第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽總決賽試卷含答案（三組一試）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）第十五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽總決賽試卷（三組一試）一、填空題（共3題，每題10分）1．（10分）小兔和小龜從A地到森林游樂(lè)園，小兔上午9點(diǎn)出發(fā)，1分鐘向前跳40米，每跳3分鐘就原地玩耍2分鐘；小龜上午6點(diǎn)40分出發(fā)，1分鐘爬行只有10米，但途中從不休息和玩耍．已知小龜比小兔早到森林游樂(lè)園15秒，那么A地到森林游樂(lè)園有米．2．（10分）小林做下面的計(jì)算：M÷37，其中M是一個(gè)自然數(shù)，要求計(jì)算結(jié)果是經(jīng)四舍五入后保留六位小數(shù)．小林得到的結(jié)果是9.684469，這個(gè)結(jié)果的整數(shù)位是正確的，小數(shù)各位的數(shù)字也沒(méi)有錯(cuò)，只是次序亂了，則正確的計(jì)算結(jié)果是．3．（10分）a1，a2，a3，…，an是滿足0＜a1＜a2＜a3…＜an的自然數(shù)，且＝+++…+，那么n的最小值是．二、解答題（共3題，每題10分，寫(xiě)出解答過(guò)程）4．（10分）藍(lán)精靈王國(guó)的A，B兩地的距離等于2010米，國(guó)王每分鐘派一名信使從A地向B地送信．第1號(hào)信使的速度是1米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分鐘快1米，直到派出第2010號(hào)信使為止．問(wèn)哪些信使能同時(shí)到達(dá)B地？5．（10分）如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三對(duì)平行線的距離都是1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形A′B′C′上的點(diǎn)到三角形ABC三邊距離的最大值．6．（10分）13個(gè)不同的自然數(shù)的和是996，且這些數(shù)的各位數(shù)碼之和都彼此相等，求這13個(gè)數(shù)．

第十五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽總決賽試卷（三組一試）參考答案與試題解析一、填空題（共3題，每題10分）1．（10分）小兔和小龜從A地到森林游樂(lè)園，小兔上午9點(diǎn)出發(fā)，1分鐘向前跳40米，每跳3分鐘就原地玩耍2分鐘；小龜上午6點(diǎn)40分出發(fā)，1分鐘爬行只有10米，但途中從不休息和玩耍．已知小龜比小兔早到森林游樂(lè)園15秒，那么A地到森林游樂(lè)園有2370米．【分析】如線段圖所示：已知第一階段為5分鐘，兔子走40×3＝120米，龜5分鐘走50米，兔比龜快：120﹣50＝70（米），第一階段（即中途玩耍階段）龜走的路程要大于等于兔的路程，15秒即分鐘，兔走40×＝10米；6：40至9：00中間140分鐘，140×10＝1400（米），1400﹣10＝1390（米），1390÷70≈19（組），即19個(gè)5分鐘19×5＝95（分鐘），則兔子第一階段的路程：19×120＝2280（米），龜?shù)谝浑A段的路程：1390+95×10＝2340（米）第二階段：2340﹣2280＝60（米），每五分鐘兔子比烏龜快：40﹣10＝30（米），60÷30＝2（分鐘）95+2＝97（分鐘）總路程：1400+97×10＝2370（米）．【解答】解：如線段圖所示：每五分鐘，兔子比龜快：40×3﹣50＝70（米）15秒即分鐘，兔走40×＝10米6：40至9：00中間140分鐘140×10＝1400（米）1400﹣10＝1390（米）1390÷70≈19（組）即19個(gè)5分鐘19×5＝95（分鐘）則兔子第一階段的路程：19×120＝2280（米）龜?shù)谝浑A段的路程：1390+95×10＝2340（米）第二階段：2340﹣2280＝60（米）60÷（40﹣10）＝2（分鐘）95+2＝97（分鐘）總路程：1400+97×10＝2370（米）．2．（10分）小林做下面的計(jì)算：M÷37，其中M是一個(gè)自然數(shù)，要求計(jì)算結(jié)果是經(jīng)四舍五入后保留六位小數(shù)．小林得到的結(jié)果是9.684469，這個(gè)結(jié)果的整數(shù)位是正確的，小數(shù)各位的數(shù)字也沒(méi)有錯(cuò)，只是次序亂了，則正確的計(jì)算結(jié)果是9.648649．【分析】根據(jù)題意可設(shè)＝9+（m≤36），而，×m≤×36＝，所以是循環(huán)節(jié)為3的純循環(huán)小數(shù)，小林得到的結(jié)果是9.684469，是四舍五入后保留的結(jié)果，所以是2個(gè)循環(huán)節(jié)，三位數(shù)相同，這個(gè)循環(huán)節(jié)應(yīng)是由6、4、8組成的，因小數(shù)各位的數(shù)字也沒(méi)有錯(cuò)，所以最后的一位9，是由第七位五入得到的，所以循環(huán)節(jié)的第一位應(yīng)是大于或等于5的數(shù)，第三位是8，所以這個(gè)循環(huán)節(jié)是648，據(jù)此解答．【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)＝9+（m≤36），×m≤×36＝，所以是循環(huán)節(jié)由3個(gè)數(shù)組成的純循環(huán)小數(shù)0.684469是7位小數(shù)四舍五入的結(jié)果，因此是2個(gè)循環(huán)節(jié)，它的最后一位是循環(huán)節(jié)的第3位加1得到的，所以循環(huán)節(jié)的第一位是6，循環(huán)節(jié)的正確排序是0.所以正確的計(jì)算結(jié)果是9.648649．故答案為：9.648649．3．（10分）a1，a2，a3，…，an是滿足0＜a1＜a2＜a3…＜an的自然數(shù)，且＝+++…+，那么n的最小值是4．【分析】要使n最小，就是使項(xiàng)數(shù)最小，則要使每一項(xiàng)都盡量?。?＜a1＜a2＜a3…＜an，告訴我們沒(méi)有任何兩項(xiàng)的分母相同，為了便于表述，不妨設(shè)＜1，令a1＝2，則++…+＝﹣＝＞，令a2＝3，則+…+＝﹣＝＞，令a3＝11，則+…+＝﹣＝，所以a4＝231．所以，n最小值是4．【解答】解：設(shè)＜1，令a1＝2，則++…+＝﹣＝＞，令a2＝3，則+…+＝﹣＝＞，令a3＝11，則+…+＝﹣＝，所以a4＝231．所以，n最小值是4．二、解答題（共3題，每題10分，寫(xiě)出解答過(guò)程）4．（10分）藍(lán)精靈王國(guó)的A，B兩地的距離等于2010米，國(guó)王每分鐘派一名信使從A地向B地送信．第1號(hào)信使的速度是1米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分鐘快1米，直到派出第2010號(hào)信使為止．問(wèn)哪些信使能同時(shí)到達(dá)B地？【分析】從第一名信使到最后一名信使從A地向B地送信，能夠同時(shí)到達(dá)B地的，說(shuō)明都是2010的約數(shù)，由此求出結(jié)論即可．【解答】解：設(shè)第m名與第n名信使同時(shí)抵達(dá)B地．則由tm＝n得出＝n，再得出＝n，則mn＝2010＝2×3×5×67，由此看出同時(shí)抵達(dá)B地的信使成對(duì)出現(xiàn)，共8對(duì)：（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，67）；答：有（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，67）這8對(duì)信使各自兩人同時(shí)到達(dá)．5．（10分）如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三對(duì)平行線的距離都是1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形A′B′C′上的點(diǎn)到三角形ABC三邊距離的最大值．【分析】設(shè)該點(diǎn)為P，若點(diǎn)P在A′C′上，設(shè)該點(diǎn)到AB邊和BC邊的距離分別為a，b，則該點(diǎn)到三角形ABC的三邊距離之和為a+b+1，連接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面積和為24，于是有5+3b+4a＝24可得b＝，a+b+1＝然后再分情況進(jìn)行討論．【解答】解：設(shè)設(shè)點(diǎn)為P，若點(diǎn)P在A′C′上，設(shè)該點(diǎn)到AB邊和BC邊的距離分別為a，b，則該點(diǎn)到三角形ABC的三邊距離之和為a+b+1（1），連接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面積和為24，于是有5+3b+4a＝24可得b＝，a+b+1＝然后再分情況進(jìn)行討論．當(dāng)a＝1時(shí)，a+b+1＝7，取得最大值7；若點(diǎn)P在B′C′邊上，則同樣方法可得a+c+＝＜7．若點(diǎn)P在A′B′邊上，則同樣方法可得b+c+1＝b+5，而易得b最大是5，所以此時(shí)距離和的最大值也是7．綜上，三角形A′B′C′上的點(diǎn)到三角形ABC三邊距離的最大值是7；答：三角形A′B′C′上的點(diǎn)到三角形ABC三邊距離的最大值是7．6．（10分）13個(gè)不同的自然數(shù)的和是996，且這些數(shù)的各位數(shù)碼之和都彼此相等，求這13個(gè)數(shù)．【分析】幾個(gè)加數(shù)的數(shù)字和除以9余幾，這幾個(gè)加數(shù)的和的數(shù)字和除以9也余幾；996除以9余6，所以這13個(gè)數(shù)的數(shù)碼和除以9也6．又因?yàn)檫@13個(gè)數(shù)的數(shù)碼和都相等，所以這13個(gè)數(shù)的數(shù)碼和可能是6、15、24；進(jìn)而推算即可．【解答】解：996÷9＝110…6，所以這13個(gè)數(shù)