《投資學(xué)》第九章 投資工具估值

第九章投資工具估值《投資學(xué)》本章導(dǎo)讀

當(dāng)前，由于受到一系列金融危機事件的沖擊，如東南亞金融危機、美國次貸危機和歐債危機等，全球范圍內(nèi)的金融市場波動加劇，各類投資工具價格的日間波動顯著增大，為投資者的投資決策帶來了困難。在上述環(huán)境下，對金融工具內(nèi)在價值的準確評估尤為重要。對投資者而言，投資工具代表著一定時期內(nèi)獲得未來收入的權(quán)利，投資工具內(nèi)在價值取決于該工具能夠帶來的未來現(xiàn)金流入、資金時間價值以及風(fēng)險調(diào)整等因素或者金融市場上與該工具類似的可比價格，因此，要求我們需要使用經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、財務(wù)管理、投資學(xué)以及風(fēng)險管理的基本原理對投資工具進行估值，這也是本章的主要內(nèi)容。當(dāng)前，由于受到一系列金融危機事件的沖擊，如東南亞金融危機、美國次貸危機和歐債危機等，全球范圍內(nèi)的金融市場波動加劇，各類投資工具價格的日間波動顯著增大，為投資者的投資決策帶來了困難。在上述環(huán)境下，對金融工具內(nèi)在價值的準確評估尤為重要。對投資者而言，投資工具代表著一定時期內(nèi)獲得未來收入的權(quán)利，投資工具內(nèi)在價值取決于該工具能夠帶來的未來現(xiàn)金流入、資金時間價值以及風(fēng)險調(diào)整等因素或者金融市場上與該工具類似的可比價格，因此，要求我們需要使用經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、財務(wù)管理、投資學(xué)以及風(fēng)險管理的基本原理投資工具進行估值，這也是本章的主要內(nèi)容。教學(xué)要求掌握股票、債券以及期貨和期權(quán)內(nèi)在價值的內(nèi)涵和外延

掌握股票估值的零增長、固定增長以及多階段增長模型了解市盈率、市凈率以及市銷率等相對估值方法掌握零息債券、附息債券估值的現(xiàn)金流貼現(xiàn)方法掌握債券價值的主要因素和五大定理掌握期貨價格的定義以及無收益和有收益資產(chǎn)的期貨估值基本模型掌握期權(quán)內(nèi)在價值、期權(quán)價值上下限以及內(nèi)在價值與時間價值的關(guān)系了解幾何布朗運動和伊藤引理掌握布萊克——舒爾茨期權(quán)定價模型的基本結(jié)論了解單期和兩期二叉樹期權(quán)定價理論目錄CONTENTS1股票價值分析2債券估值3期貨期權(quán)估值第一節(jié)股票價值分析一、股票價值的表示方式二、股票價值分析的基本方法三、股票定價

理論上，普通股票定價模型可以分為絕對定價模型(AbsoluteValuationModel)和相對定價模型(RelativeValuationModel)。

絕對定價模型建立在現(xiàn)金流貼現(xiàn)的基本思想上，認為股票的內(nèi)在價值等于未來預(yù)期的現(xiàn)金流量現(xiàn)值之和。按照對現(xiàn)金流的不同界定，絕對定價模型可以分為股利貼現(xiàn)模型(DiscountDividendModel)、自由現(xiàn)金流模型(FreeCashFlowtoEquityModel)等。

相對定價模型則建立在一價定理的基礎(chǔ)上，即相似公司的股票應(yīng)具有相同的價值。按照比較基準的不同，相對價值模型可以分為市盈率(PricetoEarningsRatio)模型、市凈率(PricetoBookValueRatio)模型、收入乘數(shù)(RevenueMultiplier)模型等。（一）股票面值、賬面價值、清算價值及重置價值1.股票面值股票面值，即股票的票面價值，是股份公司在其發(fā)行的股票票面上標(biāo)明的票面金額。一是表明股票的認購者在股份公司投資中所占的比例，并作為確認股東權(quán)利的根據(jù)；二是在首次發(fā)行股票時，將股票的面值作為發(fā)行定價的一個依據(jù)。例如，某上市公司的總股本為1000萬元，持有一股股票就表示在該股份公司所占的股份為千萬分之一；若該上市公司發(fā)行的一股股票被拆分成十股，那么新股每股價格也相應(yīng)地變成此前的十分之一。2.賬面價值股票賬面價值又稱“股票凈值”或“每股凈資產(chǎn)”。在沒有優(yōu)先股的條件下，每股賬面價值等于公司凈資產(chǎn)除以發(fā)行在外的普通股票的股數(shù)。一、股票價值的表示方式（一）股票面值、賬面價值、清算價值及重置價值3.清算價值股票的清算價值是指一旦股份公司破產(chǎn)或倒閉后進行清算時，每股股票所代表的實際價值。從理論上講，股票的每股清算價值應(yīng)與股票的賬面價值相一致。然而實際上并非如此，由于企業(yè)在破產(chǎn)清算時，其財產(chǎn)價值是以實際的銷售價格來計算，而在進行財產(chǎn)處置時，其售價一般都會低于實際價值。4.重置價值重置價值等于重置成本減去負債。重置成本是指當(dāng)前需要用多少錢才能買下上市公司的所有資產(chǎn)。一、股票價值的表示方式（二）股票的市場價格與內(nèi)在價值股票的市場價格一般是指股票在二級市場上交易的價格股票的內(nèi)在價值是指由股票未來收益的現(xiàn)值，即通過分析公司的財務(wù)狀況、盈利前景以及其他影響公司生產(chǎn)經(jīng)營等因素后認為股票所真正代表的價值一般而言，股票的市場價格圍繞著其內(nèi)在價值上下波動，呈現(xiàn)出高低起伏的波動性特征。股票市場價格圍繞內(nèi)在價值上下波動的原因主要有以下幾個方面：股票市場供求關(guān)系的變化；由于信息不對稱，投資者對于股票價格的未來變化存在異質(zhì)性預(yù)期；在某些股票市場中，由于市場仍不完善，一些不法投資者或機構(gòu)憑借資金和信息優(yōu)勢操縱股價，導(dǎo)致股價出現(xiàn)異常波動，從而偏離內(nèi)在價值。一、股票價值的表示方式（一）絕對估值法絕對估值方法是建立在現(xiàn)金流貼現(xiàn)基本思想上的，認為股票的內(nèi)在價值等于預(yù)期未來現(xiàn)金流量的現(xiàn)值之和。包括股利貼現(xiàn)模型(DDM)、自由現(xiàn)金流模型(FCFF)和股權(quán)自由現(xiàn)金流模型(FECE)，上述三種絕對估值法均運用收入的資本化定價方法來計算普通股票的內(nèi)在價值。（二）相對估值法相對估值法是使用市盈率、市凈率、市售率、市現(xiàn)率等價格指標(biāo)與其它多只股票進行對比，如果低于對比股票指標(biāo)值的平均值，則股票價格被低估，股票預(yù)期價格將上升，使得指標(biāo)回歸對比股票的平均值；反之則相反。

相對估值方法依賴兩個重要的假設(shè)前提：存在一個影響股份公司市場價值的關(guān)鍵變量，如凈資產(chǎn)、凈利潤、銷售收入等；股票市場中存在可比公司，且市場價值與該變量的比值即乘數(shù)在公司之間是橫向可比的。二、股票價值分析的基本方法（一）絕對估值法絕對估值方法是建立在現(xiàn)金流貼現(xiàn)基本思想上的，認為股票的內(nèi)在價值等于預(yù)期未來現(xiàn)金流量的現(xiàn)值之和。包括股利貼現(xiàn)模型(DDM)、自由現(xiàn)金流模型(FCFF)和股權(quán)自由現(xiàn)金流模型(FECE)，上述三種絕對估值法均運用收入的資本化定價方法來計算普通股票的內(nèi)在價值。（二）相對估值法相對估值法是使用市盈率、市凈率、市售率、市現(xiàn)率等價格指標(biāo)與其它多只股票進行對比，如果低于對比股票指標(biāo)值的平均值，則股票價格被低估，股票預(yù)期價格將上升，使得指標(biāo)回歸對比股票的平均值；反之則相反。

相對估值方法依賴兩個重要的假設(shè)前提：存在一個影響股份公司市場價值的關(guān)鍵變量，如凈資產(chǎn)、凈利潤、銷售收入等；股票市場中存在可比公司，且市場價值與該變量的比值即乘數(shù)在公司之間是橫向可比的。二、股票價值分析的基本方法三、股票定價（一）收益資本化法

1.收益資本化法的一般形式及投資價值判斷方法(1)收益資本化法的一般形式收益資本化法認為任何資產(chǎn)的內(nèi)在價值取決于持有資產(chǎn)可能帶來的未來現(xiàn)金流流入的現(xiàn)值。收益資本化法的數(shù)學(xué)一般形式可以表示為：(9-1)其中：Dt是普通股第t期支付的股利或紅利；其余變量定義與式（911）一致。股利貼現(xiàn)模型假定股票的價值等于它的內(nèi)在價值，而股利是投資股票唯一的現(xiàn)金流。三、股票定價

1938年，美國投資理論家威廉斯(Williams)在《投資價值理論》中闡述了證券價值的基本分析理論，將收入資本化法運用于普通股價值分析，并由此引出了著名的股利貼現(xiàn)模型(DividendDiscountModels,DDMs)。DDMs模型的函數(shù)表達一般形式如下：(9-2)其中：V3為第三期期末出售該股票時的股票價格。根據(jù)股利貼現(xiàn)模型，該股票在第三期期末的價格應(yīng)該等于當(dāng)時該股票的內(nèi)在價值，即：三、股票定價

事實上，絕大多數(shù)投資者并非在投資之后永久性地持有股票，更可能的是在買進股票一段時間之后拋出該股票。所以，根據(jù)收益資本化法，賣出股票的現(xiàn)金流收入也應(yīng)該納入股票內(nèi)在價值的計算。假定某投資者在第三期期末賣出所持有的股票，根據(jù)收入資本化定價方法，該股票的內(nèi)在價值應(yīng)該等于：(9-3)(9-4)式（9-3）與式（9-2）是完全一致的，表明股利貼現(xiàn)模型采用未來的股利代表投資股票唯一的現(xiàn)金流并沒有忽視買賣股票的資本利得對股票內(nèi)在價值的影響。如果能夠準確地預(yù)測股票未來的每期股利，則可以根據(jù)式（9-2）計算股票的內(nèi)在價值。三、股票定價將式（9-4）代入式（9-3），并簡化得到：(9-6)使用DDMs模型進行估值時須注意三個假定條件：第一，股利的支付在時間上是永久性的，即式（9-2）中的t趨向于無窮大；第二，股利的增長速度為一個常數(shù)，即式（9-7）中g(shù)_t等于常數(shù)g；第三，模型中的貼現(xiàn)率大于股利增長率，即式（9-2）中的k大于g。：三、股票定價

在對股票未來每期股利進行預(yù)測時，關(guān)鍵在于預(yù)測每期股利的增長率。定義gt為第t期的股利增長率，則gt可以表示為：(9-7)(2)股票投資價值判斷其中：NPV代表凈現(xiàn)值；P為股票的市場價格。當(dāng)NPV大于零時，表明股票的市場價格被低估，投資者可以逢低買入；當(dāng)NPV小于零時，表明股票的市場價格被高估，則可以逢高賣出。類似的，式（9-9）為比較貼現(xiàn)率與內(nèi)部收益率的差異。三、股票定價

股利貼現(xiàn)模型可以幫助投資者判斷某股票的價格屬于低估還是高估。如果股票的凈現(xiàn)值大于零，說明該股票被低估；反之，該股票被高估。用數(shù)學(xué)公式可以表示：(9-8)(9-9)式（9-10）中，當(dāng)k>0時，1?(1+k)<0。根據(jù)極限理論可以將式（9-10）簡化為：三、股票定價2.零增長模型零增長模型假定股利發(fā)放的金額固定不變，即股利增長率為零，是股利貼現(xiàn)模型的一種特殊形式。令式（9-7）中的gt=0可知D0=D1=D2=.....=D∞，則股利零增長模型的基本形式如下：(9-10)(9-11)顯然，V=80>65，表明Zinc公司股票的市場價格被嚴重低估。根據(jù)內(nèi)部收益率法也可以對Zinc公司股票市場價格的高低進行判斷。三、股票定價

例9-1：如果Zinc公司預(yù)期每年支付股利每股8美元，預(yù)期收益率是10%，問該股票的內(nèi)在價值是多少？如果Zinc公司股票目前的市場價格是每股65美元，那么該公司股票是被高估還是被低估？根據(jù)式（9-11），Zinc公司股票的內(nèi)在價值為(美元)固定增長模型有三個假定條件：第一，股利的支付在時間上是永久性的，即式（9-2）中的t趨向于無窮大；第二，股利的增長速度為一個常數(shù)，即式（9-7）中g(shù)t等于常數(shù)g；第三，模型中的貼現(xiàn)率大于股利增長率，即式（9-2）中的y大于g。三、股票定價3.固定增長模型固定增長模型又稱常數(shù)增長模型或戈登模型(GordonModel)。該模型假設(shè)公司股利每年按照固定的增長率g增長。因此，未來任意一期的股利可以表示為(9-12)式（9-13）是固定增長模型的函數(shù)表達形式。當(dāng)股利增長率等于零時，固定增長模型就轉(zhuǎn)變成零增長模型。因此，零增長模型是固定增長模型的一種特殊形式。三、股票定價

根據(jù)第上述假定條件，將式（9-12）代入式（9-2）可以得到(9-13)顯然，由于V=13.38<20，該上市公司股票價格被高估。同樣可以采用內(nèi)部收益率法進行投資判斷。固定增長模型假設(shè)公司以一個與名義增長率相當(dāng)或稍低的速度穩(wěn)定增長，然而，很少有公司可以一直維持穩(wěn)定增長，因此該模型具有一定的局限性，僅適用于成熟期公司的股票估值。三、股票定價

例9-2：某上市公司上期每股股利1元，投資者預(yù)期股利每年以7%的速度增長，預(yù)期收益率為15%，問該股票的內(nèi)在價值是多少？如果該公司目前的市場價格是20元，問該公司股票是被高估還是被低估？根據(jù)式（9-13）可得三、股票定價4.三階段增長模型

第一個階段(期限為TA)的股利的增長率為一個常數(shù)ga；第二個階段（期限為TA+1到TB-1）是股利增長的轉(zhuǎn)折期，股利增長率以線性的方式從ga變化為gb，第三階段（期限為TB時點及以后）的股利增長率為gb。如果ga>gb，則在轉(zhuǎn)折期內(nèi)股利增長率表現(xiàn)為遞減；反之，表現(xiàn)為遞增。根據(jù)式（9-14）計算出TA+1到TB-1期間的貼現(xiàn)率gt后，則三階段增長模型的股票內(nèi)在價值公式為：三、股票定價

因此，在ga、gb、TA以及TB已知的條件下，TA+1到TB-1期間任意時點t的股利增長率gt為(9-14)(9-15)：三、股票定價

例9-3：假定某公司股票當(dāng)期支付的股利每股為1元，并在今后兩年以6%的速度遞增。股利增長率從第3年開始遞減，并在第6年開始每年保持3%的速度穩(wěn)定增長。若股利的貼現(xiàn)率為8%，請為該公司的股票估值。將例9-3的條件代入式（9.14），得到第三年至第六年的股利增長率為如果該公司股票當(dāng)前的市場價格為20元，則根據(jù)凈現(xiàn)值的判斷原則，可以證明該股票的價格被低估；反之則反之。與零增長模型和固定增長模型不同，在三階段增長模型中，很難運用內(nèi)部收益率的指標(biāo)判斷股票的低估抑或高估。這是因為在已知當(dāng)前市場價格的條件下，式（9-15）無法直接解出內(nèi)部收益率。三、股票定價

將D0=1、ga=0.06、gb=0.06以及過渡階段的各年增長率代入式（9-15）可得多階段增長模型假定在某一時點T之前的股利增長率是時變的，沒有規(guī)律性，但是在時點T之后股利增長率為一常數(shù)g。多元增長模型的內(nèi)在價值計算公式為三、股票定價5.多階段增長模型大多數(shù)股份公司都要經(jīng)歷企業(yè)的生命周期，在不同的發(fā)展階段，公司的成長速度不斷變化。相應(yīng)地，股利增長率也隨之改變。在發(fā)展初期，由于再投資的盈利機會較多，公司的派息比率一般比較低，但股利的增長率相對較高。隨后，公司進入成熟期，伴隨著競爭對手的加入，市場需求的飽和，再投資的盈利機會越來越少。在此期間，雖然公司擴張機會的減少，股利增長的速度會放慢，但是公司會提高派息比率，股利也會增加。(9-16)三、股票定價

例9-4：假設(shè)XYZ公司目前處于高增長時期，預(yù)期5年后的收益增長率開始以線性方式逐漸過渡到穩(wěn)定增長階段，且這一時期將持續(xù)5年。請為XYZ公司的股票估值。背景信息2005年公司每股收益為4.0元，每股股利為0.8元，則股利支付率=0.8/4=20%；2005年股權(quán)資本收益率為20%。高速增長期為5年，根據(jù)2005年的ROE和留存收益比率，高速增長階段的股利預(yù)期增長率=股權(quán)資本收益率×(1-股利支付率)=20%×(1-20%)=16%。高速增長階段高速增長階段公司股票β系數(shù)為1.25，同期無風(fēng)險利率為6.5%，市場風(fēng)險溢價為5.5%，則股票成本（貼現(xiàn)率）=無風(fēng)險利率+β×風(fēng)險溢價=6.5%+1.25×5.5%=13.375%。三、股票定價過渡階段過渡期為5年，收益增長率從第5年末的16%以線性遞減下降到第10年末的6%；股利支付率以線性遞增方式從目前的20%上升到第10年末的60%；公司股票β系數(shù)將呈線性從第5年末的1.25逐漸下降到第10年末的1，無風(fēng)險利率為6.5%，市場風(fēng)險溢價為5.5%。穩(wěn)定增長階段預(yù)期增長率為6%，股利支付率為60%，股權(quán)資本成本（貼現(xiàn)率）為6.5%+1×5.5%=12%。

解：由于g1=g2=...=g5=16%，g10=g11=...=gn=6%。那么，根據(jù)式（9-14）計算XYZ公司在第二增長階段的各年股利增長率為同理可以得到y(tǒng)8、y9以及y10三、股票定價同理可以計算出g8=10%、g9=8%和g10=6%，并得到XYZ公司在各年的每股盈余。接下來，需要計算股利的貼現(xiàn)率。根據(jù)條件，高速增長期的貼現(xiàn)率y1=y2=...=y5=13.375%。由于過渡期內(nèi)公司股票β系數(shù)從第5年末將線性遞減的方式逐漸下降到第10年末的1，且無風(fēng)險利率與市場風(fēng)險溢價不變，顧過渡期及以后內(nèi)各年的貼現(xiàn)率為三、股票定價

最后，分三階段計算股利現(xiàn)值三、股票定價（二）股權(quán)自由現(xiàn)金流量折現(xiàn)法所謂股權(quán)自由現(xiàn)金流量（Freecashflowtoequity，F(xiàn)CFE）是指歸屬于股東的剩余現(xiàn)金流量，即公司在履行了所有的財務(wù)責(zé)任，如債務(wù)的還本付息，并滿足其本身再投資需要之后的“剩余現(xiàn)金流量”，如果有發(fā)行在外的優(yōu)先股，還應(yīng)扣除優(yōu)先股股息。對目標(biāo)公司股票進行估值之前，首先須計算目標(biāo)公司的股權(quán)自由現(xiàn)金流量。（1）以稅后收益為起點計算股權(quán)自由現(xiàn)金流（FCFE）的計算公式為

其中，EAT為稅后收益，NCC為折舊，ΔW為營運資本增加額，F(xiàn)為資本性支出，d為優(yōu)先股股利，P為舊債償還額，B為新債發(fā)行額。(9-16)其中，B為總負債；A為總資產(chǎn)。得到股權(quán)現(xiàn)金流量之后，目標(biāo)公司的股票估值公式的一般形式為三、股票定價（2）以公司目標(biāo)負債比率（負債/總資本）為追加的資本支出和營運資本進行融資，且通過發(fā)行新債償還舊債券的本金為起點，則股權(quán)自由現(xiàn)金流量計算公式為其中，k為貼現(xiàn)率。與收益資本化法類似，股權(quán)自由現(xiàn)金流量方法也可以分為固定增長、高速增長、兩階段增長以及多階段增長等形式。(9-17)(9-18)其中，g為FCFE的增長率。式（9-19）為股權(quán)自由現(xiàn)金流為固定增長模型。式（9-20）中等號右側(cè)的兩項則表示在第n年之前目標(biāo)公司的FCFE發(fā)生有規(guī)律或無規(guī)律的變化（一般假設(shè)為高速增長階段），而在第n年之后進入固定增長階段。三、股票定價三、股票定價(三)相對估值法相對估值法根據(jù)某一變量考察可比公司的價值，以確定被評估公司的價值。相對估值法認為企業(yè)無所謂內(nèi)在價值，而只有相對價值才有現(xiàn)實意義，其內(nèi)在假設(shè)是同行業(yè)的公司之間有較大的可比性。相對估值法的基本步驟：第一，確定擬估值公司的比較變量，并進行計算或預(yù)測，比如公司的每股收益。第二，選擇合適的估值倍數(shù)。這一步是估值的關(guān)鍵。估值倍數(shù)的選擇受公司的市場地位、經(jīng)營情況以及財務(wù)狀況等因素影響，比如P/E（股價/每股收益）。第三，估算股票價值。用第一步得出的比較變量乘以對應(yīng)的基準估值倍數(shù)，比如“每股收益×基準P/E”，得出估算的股票價值。三、股票定價1.市盈率模型市盈率是股票價格相對與公司每股收益的比值，用公式表示為其中，P為股票價格；EPS為每股收益（每股收益也稱作每股凈利潤），進一步，如果每股收益為本期數(shù)據(jù)，則式（9-21）為靜態(tài)市盈率；如果每股收益為預(yù)期每股凈利，則式（9-21）為動態(tài)市盈率。靜態(tài)和動態(tài)市盈率分別表示為(9-21)三、股票定價例9-6：在深圳證券交易所上市的某房地產(chǎn)上市企業(yè)WK公司2015年底的財務(wù)數(shù)據(jù)如下：年度凈利潤為22億元，總股本44億股。預(yù)測WK公司將來12個月的每股收益為0.60元，目前股價為25元。則：（1）計算WK公司的本期市盈率和預(yù)期市盈率；（2）其它條件不變的條件下，若預(yù)測WK公司將來12個月的每股收益為0.80元，并且如WK這樣規(guī)模和盈利能力企業(yè)的本期市盈率和預(yù)期市盈率的合理值分別為40和35，那么請判斷WK股票是否被充分定價？三、股票定價

由于WK公司股票的當(dāng)前價格為25元，因此，該股票被高估。同理，選用預(yù)期市盈率進行分析。根據(jù)將PE=35和EPS=0.8代入式（9-21）可知顯然，WK公司股票的價格被低估。2.市凈率模型市凈率（PB）是指股票價格與每股凈資產(chǎn)(BookValue)的比值。這一指標(biāo)反映了市場對上市公司凈資產(chǎn)經(jīng)營能力的溢價判斷。市凈率大于1，說明上市公司每一元凈資產(chǎn)可以高于一元的價格交易；反之則反之。市凈率的數(shù)學(xué)表達式為(9-22)三、股票定價

其中，PB為市凈率，P為股票價格，ROE為權(quán)益資本收益率，k為股權(quán)資本成本（即貼現(xiàn)率），g為長期穩(wěn)定增長率。若式（9-22）中的BV為本期每股凈資產(chǎn)，則PB為當(dāng)期市凈率；若BV為預(yù)期每股凈資產(chǎn)，BP為預(yù)期市凈率。將式（9-22）兩邊同時乘以BV有凈資產(chǎn)的多少是由股份公司經(jīng)營狀況決定的，股份公司的經(jīng)營業(yè)績越好，其資產(chǎn)增值越快，股票凈值就越高，從而股東所擁有的權(quán)益也越多。一般來說，市凈率較低股票的資價值較高；相反，則投資價值較低。(9-23)三、股票定價

（四）絕對估值法和相對估值法的比較與絕對估值方法相比，相對估值方法在實踐中得到了廣泛的應(yīng)用。其原因主要有以下幾個方面：（1）與現(xiàn)金流貼現(xiàn)方法相比，以乘數(shù)和可比公司為基礎(chǔ)的相對估值方法放松了假設(shè)約束條件，并且計算更加簡便；（2）相對估值方法更通俗易懂，容易被投資者理解；（3）采用現(xiàn)金流貼現(xiàn)方法可能無法準確估計某些企業(yè)，如高科技公司的市場價值，或者估計結(jié)果難以解釋市場價格，而采用相對估值方法可以避免這一不足。但是，相對估值方法也存在一些缺陷：(1)相對估值方法使用的是會計盈余而非現(xiàn)金流量，而會計盈余作為一個會計指標(biāo)，它受到不同會計政策、會計方法等的影響，可能導(dǎo)致不同企業(yè)的會計盈余缺乏可比性；(2)相對估值方法一般建立在一年的基礎(chǔ)上，并沒有考慮到一年以后的變化，因此，本年度盈余數(shù)量相同的公司在未來的成長性可能完全不同，從而導(dǎo)致估價是不合理的。債券定價原理第二節(jié)債券價值分析一、債券定價二、債券內(nèi)在價值與市場價格三、債券屬性與債券價格分析四、債券定價原理一、債券定價債券定價包含三個基本步驟：首先，確定現(xiàn)金流量。其次，確定貼現(xiàn)率。最后，債券定價一、債券定價

（一）零息債券定價零息債券，又稱貼現(xiàn)債券（zero-couponbond），是一種以低于面值的貼現(xiàn)方式發(fā)行，在存續(xù)期間不支付利息，到期按債券面值償還的債券。零息債券在其期限內(nèi)不支付利息，故未來只有一筆現(xiàn)金流入。因此，零息債券內(nèi)在價值的計算公式為其中，V為零息債券的內(nèi)在價值，P為零息債券的面值，k為到期收益率（貼現(xiàn)率），n為債券的到期時間（通常以年為單位）。需要說明的是，式（9-25）中P的含義要分幾種情況：如果債券投資者一直將債券持有至到期日，則P為債券面值；如果債券投資者在到期前將債券出售，則P為轉(zhuǎn)讓價格。一、債券定價例9-8：假定某種零息債券的面值為100萬美元，期限為20年，該債券的預(yù)期收益率為10%，那么它的內(nèi)在價值應(yīng)該是多少？根據(jù)式（9-25）有（二）附息債券定價附息債券，又稱定息債券，或固定利息債券，是指按照債券的票面利率定期向投資者支付利息，并在債券到期時償還本金的債券。固定利率債券是指在債券期限內(nèi)票面利率不變的債券，而浮動利率債券是指發(fā)行時規(guī)定債券利率隨市場利率定期浮動的債券，即每次付息時利率將按規(guī)定進行變動和調(diào)整。浮動利率債券的定價在原理上與固定利率債券相同。一、債券定價

與零息債券相比，附息債券未來的現(xiàn)金流將不再是一次，而是有多次（一次本金和若干次利息）。因此，附息債券的內(nèi)在價值計算公式為其中，c是債券每期支付的利息，其他變量與式（9-25）相同。式（9-26）可理解為一年付息一次的債券。如果債券是一年付息m次，每次的利息支付為c/m，則債券的定價公式為

一、債券定價例9-9：美國政府于2012年11月發(fā)行了一種面值為1000美元，年利率為13%的4年期國債。傳統(tǒng)上，美國國債的利息每半年支付一次，且分別在每年的5月和11月支付，每次支付利息65美元（130/2美元）。那么，2012年11月購買該債券的投資者的未來現(xiàn)金流可用表9-4表示。如果該美國國債的預(yù)期收益率為10%，那么該債券的內(nèi)在價值為多少？由于美國國債每半年付息一次，則貼現(xiàn)率y=10%/2=5%。因此，根據(jù)式（9-27）有

一、債券定價（三）統(tǒng)一公債統(tǒng)一公債（Consols），又稱永續(xù)債券，是一種沒有到期日的特殊附息債券。優(yōu)先股實際上也是一種統(tǒng)一公債。統(tǒng)一公債的內(nèi)在價值的計算公式如下：例9-10：某統(tǒng)一公債每年的固定利息是50美元，假定該債券的預(yù)期收益率為10%，那么，該債券的內(nèi)在價值是多少？根據(jù)式（9-28）可得二、債券內(nèi)在價值與市場價格

下面將以附息債券為例，說明如何根據(jù)債券內(nèi)在價值與市場價格的差異判斷債券價格屬于低估還是高估。（一）到期收益率差異第一種方法是比較債券兩種到期收益率的差異。式（9-25）、（9-26）以及（9-28）中的y均為債券的預(yù)期收益率，即根據(jù)債券的風(fēng)險大小確定的到期收益率（yield-to-maturity）；而另外一種到期收益率是債券本身承諾的到期收益率（promisedyield-to-maturity），用k表示。假設(shè)債券的市場價格為P，每期支付的利息為c，到期償還本金（面值）A，那么，債券價格與債券本身承諾的到期收益率之間存在下列關(guān)系式：二、債券內(nèi)在價值與市場價格

此時，如果y>k，該債券的價格被高估；如果y<k，則該債券的價格被低估；當(dāng)且僅當(dāng)y=k時，債券的價格等于債券價值，市場也處于均衡狀態(tài)。因此，若未特別說明，債券的預(yù)期收益率y與債券承諾的到期收益率k是相等的，這意味著債券價格與債券價格也相等。例9-11：某債券的價格為900美元，每年支付利息60美元，三年后到期并償還本金1000美元，那么該債券承諾的到期收益率是多少？根據(jù)式（9.29）可以知如果該債券的預(yù)期收益率為9%，則y<k，那么該債券的價格被低估。二、債券內(nèi)在價值與市場價格（二）內(nèi)在價值與市場價格差異將債券當(dāng)前內(nèi)在價值V與債券價格P之間的差額定義為債券投資者的凈現(xiàn)值（NPV）。那么，當(dāng)凈現(xiàn)值大于零時，意味著內(nèi)在債券價格大于債券價格，即市場利率低于債券承諾的到期收益率，則該債券被低估；反之，當(dāng)凈現(xiàn)值小于零時，該債券被高估。因此，凈現(xiàn)值（NPV）可以表示為沿用例9-11，若債券的預(yù)期收益率為9%，則該債券的凈現(xiàn)值為由于NPV>0，所以該債券的市場價格被低估,這對于投資者構(gòu)成了一個賣出信號。

三、債券屬性與債券價格分析

由于不同種類的債券在到期時間、息票率、違約風(fēng)險、稅收待遇以及是否含權(quán)等方面存在著差異，因此，債券的屬性對債券價格將產(chǎn)生顯著的影響。（一）到期時間當(dāng)債券的預(yù)期收益率y和債券的到期收益率k上升時，債券的內(nèi)在價值和市場價格均將下降。當(dāng)其他條件不變時，債券的到期時間越長，債券價格的波動幅度越大，但是當(dāng)?shù)狡跁r間變化時，債券的邊際價格變動率遞減。例9-12，假定存在4種期限分別是1年、10年、20年和30年的債券，它們的息票率都是6%，面值均為1000元，其他屬性均完全一樣。起初這些債券的預(yù)期收益率都等于6%，根據(jù)內(nèi)在價值的計算公式可知這4種債券的內(nèi)在價值都是1000元。如果預(yù)期收益率上升或下降，這4種債券的內(nèi)在價值的變化如表9-5所示。三、債券屬性與債券價格分析

根據(jù)表9-5可知，當(dāng)預(yù)期收益率由6%上升到8%，四種期限債券的內(nèi)在價值分別下降20元、140元、200元和230元；反之，當(dāng)預(yù)期收益率由6%下降到4%時，四種債券的內(nèi)在價值則分別上升20元、160元、270元和350元。

三、債券屬性與債券價格分析（二）息票率債券的到期時間決定了債券的投資者取得未來現(xiàn)金流的時間，而息票率決定了未來現(xiàn)金流的大小。在其他條件不變的情況下，債券的息票率越低，債券價格隨預(yù)期收益率波動的幅度越大。例9-13：存在5種債券，期限均為20年，面值均為1000元。5種債券的息票率分別為4%、5%、6%、7%和8%。假設(shè)這些債券的預(yù)期收益率均為7%，那么，可以利用式（9.26）分別計算出各自的內(nèi)在價值。如果預(yù)期收益率發(fā)生變化，如上升到8%或下降到5%，則相應(yīng)地計算出這5種債券新的內(nèi)在價值。具體結(jié)果如表9-6所示

三、債券屬性與債券價格分析（三）可贖回條款許多債券在發(fā)行時含有可贖回條款（CallProvision），即在一定時間內(nèi)發(fā)行人有權(quán)贖回債券。含有可贖回條款的債券有利于發(fā)行人，當(dāng)預(yù)期收益率下降并低于債券的息票率時，債券的發(fā)行人能夠以更低的成本籌到資金。可贖回條款的存在，降低了債券的內(nèi)在價值，并且降低了投資者的實際收益率。一般而言，息票率越高，發(fā)行人行使贖回權(quán)的概率越大。為彌補被贖回的風(fēng)險，這種債券發(fā)行時通常有較高的息票率和較高的承諾到期收益率。（四）稅收待遇由于不同國家實行的法律不同，不僅不同種類的債券可能享受不同的稅收待遇，而且同種債券在不同的國家也可能享受不同的稅收待遇。債券稅收待遇影響債券價格的關(guān)鍵在于利息收入是否需要納稅。例如，美國法律規(guī)定，市政債券（地方政府債券）的利息收入可以免繳聯(lián)邦收入所得稅，所以市政債券的名義到期收益率往往比沒有免稅待遇的相似債券要低。三、債券屬性與債券價格分析（五）違約風(fēng)險債券的違約風(fēng)險(DefaultRisk)是指債券發(fā)行人未履行契約的規(guī)定，不能按期、足額支付債券本金和利息，從而給債券投資者帶來損失的可能性。一般而言，為了補償投資者可能遭受的違約損失，違約風(fēng)險較高的債券的預(yù)期收益率較高，因此，當(dāng)債券未來的現(xiàn)金流相同時，違約風(fēng)險較高的債券的當(dāng)前價格較低。（六）可轉(zhuǎn)換性可轉(zhuǎn)換債券也是一種含權(quán)債券，其持有者可用債券來交換一定數(shù)量的普通股股票?？赊D(zhuǎn)換債券息票率和承諾的到期收益率通常較低。但是，如果從轉(zhuǎn)換中獲利，則投資者的實際收益率會大于承諾的收益率。

四、債券定價原理定理一：債券的價格與債券的收益率成負相關(guān)關(guān)系。當(dāng)債券價格上升時，債券的收益率下降；反之，當(dāng)債券價格下降時，債券的收益率上升。例9-14：某5年期的債券A，面值為1000美元，每年支付利息80美元，即息票率為8%。如果現(xiàn)在的市場價格等于面值，意味著它的預(yù)期收益率等于8%。如果該債券的市場價格上升到1100美元，它的預(yù)期收益率將下降為5.76%，低于息票率；反之，當(dāng)債券的市場價格下降到900美元時，則預(yù)期收益率將上升到10.98%，高于息票率。具體計算過程如下：

四、債券定價原理定理二：當(dāng)債券的預(yù)期收益率不變，即債券的息票率與預(yù)期收益率之間的差額固定不變時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度成正相關(guān)關(guān)系。債券的到期時間越長，其價格波動幅度越大；反之，到期時間越短，價格波動幅度越小。例9-15：某5年期的債券，面值為1000美元，每年支付利息60美元，即息票率為6%。如果債券發(fā)行價格低于面值，為833.31美元，意味著收益率為9%，高于息票率。如果一年后，該債券的收益率維持在9%的水平不變，則它的市場價格將為902.81美元。這種變動說明了在維持收益率不變的條件下，隨著債券到期日的臨近，債券價格的波動幅度從116.69=1000-883.31（美元）減少到97.19=1000-902.81（美元）。具體計算過程如下：四、債券定價原理定理三：隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，并且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，并且是以遞減的速度增加。定理四：對于期限既定的債券，由收益率下降導(dǎo)致的債券價格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升導(dǎo)致的債券價格下降的幅度。換言之，對于同等幅度的收益率變動，收益率下降給投資者帶來的利潤大于收益率上升給投資者帶來的損失。定理五：對于給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度之間成負相關(guān)關(guān)系。息票率越高，債券價格的波動幅度越小。

債券定價原理第三節(jié)期貨和期權(quán)價值分析一、期貨價值分析二、期權(quán)價值分析一、期貨價值分析（一）期貨價格期貨價格（FuturesPrices）為使得期貨合約價值為零的理論交割價格。雖然期貨合約與遠期合約非常相似，但是由于交易制度、報價等因素的影響，期貨價格與遠期價格并不完全一致。期貨價格與遠期價格的關(guān)系有以下三個規(guī)律：當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應(yīng)相等；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠期價格；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈負相關(guān)時，遠期價格就會高于期貨價格。

一、期貨價值分析（二）基本假設(shè)和變量符號1.基本假設(shè)為簡便起見，期貨定價的分析建立在如下假設(shè)前提下：沒有交易費用和稅收；市場參與者均能以相同的無風(fēng)險利率借入和貸出資金；期貨合約沒有違約風(fēng)險；允許現(xiàn)貨賣空；當(dāng)套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，顧得到的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格；期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險利率，任何人均可不需成本地取得期貨合約的多頭或空頭頭寸。

一、期貨價值分析2.變量符號期貨定價過程中的變量符號定義如下：T：期貨合約到期的時刻(年)S0：期貨合約標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前市場價格ST：期貨合約標(biāo)的資產(chǎn)在時刻T時的市場價格K：期貨合約的交割價格f：時刻t的期貨合約多頭價值F0：當(dāng)前的期貨價格r：以連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險利率F：t時刻的期貨合約理論價格。一、期貨價值分析（三）期貨定價1.定價原理遠期與期貨的定價均主要運用相對定價法中的無套利思想。套利（Arbitrage）是指在某項資產(chǎn)的交易過程中，交易者可在不需要期初投資支出的條件下便可獲得無風(fēng)險報酬。在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生無風(fēng)險盈利的策略。

套利存在的條件：存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益相同，但成本卻不同；存在兩個成本相同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益不同；一個組合的構(gòu)建成本為零，但損益大于等于零，且至少在某一狀態(tài)下大于零。一、期貨價值分析

無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是“復(fù)制”技術(shù)，是指用一組證券來復(fù)制另外一組證券，其要點是使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征與被組合的現(xiàn)金流特征完全一致，即復(fù)制組合的多頭(空頭)與被復(fù)制組合的空頭(多頭)互相之間完全實現(xiàn)頭寸對沖。例9-18：假設(shè)2個零息票債券A和B，兩者都是1年后的同一天到期，面值都是100元。如果債券A的當(dāng)前價格為98元，假設(shè)不考慮交易成本和違約情況，那么（1）債券B的當(dāng)前價格應(yīng)為多少？（2）如果PB＝97.5元，當(dāng)前是否存在套利機會？如何套利？

解：（1）根據(jù)同損益同價格定價理論可知，兩種零息債券同一天到期，且面值相同，即未來損益相同。因此，不存在套利機會的必要條件為兩者的價格相同，所以債券B的當(dāng)前價格也應(yīng)該為98元。（2）如果PB=97.5元，此種情況下B債券被低估，顧存在套利機會。具體操作為：投資者應(yīng)該買低賣高，即應(yīng)該花97.5元買進債券B，同時以98元賣出債券A，則期初凈獲得0.5元的利潤，一年之后因為兩種債券的面值相同，但所持的頭寸相反，所以剛好抵消。

一、期貨價值分析（二）無收益資產(chǎn)的期貨定價模型無收益資產(chǎn)是指期貨合約標(biāo)的資產(chǎn)在從時刻t到期貨合約到期時刻T之間不產(chǎn)生現(xiàn)金流收入。為了給無收益資產(chǎn)的期貨合約定價，構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份期貨合約多頭加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金，K為期貨合約中的交割價格；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。

一、期貨價值分析

根據(jù)無套利原則，資產(chǎn)的終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，顧這兩種組合在t時刻的價值必須相等。因此，t時刻期貨合約的價值f滿足式（9-31）表明，無收益資產(chǎn)期貨合約多頭的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。由于期貨價格為期貨合約價值為零的交割價格，即當(dāng)f=0時，K=F。據(jù)此可令式（9-31）中的f=0，則期貨價格為式（9-32）為無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨—期貨平價定理，或稱現(xiàn)貨-遠期平價定理。

一、期貨價值分析例9-19：期限為3個月的股票期貨合約的價格為39美元。3個月后到期的無風(fēng)險年利率為5%，股票當(dāng)前價格為40美元，不付紅利。試問該期貨合約價格是被高估還是低估？（二）支付已知收益資產(chǎn)的期貨合約定價支付已知現(xiàn)金收益的標(biāo)的資產(chǎn)是指在期貨合約到期前會產(chǎn)生完全可預(yù)測現(xiàn)金流的資產(chǎn)，例如支付已知現(xiàn)金紅利的股票。構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份期貨合約多頭加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金。組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險利率，期限從當(dāng)前時刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日，本金為I的負債。一、期貨價值分析

組合A在T時刻的價值等于一單位標(biāo)的證券。在組合B中，由于標(biāo)的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來償還負債的本息，因此在T時刻，該組合的價值也等于一單位標(biāo)的證券。終值相同必然要求現(xiàn)值相同，因此，在t時刻，這兩個組合的價值應(yīng)相等，即有令f=0和K=F，根據(jù)期貨價格的定義，可從式（9-33）中求得式（9-34）為支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨—期貨平價公式，即支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價格等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。

一、期貨價值分析例9-20：目前，6個月期和1年期的無風(fēng)險年利率分別為4.17%與4.11%。市場上某種10年期國債的現(xiàn)貨價格為990元，以該國債為標(biāo)的一年期期貨合約的交割價格為1001元。該債券在6個月和12個月后都將收到60元利息，且第二次付息在期貨交割月之前。求該期貨合約的價值。債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值期貨合約多頭的價值為

一、期貨價值分析（三）支付已知收益率資產(chǎn)的期貨合約定價支付已知收益率的資產(chǎn)是指在到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率收益的資產(chǎn)。為了給出支付已知收益率資產(chǎn)的期貨合約進行定價，構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份期貨合約多頭加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金；組合B：單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計算的已知收益率。組合A在T時刻的價值等于一單位標(biāo)的證券。組合B擁有的證券數(shù)量隨著獲得紅利的增加而增加，并在時刻T正好擁有一單位標(biāo)的證券。因此，兩者的價值在t時刻也應(yīng)相等，即：

一、期貨價值分析

根據(jù)期貨價格的定義，由式（9-35）可計算出支付已知收益率資產(chǎn)的期貨價格為式（9-36）為支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨—期貨平價公式。例9-23：2007年9月20日，美元3個月期無風(fēng)險年利率為3.77%，S&P500指數(shù)預(yù)期紅利收益率為1.66%。當(dāng)S&P500指數(shù)為1518.75點時，2007年12月期到期的S&P500指數(shù)期貨SPZ07的理論價格為多少？由于S&P500指數(shù)期貨總在到期月的第三個星期五到期，故此2007年9月20日距SPZ07期貨到期時間為3個月。因此，可以得到該期貨的理論價格為

二、期權(quán)價值分析本部分內(nèi)容中的變量符號定義如下：

二、期權(quán)價值分析（一）期權(quán)價格的構(gòu)成期權(quán)的內(nèi)在價值，也稱履約價值，是指期權(quán)持有者立即行使期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時獲得的收益。一般而言，期權(quán)的內(nèi)在價值小于零時（實際上，由于期權(quán)可以放棄執(zhí)行，所以期權(quán)到期時的內(nèi)在價值不可能為負），該期權(quán)被稱為虛值期權(quán)；反之被稱為實值期權(quán)。期權(quán)的時間價值是指在期權(quán)有效期內(nèi)，因標(biāo)的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。期權(quán)的價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加上時間價值。

二、期權(quán)價值分析期權(quán)時間價值的大小主要受以下三個因素影響：在其它條件不變的情況下，距離期權(quán)到期時間越長，期權(quán)的時間價值越大；在其它條件不變的情況下，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動性越高，期權(quán)的時間價值越大；期權(quán)的時間價值還受期權(quán)內(nèi)在價值的影響。

二、期權(quán)價值分析（二）期權(quán)價格的上界和下界1.上界看漲期權(quán)的價格永遠不會超過標(biāo)的資產(chǎn)的價格，即使執(zhí)行價格為零，期權(quán)的價格也至多等于ST。美式或者歐式看跌期權(quán)的持有者擁有以執(zhí)行價格K賣出一單位標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，因此，在任何情形下，期權(quán)的價值不會超過K。2.不支付收益資產(chǎn)為標(biāo)的的歐式期權(quán)價格下界歐式看漲期權(quán)的價格邊界滿足如下性質(zhì)不支付紅利標(biāo)的資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的價格下界為二、期權(quán)價值分析3.美式期權(quán)的下界美式看漲期權(quán)價格的下界為美式看跌期權(quán)價格的下界

（三）Black-Scholes期權(quán)定價模型1973年，F(xiàn).Black和M.Scholes提出了經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價模型，標(biāo)志著現(xiàn)代期權(quán)理論的建立。該模型回避了關(guān)于個人風(fēng)險偏好和市場均衡價格結(jié)構(gòu)的限定性假設(shè)，發(fā)展了期權(quán)定價的均衡模型。二、期權(quán)價值分析1.理論基礎(chǔ)（1）弱式有效市場假說有效市場假說又稱隨機漫步理論，可分為三類，即弱式、半強式和強式有效市場：弱式有效市場假說認為，證券價格變動的不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。半強式有效市場假說認為，證券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此，歷史價格和成交量等技術(shù)面信息的以及已公布的基本面信息均無助于挑選價格被高估或低估的證券。強式有效市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的所有信息都已反映在股價中，因此任何信息，包括“內(nèi)幕信息”，對挑選證券都沒有用處。

二、期權(quán)價值分析

（2）布朗運動布朗運動（BrownianMotion）起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描述。然而真正用隨機過程描述的卻是維納（Wiener），因此，布朗運動又稱維納過程。①標(biāo)準布朗運動設(shè)Δt代表一個小的時間間隔長度，Δz代表變量z在Δt時間內(nèi)的變化。遵循標(biāo)準布朗運動的Δz具有兩個特征：

特征1：Δz和Δt滿足Δz=ε√Δt。其中，ε代表從標(biāo)準正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準差為1的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同的時間間隔，Δt與Δz的值相互獨立。用z(T)-z(0)表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個長度為Δt的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt，因此有二、期權(quán)價值分析

②普通布朗運動漂移率（DriftRate）是指單位時間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（VarianceRate）是指單位時間的方差。標(biāo)準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到關(guān)于變量x的普通布朗運動為其中，a和b均為常數(shù)；dz遵循標(biāo)準布朗運動。在短時間后，x值的變化值Δx為

因此，式（9-45）中的Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為aΔt，標(biāo)準差為b√Δt。同樣，在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準差為b√T。二、期權(quán)價值分析（3）證券價格的變化過程但由于投資者關(guān)心的是證券價格的變動幅度而不是變動的絕對值，因此可以用比例的方式來定義證券價格的布朗運動，即其中，S表示證券價格；μ表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利計算的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）；σ表示證券收益率單位時間的標(biāo)準差；dz遵循標(biāo)準布朗運動。根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，μ值取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平以及投資者的風(fēng)險收益偏好。由于風(fēng)險偏好涉及主觀因素，因此μ的決定比較復(fù)雜。然而，衍生證券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率μ是無關(guān)的。相反，證券價格的波動率σ對于衍生證券的定價則相對重要。

二、期權(quán)價值分析（4）伊藤過程和伊藤引理普通布朗運動假設(shè)漂移率和方差率為常數(shù)。若把隨機變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，可以得到伊藤過程（ItoProcess）為其中，dz為一個標(biāo)準布朗運動；a、b是變量x和t的函數(shù)。變量x的漂移率為a，方差率為b2。在伊藤過程的基礎(chǔ)上，伊藤進一步推導(dǎo)出，若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

二、期權(quán)價值分析

與式（9-48）一致，dz為一個標(biāo)準布朗運動。由于?G/?xa+?G/?t+1/2(?^2G)/(?x^2)b^2和?G/?xb都是x和t的函數(shù)。因此，函數(shù)G也遵循伊藤過程，其漂移率為?G/?xa+?G/?t+1/2(?^2G)/(?x^2)b^2，方差率為(?G/?x)^2b^2，這就是著名的伊藤引理。由于dS=μSdt+σSdz，且衍生證券的價格是標(biāo)的證券價格S和時間t的函數(shù)，則根據(jù)伊藤引理可知，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程：根據(jù)式（9.50）可知，衍生證券價格G和標(biāo)的證券價格S均受同一個不確定性來源dz的影響，這點對于以后推導(dǎo)衍生證券的期權(quán)定價公式非常重要。

二、期權(quán)價值分析2.Black-Scholes期權(quán)定價模型Black-Scholes期權(quán)定價模型的假設(shè)條件如下：標(biāo)的資產(chǎn)（以下簡稱為股票）遵循“幾何布朗運動”隨機過程，其中μ（股票價格在單位時間內(nèi)的期望收益率）和σ（股票價格的波動率）為常數(shù)；在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)（股票）沒有現(xiàn)金收益；股票交易是連續(xù)進行的，允許賣空，且所有股票均無限可分割；無交易稅費，不考慮保證金問題；無風(fēng)險利率r為常數(shù)，并對所有期限都是相同的，投資者可以此利率無限制地進行借貸；不存在無風(fēng)險套利機會。二、期權(quán)價值分析

在上述假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，Black和Scholes得到了歐式看漲期權(quán)的微分方程，即：

其中，r為無風(fēng)險利率；S為當(dāng)前時刻的股票價格；f為期權(quán)價格。通過解式（9-51），Black和Scholes推導(dǎo)出了歐式看漲期權(quán)的定價公式為其中二、期權(quán)價值分析

式（9-52）這就是著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式。N(x)為標(biāo)準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)，根據(jù)標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)特性有N(-x)=1-N(x)。對于歐式看跌期權(quán)，可以應(yīng)用類似的方法推導(dǎo)出Black-Scholes的理論價格為

例9-25：假設(shè)某種不支付紅利股票的市場價格為42元，無風(fēng)險利率為10%，該股票的年波動率為20%，求以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)、行權(quán)價為40元、期限為半年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格。第一步，計算d1和d2。二、期權(quán)價值分析第二步，計算N(d1)和N(d2)。由