北師大版選擇性311312點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)空間兩點(diǎn)間的距離公式課件（39張）

第三章空間向量與立體幾何§1空間直角坐標(biāo)系1.1點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)1.2空間兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,了解空間直角坐標(biāo)系,感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性,會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置,提高數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).2.掌握空間向量的坐標(biāo)表示,能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)在空間直角坐標(biāo)系中用三元有序?qū)崝?shù)組刻畫(huà)點(diǎn)的位置,提高邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).3.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式,并能用兩點(diǎn)間的距離公式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究情境導(dǎo)入知識(shí)探究問(wèn)題1:在數(shù)軸上確定點(diǎn)的位置需要幾個(gè)實(shí)數(shù)?在平面直角坐標(biāo)系中確定一個(gè)點(diǎn)的位置需要幾個(gè)實(shí)數(shù)?提示:在數(shù)軸上,一個(gè)實(shí)數(shù)確定一個(gè)點(diǎn)的位置;在平面直角坐標(biāo)系中,需要一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)才能確定一個(gè)點(diǎn)的位置.1.空間直角坐標(biāo)系過(guò)空間任意一點(diǎn)O,作三條兩兩垂直的直線,并以點(diǎn)O為原點(diǎn),在三條直線上分別建立數(shù)軸:

,這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

.點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn),x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)叫作坐標(biāo)軸,通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面,分別稱(chēng)為

平面、

平面、

平面.x軸,y軸和z軸O-xyzxOyyOzzOx問(wèn)題2:如果點(diǎn)P是空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的任意一點(diǎn),那么如何刻畫(huà)它的位置呢?提示:類(lèi)比平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方式,可以先作出點(diǎn)P在三條坐標(biāo)軸上的投影,再根據(jù)投影在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)寫(xiě)出表示點(diǎn)P位置的三元有序?qū)崝?shù)組即可.如圖,當(dāng)點(diǎn)P不在任何坐標(biāo)平面上時(shí),過(guò)點(diǎn)P分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面,依次交x軸、y軸和z軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C,則點(diǎn)A,B,C分別是點(diǎn)P在x軸、y軸和z軸上的投影.設(shè)點(diǎn)A在x軸上、點(diǎn)B在y軸上、點(diǎn)C在z軸上的坐標(biāo)依次為a,b,c,那么點(diǎn)P就對(duì)應(yīng)唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(a,b,c).2.空間中點(diǎn)的坐標(biāo)(1)在空間直角坐標(biāo)系中,對(duì)于空間任意一點(diǎn)P,都可以用

的一個(gè)三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示;反之,對(duì)于任意給定的一個(gè)三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),都可以確定空間中的一個(gè)點(diǎn)P.這樣,在空間直角坐標(biāo)系中,任意一點(diǎn)P與三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)之間,就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系:P?(x,y,z).三元有序?qū)崝?shù)組(

)叫作點(diǎn)P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作P(

),其中

叫作點(diǎn)P的橫坐標(biāo),

叫作點(diǎn)P的縱坐標(biāo),

叫作點(diǎn)P的豎坐標(biāo).x,y,zx,y,z唯一xyz(2)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)點(diǎn)的位置xOy平面內(nèi)yOz平面內(nèi)zOx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)問(wèn)題3:在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O(0,0,0)到點(diǎn)P(x0,y0,z0)的距離怎么求?空間任意兩點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)間的距離怎么求?3.空間兩點(diǎn)間的距離公式(1)在空間中,點(diǎn)P(x,y,z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離|OP|=

.(2)已知空間中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=

.師生互動(dòng)·合作探究探究點(diǎn)一[例1]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=1,E,F分別是棱BC,CC1上的點(diǎn),|CF|=|AB|=2|CE|,|AB|∶|AD|∶|AA1|=1∶2∶4.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫(xiě)出點(diǎn)E,F的坐標(biāo).點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)方法總結(jié)(1)若題目未給出坐標(biāo)系,建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則.①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi).②充分利用幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性.(2)空間中確定點(diǎn)M坐標(biāo)的三種方法.①過(guò)點(diǎn)M作MM1垂直于xOy平面,垂足為M1,求出M1的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),再由射線M1M的指向和線段MM1的長(zhǎng)度確定點(diǎn)M的豎坐標(biāo).②構(gòu)造以O(shè)M為體對(duì)角線的長(zhǎng)方體,由長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)結(jié)合點(diǎn)M的位置,可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo).③若題中所給的圖形中存在垂直于坐標(biāo)軸的平面,或點(diǎn)M在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上,則利用這一條件,再作軸的垂線即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)由點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)位置的方法.①先確定點(diǎn)(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)(x0,y0,z0)在空間直角坐標(biāo)系中的位置.②以原點(diǎn)O為一個(gè)頂點(diǎn),構(gòu)造棱長(zhǎng)分別為|x0|,|y0|,|z0|的長(zhǎng)方體(三條棱的位置要與x0,y0,z0的符號(hào)一致),則長(zhǎng)方體中與O相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn).[針對(duì)訓(xùn)練2]已知V-ABCD是正棱錐,O為底面中心,E,F分別為BC,CD的中點(diǎn).已知|AB|=2,|VO|=3,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,試分別寫(xiě)出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解:因?yàn)檎忮FV-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,所以|CE|=|CF|=1.因?yàn)辄c(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),所以C(1,1,0),同樣的方法可以確定B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0).因?yàn)閂在z軸上,所以V(0,0,3).探究點(diǎn)二[例2]在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(-2,1,4).(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo);空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解:(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后,它在x軸上的分量不變,在y軸、z軸上的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù),所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(-2,-1,-4).(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo);解:(2)由點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱(chēng)后,它在x軸、y軸上的分量不變,在z軸上的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù),所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P2(-2,1,-4).[例2]在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(-2,1,4).(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2,-1,-4)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo).解:(3)設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3(x,y,z),則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3的坐標(biāo)為(6,-3,-12).方法總結(jié)空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的解題策略(1)空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,要掌握對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的變化規(guī)律,才能準(zhǔn)確求解.(2)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題常常采用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng),誰(shuí)保持不變,其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論.探究點(diǎn)三[例3]如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分別是棱AB,B1C1的中點(diǎn),F是AC的中點(diǎn),求DE,EF的長(zhǎng)度.空間兩點(diǎn)間的距離方法總結(jié)利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長(zhǎng)度問(wèn)題的一般步驟[針對(duì)訓(xùn)練](2021·安徽六安裕安區(qū)期末)已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,點(diǎn)N是AB的中點(diǎn),點(diǎn)M是B1C1的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)寫(xiě)出點(diǎn)D,N,M的坐標(biāo);解:(1)由題意,點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),所以D(0,0,0),因?yàn)閨AB|=|BC|=2,|D1D|=3,可得A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3).又因?yàn)辄c(diǎn)N是AB的中點(diǎn),點(diǎn)M是B1C1的中點(diǎn),所以N(2,1,0),M(1,2,3).[針對(duì)訓(xùn)練](2021·安徽六安裕安區(qū)期末)已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,點(diǎn)N是AB的中點(diǎn),點(diǎn)M是B1C1的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(2)求線段MD,MN的長(zhǎng)度.當(dāng)堂檢測(cè)C解析:橫坐標(biāo)為點(diǎn)B1到坐標(biāo)平面yDz的距離,縱坐標(biāo)平為點(diǎn)B1到坐標(biāo)平面xDz的距離,豎坐標(biāo)為點(diǎn)B1到坐標(biāo)平面xDy的距離,因?yàn)锳D=3,DC=4,DD1=2,所以點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(3,4,2).故選C.B2.(2021·天津西青區(qū)期中)笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家,他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說(shuō)在他生病臥床時(shí)還在反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題:通過(guò)什么樣的方法,才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái)呢?突然,他看見(jiàn)屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng),受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,單位正方體的頂點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(-1,-1,1) B.(1,1,1)C.(1,-1,1) D.(-1,-1,-1)解析:由圖可知,點(diǎn)A(1,-1,-1),所以點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,1).故選B.ABCD備用例題解析:在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,關(guān)于xOy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)只有豎坐標(biāo)為原來(lái)的相反數(shù),所以點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2,-3).故選A.解析:根據(jù)題意可得B1(4,5,3),故A不正確;因?yàn)镃1(0,5,3),B(4,5,0),所以點(diǎn)C1關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(8,5,-3),故B不正確;根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì),點(diǎn)A關(guān)于直線BD1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為C1(0,5,3),故C正確;點(diǎn)C(0,5,0)關(guān)于平面ABB1A1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(8,5,0),故D正確.故選CD.[例4]在長(zhǎng)方體OABC-D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A,OC,OD′所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.(1)求線段A′C的中點(diǎn)M的坐標(biāo);[例4]在長(zhǎng)方體OAB