第十九屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組D卷）

第1頁（共1頁）第十九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組D卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）如圖，邊長為12米的正方形池塘周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一根木樁，且AB＝BC＝CD＝3米，現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上，為了使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在處的木樁上．2．（10分）在所有是20的倍數(shù)的自然數(shù)中，不超過3000并且是14的倍數(shù)的數(shù)之和是．3．（10分）從1～8這八個自然數(shù)中，任取三個數(shù)，其中沒有連續(xù)自然數(shù)的取法有種．4．（10分）如圖所示，網(wǎng)格中每個小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網(wǎng)格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點在格子點上或在格線上），則這個剪影的面積為平方厘米．5．（10分）如果﹣＜成立，則“○”與“□”中可以填入的非零自然數(shù)之和最大為．6．（10分）如圖，三個圓交出七個部分．將整數(shù)1～7分別填到七個部分中，要求每個圓內(nèi)的四個數(shù)字的和都相等．那么和的最大值是．7．（10分）學(xué)校組織482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴兩種汽車．如果要求每人一座且每座一人，則有種租車方案．8．（10分）長為4的線段AB上有一動點C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在過AB的直線同側(cè)，AD＝DC，CE＝EB，則線段DE的長度最小為．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）把n個相同的正方形紙片無重疊地放置在桌面上，拼成至少兩層的多層長方形（含正方形）組成的圖形，并且每一個上層正方形紙片要有兩個頂點各自在某個下層的正方形紙片一邊的中點上．如圖給出了n＝6時所有的不同放置方法，那么n＝8時有多少種不同放置方法？10．（10分）有一個杯子裝滿了濃度為15%的鹽水，有大、中、小鐵球各一個，它們的體積比為10：5：3，首先將小球沉入鹽水杯中，結(jié)果鹽水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入鹽水杯中，又將它取出，接著將大球沉入鹽水杯中后取出，最后在杯中倒入純水至杯滿為止，此時杯中鹽水的濃度是多少？11．（10分）清明節(jié)同學(xué)們乘車去烈士陵園掃墓，如果汽車行駛1個小時后將車速提高五分之一，就可以比預(yù)定時間提前10分鐘趕到；如果該車先按原速行駛60千米，再將速度提高三分之一，就可以比預(yù)定時間提前20分鐘趕到．那么從學(xué)校到烈士陵園有多少千米？12．（10分）如圖，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，連接CF交DE于P點，求的值．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，2014中取出n個數(shù)，使這n個數(shù)滿足：任意取其中兩個數(shù)，不會有一個數(shù)是另一個數(shù)的7倍．試求n的最大值，并說明理由．14．（15分）在右邊的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十個數(shù)字0到9中的一個，其中a，b，c，d四個字母代表□□□□不同的數(shù)字，求a，b，c，d代表的數(shù)字之和．

第十九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組D卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）如圖，邊長為12米的正方形池塘周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一根木樁，且AB＝BC＝CD＝3米，現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上，為了使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在B處的木樁上．【分析】分別把A、B、C、D這四個點為圓心的扇形面積算出來，再進(jìn)行比較即可選擇出正確答案．【解答】解：①SA＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；②SB＝π×42＝12π（平方米）；③SC＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；④SD＝π×42＝8π（平方米），π＜8.25π＜12π，所以為了使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在B處的木樁上．故答案為：B．2．（10分）在所有是20的倍數(shù)的自然數(shù)中，不超過3000并且是14的倍數(shù)的數(shù)之和是32340．【分析】在所有20的倍數(shù)中不超過2014并且是14的倍數(shù)最小是140，最大是2940，共21個，然后根據(jù)“高斯求和”的方法解答．【解答】解：20＝2×2×514＝2×720和14的最小公倍數(shù)是：2×2×5×7＝1403000÷140≈21.4140×21＝2940所以在所有20的倍數(shù)中不超過3000并且是14的倍數(shù)最小是140，最大是2940，共21個，（140+2940）×21÷2＝3080×21÷2＝32340．答：在所有是20的倍數(shù)的自然數(shù)中，不超過3000并且是14的倍數(shù)的數(shù)之和是32340．故答案為：32340．3．（10分）從1～8這八個自然數(shù)中，任取三個數(shù)，其中沒有連續(xù)自然數(shù)的取法有20種．【分析】首先取3個所有的方法有＝56種連續(xù)的有兩個連續(xù)另外一個不連續(xù)，如果這兩個連續(xù)的數(shù)在兩端，是12或78，則各有5種不同的方法，如：124，125，126，127，128，如果這兩個兩個數(shù)在中間，是23、34、45、56、67，則各有4種不同的方法，如：235，236，237，238；這樣一共有5×2+5×4種方法；三個連續(xù)的有123，234，345，456，567，678，6種情況；用總種數(shù)減去有連續(xù)自然數(shù)的種數(shù)，就是符合要求的數(shù)．【解答】解：＝＝56（種）有兩個連續(xù)數(shù)的可能是：5×2+5×4＝30（種）有三個連續(xù)的數(shù)的可能有6種：56﹣30﹣6＝20（種）答：沒有連續(xù)自然數(shù)取法為20種．故答案為：20．4．（10分）如圖所示，網(wǎng)格中每個小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網(wǎng)格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點在格子點上或在格線上），則這個剪影的面積為56平方厘米．【分析】按題意，可以將圖中剪影分割成若干部分，然后標(biāo)出每部分的面積，利用剪切和拼接的性質(zhì)求得每部分的面積，最后求和．【解答】解：根據(jù)分析，如圖，將剪影分割，通過分割和格點面積公式可得小馬剪影的總面積＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．5．（10分）如果﹣＜成立，則“○”與“□”中可以填入的非零自然數(shù)之和最大為393．【分析】將不等式﹣＜的左右通分，分母變成55×□，即，則5×○×□﹣385＜44×□，即5×○×□﹣44×□＜385，□×（5×○﹣44）＜385，當(dāng)5×○和44約接近時，□的值越大，所以○＝9時，□的值最大；據(jù)此解答即可．【解答】解：將不等式﹣＜的左右通分，即，，則，5×○×□﹣385＜44×□，即，5×○×□﹣44×□＜385，□×（5×○﹣44）＜385，當(dāng)5×○和44約接近時，□的值越大，所以○＝9時，□的值最大，□×（5×9﹣44）＜385□＜385□最大是384，所以，當(dāng)○＝9，□＝384時，兩數(shù)之和最大，即，○+□＝9+384＝393．答：“○”與“□”中可以填入的非零自然數(shù)之和最大為393．故答案為：393．6．（10分）如圖，三個圓交出七個部分．將整數(shù)1～7分別填到七個部分中，要求每個圓內(nèi)的四個數(shù)字的和都相等．那么和的最大值是19．【分析】因為使得每個圓內(nèi)的四個數(shù)字的和都相等，且和最大值時，7最大，就把7寫在最中間，還剩的3個較大數(shù)字6、5、4，填在兩圓公共的部分，最后剩下的1、2、3；1與7、6、5結(jié)合；2與7、6、4結(jié)合；3與7、5、4結(jié)合，那么每個圓內(nèi)的四個數(shù)字的和都是19，據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)分析可得，所以和的最大值是19．故答案為：19．7．（10分）學(xué)校組織482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴兩種汽車．如果要求每人一座且每座一人，則有2種租車方案．【分析】設(shè)42座大巴x輛，20座中巴y輛，依題意有：42x+20y＝482，求方程的整數(shù)解，即得答案．【解答】設(shè)42座大巴x輛，20座中巴y輛，依題意有：42x+20y＝482，兩邊除以2有：21x+10y＝24110y個位數(shù)字是0，所以21x的個位數(shù)字是1，x只能取1或11，x＝1時，y＝22；x＝11時，y＝1．所以有2種租車方案．達(dá)：有2鐘租車方案．8．（10分）長為4的線段AB上有一動點C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在過AB的直線同側(cè)，AD＝DC，CE＝EB，則線段DE的長度最小為2．【分析】根據(jù)題意畫出圖1，此時要使DE的長最短，就要調(diào)整兩個等腰三角形的高度，當(dāng)兩個等腰三角形一樣高的時候DE之間的長度才最小，如圖2【解答】解：因為等腰三角形是軸對稱圖形，所以可以將圖2沿兩條高對折，不難得出DE的長度實際上是AB的一半4÷2＝2故此題填2．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）把n個相同的正方形紙片無重疊地放置在桌面上，拼成至少兩層的多層長方形（含正方形）組成的圖形，并且每一個上層正方形紙片要有兩個頂點各自在某個下層的正方形紙片一邊的中點上．如圖給出了n＝6時所有的不同放置方法，那么n＝8時有多少種不同放置方法？【分析】可以分層討論各種可能的情況，然后求和匯總，由于n＝8時，最多只能分3層放置，故不難求得總共的不同的放置方法．【解答】解：根據(jù)分析，分層數(shù)不同討論：①層數(shù)為2時，7+1有6種；6+2有4種；5+3有2種；②層數(shù)為3時，5+2+1有3種；4+3+1有2種；故總共只有：6+4+2+3+2＝17種．故答案是：17．10．（10分）有一個杯子裝滿了濃度為15%的鹽水，有大、中、小鐵球各一個，它們的體積比為10：5：3，首先將小球沉入鹽水杯中，結(jié)果鹽水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入鹽水杯中，又將它取出，接著將大球沉入鹽水杯中后取出，最后在杯中倒入純水至杯滿為止，此時杯中鹽水的濃度是多少？【分析】溢出水量實際就是大球的體積，即整杯鹽水的10%×＝，所以倒?jié)M水后濃度變?yōu)?，?jù)此解答即可．【解答】解：10%×＝，＝＝10%，答：此時杯中鹽水的濃度是10%．11．（10分）清明節(jié)同學(xué)們乘車去烈士陵園掃墓，如果汽車行駛1個小時后將車速提高五分之一，就可以比預(yù)定時間提前10分鐘趕到；如果該車先按原速行駛60千米，再將速度提高三分之一，就可以比預(yù)定時間提前20分鐘趕到．那么從學(xué)校到烈士陵園有多少千米？【分析】先求出行駛1個小時后的預(yù)定時間，所用的時間就是預(yù)定時間的1÷（1+）＝，則預(yù)定時間是10÷（1﹣）＝60分鐘，所以全程的預(yù)定時間就是1小時+60分鐘＝120分鐘；再求出所用時間，所用時間就是預(yù)定時間的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分鐘，最后求出60千米所對應(yīng)的分率即1﹣，解答即可．【解答】解：如果行駛1個小時后，將車速提高五分之一，則行駛1個小時后所用的時間就是預(yù)定時間是1÷（1+）＝，則預(yù)定時間是10÷（1﹣）＝60分鐘，所以全程的預(yù)定時間就是1小時+60分鐘＝120分鐘；如果該車先按原速行駛60千米，再將速度提高三分之一，則所用時間就是預(yù)定時間的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分鐘，但實際卻提前了20分鐘，說明有20÷30＝的路程提高了速度，60÷（1﹣）＝60÷＝180（千米），答：從學(xué)校到烈士陵園有180千米．12．（10分）如圖，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，連接CF交DE于P點，求的值．【分析】如圖，連接DF，根據(jù)已知推出△BFD≌△BAC，推出∠BDF＝∠BCA，求出DF∥CA，＝，求出＝，＝，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出即可．【解答】解：連接DF，因為AF＝2BF，CD＝2BD，所以＝＝，因為∠B＝∠B，所以△BFD≌△BAC，所以∠BDF＝∠BCA，所以DF∥CA，＝，因為CE＝3AE，所以＝，所以＝，因為DF∥CA，所以＝＝．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，2014中取出n個數(shù)，使這n個數(shù)滿足：任意取其中兩個數(shù)，不會有一個數(shù)是另一個數(shù)的7倍．試求n的最大值，并說明理由．【分析】首先將這些數(shù)分組4個數(shù)的有5組：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，{3，21，147，1029}{4，28，196，1372}{5，35，245，1715}3個數(shù)的有{6，42，294}{8，56，392}{9，63，441}…{41，287，2009}注意第一個數(shù)跳過7、14、21、28、35等數(shù)，共有41﹣6+1﹣5＝31組．2個數(shù)的有{43，301}{44，308}…{286，2002}，注意跳過前面出現(xiàn)的數(shù)，即49、98、147、196、245、56、63、…280等34個數(shù)，因此2個數(shù)的有286﹣43+1﹣34＝210組【解答】解：由分析可知：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，…{286，2002}共246組數(shù)里，在前五組中每組至多能取2個，至少有10個不能取，在有3個數(shù)的組里，共至少有31個不能取，在2個數(shù)組里至少有210個不能取，故最多能取2014﹣10﹣31﹣210＝1763個數(shù)，在這1763個數(shù)中，答：任取其中