)各參量之間的關系，同理可得到以ω和τ為未知參量的一階偏微分方程組：（2-10-10）（對照：）2.10扭轉波

將,代入（2-9-8）式，可得到以為未知參量的二階雙曲型偏微分方程，即扭轉波的波動方程：（2-10-11）（對照：）2.10扭轉波

討論：（1）因剪切模量，而泊松比一般介于0~0.5之間，故G<E，，二者之比為：（2-10-12）介于之間。部分材料的剪切模量和扭轉波速見下表。

鋼銅鋁玻璃橡膠G（GPa）814526287.0×10-4CT（米/秒）3220225031003350272.10扭轉波

（2）對于平均半徑為a的薄壁管，設剪應力在管截面上均勻分布，則（2-10-9）式保持不變，因為

而（2-10-10）式變?yōu)椋海?-10-13）2.10扭轉波2-10-2扭轉波的特征線方程和特征線上的相容關系對（2-10-13）式采用前面介紹的方向導數(shù)法來求解彈性扭轉波的特征線方程和特征線相容關系。2.10扭轉波解：對于所給的一階偏微分方程組，根據(jù)方向導數(shù)法的定義，（1）式及（2）式分別乘以λ1

，λ2并進行線性組合可得：上式中