中考數(shù)學(xué)壓軸題

中考數(shù)學(xué)壓軸題一.因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題例1：（2012?德陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E．（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式；（2）將∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，邊BE交線段OA于點(diǎn)F，邊BD交y軸于點(diǎn)G，交（1）中的拋物線于M（不與點(diǎn)B重合），如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么結(jié)論OF=DG能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)（2）中的點(diǎn)F的直線交射線CB于點(diǎn)P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點(diǎn)Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．例2：2012年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1例3：2012年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1二.因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題例1：(2011德陽(yáng))(本小題滿分14分)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與軸交于另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B()，且與軸、直線分別交于點(diǎn)D，E．(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式并用配方法把這個(gè)解析式化成的形式；(2)求證：CD⊥BE；(3)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PAB的面積；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例2：2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N．試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1例3：2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過(guò)點(diǎn)E(4,0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．圖1三．因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題例1：2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(0,1)、B(4,3)兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖1例2：2012年煙臺(tái)市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．圖1例3：2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M．（1）求線段AM的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．圖1例4：2009年江西省中考第24題如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）直接寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF//DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系．圖1中考數(shù)學(xué)壓軸題（解析）因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題例1：（2012?德陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E．（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式；（2）將∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，邊BE交線段OA于點(diǎn)F，邊BD交y軸于點(diǎn)G，交（1）中的拋物線于M（不與點(diǎn)B重合），如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么結(jié)論OF=DG能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)（2）中的點(diǎn)F的直線交射線CB于點(diǎn)P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點(diǎn)Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．思路點(diǎn)撥（1）本題關(guān)鍵是求得E點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式．如題圖，可以證明△BCD≌△BAE，則AE=CD，從而得到E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式，令x=0，求得G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段CG、DG的長(zhǎng)度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，從而求得OF的長(zhǎng)度．比較OF與DG的長(zhǎng)度，它們滿足OF=DG的關(guān)系，所以結(jié)論成立（3）本問(wèn)關(guān)鍵在于分類(lèi)討論．△PFE為等腰三角形，如解答圖所示，可能有三種情況，需逐一討論并求解．滿分解答解：（1）∵BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA．在△BCD與△BAE中，∴△BCD≌△BAE，∴AE=CD．∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點(diǎn)，∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．設(shè)過(guò)點(diǎn)D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則有：解得，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式為：y=x2+x+2．（2）結(jié)論OF=DG能成立．理由如下：由題意，當(dāng)∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，同理可證得△BCG≌△BAF，∴AF=CG．∵xM=，∴yM=xM2+xM+2=，∴M（，）．設(shè)直線MB的解析式為yMB=kx+b，∵M(jìn)（，），B（4，4），解得，∴yMB=x+6，∴G（0，6），∴CG=2，DG=4．∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F(xiàn)（2，0）．∵OF=2，DG=4，∴結(jié)論OF=DG成立．（3）如圖，△PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類(lèi)討論如下：①若PF=FE．∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上，∵F（2，0），∴P（2，4），此時(shí)直線FP⊥x軸，∴xQ=2，∴yQ=xQ2+xQ+2=，∴Q1（2，）；②若PF=PE．如圖所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF為等腰三角形，∴此時(shí)點(diǎn)P、Q與點(diǎn)B重合，∴Q2（4，4）；③若PE=EF．∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上，∵E（6，0），∴P（6，4）．設(shè)直線yPF的解析式為yPF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），解得，∴yPF=x﹣2．∵Q點(diǎn)既在直線PF上，也在拋物線上，∴x2+x+2=x﹣2，化簡(jiǎn)得5x2﹣14x﹣48=0，解得x1=，x2=﹣2（不合題意，舍去）∴xQ=2，∴yQ=xQ﹣2=﹣2=．∴Q3（，）．綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（，）．例2：2012年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問(wèn)題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點(diǎn)C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1．當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA＋PC最小，△PAC的周長(zhǎng)最?。O(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)．圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過(guò)程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時(shí)，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時(shí)，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時(shí)，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5例3：2012年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類(lèi)，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3二．因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題例1：(2011德陽(yáng))(本小題滿分14分)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與軸交于另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B()，且與軸、直線分別交于點(diǎn)D，E．(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式并用配方法把這個(gè)解析式化成的形式；(2)求證：CD⊥BE；(3)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PAB的面積；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)∵已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，∴設(shè)拋物線的解析式為，又∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B()，∴，解得，，∴點(diǎn)B()，又∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)0(0，0)B()，解得，∴拋物線的解析式為．(2)由題意解方程組，得∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，5)，∴CE=5．過(guò)點(diǎn)B作BF垂直于軸于F，作BH垂直于直線于H，交軸于點(diǎn)Q，∵點(diǎn)B()，D(0，1)，∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4．在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中有勾股定理得BE=,BD=,BC=∴BD=BE又∵EC=5，∴BC=CE，∴CD⊥BE.(3)結(jié)論：存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形．①當(dāng)∠BPE=90°時(shí)，點(diǎn)P與(2)中的點(diǎn)H重合，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；延長(zhǎng)BH與過(guò)點(diǎn)A(4，0)且與軸垂直的直線交于M，則②當(dāng)∠EBP=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(2，)，∵E(2，5)，H(2，)，B()，∴BH=4，EH=8，PH=．在Rt△PBE中，BH⊥PE，可證得△BHP∽△EHB，，即，解得，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)P與軸平行的直線與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，則綜合①，②知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，△PAB的面積為6；或點(diǎn)P的坐標(biāo)為，△PAB的面積為12.例2：2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N．試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長(zhǎng)，再根據(jù)MQ＝DC列方程．2．第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫(huà)一個(gè)準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論．3．第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過(guò)直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形．滿分解答（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．（2）直線DB的解析式為．由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)，可得，．所以MQ＝．當(dāng)MQ＝DC＝8時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形．解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC與MQ互相平分．所以四邊形CQBM是平行四邊形．圖2圖3（3）存在兩個(gè)符合題意的點(diǎn)Q，分別是(－2,0)，(6,－4)．考點(diǎn)伸展第（3）題可以這樣解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．①如圖3，當(dāng)∠DBQ＝90°時(shí)，．所以．解得x＝6．此時(shí)Q(6,－4)．②如圖4，當(dāng)∠BDQ＝90°時(shí)，．所以．解得x＝－2．此時(shí)Q(－2,0)．圖3圖4例3：2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過(guò)點(diǎn)E(4,0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．圖1思路點(diǎn)撥1．根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)．2．當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時(shí)，符合∠AMB＝90°的點(diǎn)M有2個(gè)；當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，符合∠AMB＝90°的點(diǎn)M只有1個(gè)．3．靈活應(yīng)用相似比解題比較簡(jiǎn)便．滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(－4,0)、B(2,0)．對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝－1．（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等．過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D′．設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．因?yàn)锳C//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標(biāo)為．圖2圖3（3）過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了．聯(lián)結(jié)GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(－4,6)，過(guò)M1、E的直線l為．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，直線l還可以是．考點(diǎn)伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，因此可以過(guò)點(diǎn)C、E求直線l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直線CM過(guò)點(diǎn)C．三．因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題例1：2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(0,1)、B(4,3)兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖1思路點(diǎn)撥1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）題解方程MN＝y(tǒng)M－yN＝BC，并且檢驗(yàn)x的值是否在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)．滿分解答（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以O(shè)B＝5．如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，那么．當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時(shí)，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因?yàn)閤＝3在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（如圖3）．圖3圖4考點(diǎn)伸展第（3）題如果改為：點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．那么求點(diǎn)M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如圖5）．所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)：，，，．圖5例2：2012年煙臺(tái)市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．圖1思路點(diǎn)撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個(gè)三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點(diǎn)的坐標(biāo)都表示出來(lái)．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗(yàn)證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點(diǎn)C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因?yàn)镻E//BC，所以．因此．所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時(shí)，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因?yàn)镕E//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點(diǎn)F關(guān)于PE軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形EH′CQ是否為菱形．如圖2，當(dāng)FQ＝CQ時(shí)，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當(dāng)EQ＝CQ時(shí)，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3例3：2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M．（1）求線段AM的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．圖1思路點(diǎn)撥1．本題最大的障礙是沒(méi)有圖形，準(zhǔn)確畫(huà)出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫(huà)出來(lái)，但是對(duì)拋物線的位置要心中有數(shù)．2．根據(jù)MO＝MA確定點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，并且求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，是整個(gè)題目成敗的一個(gè)決定性步驟．3．第（3）題求點(diǎn)C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)、直線的斜率，用待定字母m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．滿分解答（1）當(dāng)x＝0時(shí)，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA＝3．如圖2，因?yàn)镸O＝MA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．將代入，得x＝1．