2023新教材高中數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義對(duì)點(diǎn)練新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.下列說法正確的是()A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處就沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在答案C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只說明曲線在該點(diǎn)的切線斜率不存在，而當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程也可能存在，其切線方程為x＝x0.2．設(shè)f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為()A．2 B．－1C．1 D．－2答案D解析∵eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(－x→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝eq\f(1,2)f′(1)＝－1，∴f′(1)＝－2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為－2.3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能確定答案B解析由圖象易知，點(diǎn)A，B處的切線斜率kA，kB滿足kA<kB<0.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得f′(xA)<f′(xB).知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)函數(shù)的概念4.函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是()A．在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比B．一個(gè)函數(shù)C．一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)D．函數(shù)在這一點(diǎn)到它附近一點(diǎn)之間的平均變化率答案C解析根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，可知選C.知識(shí)點(diǎn)三求曲線在某點(diǎn)處的切線方程5.若曲線y＝2x2－4x＋a與直線y＝1相切，則a＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,1)，則f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f([2x0＋Δx2－4x0＋Δx＋a]－2x\o\al(2,0)－4x0＋a,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．∴2－4＋a＝1，即a＝3.6．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，f(0)＝2，則在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0答案A解析因?yàn)閒(x)＝ax2＋c，所以f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a1＋Δx2＋c－a－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋a·Δx)＝2a＝2，所以a＝1.又因?yàn)閒(0)＝2，所以c＝2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(1)＝3.故在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝3，曲線f(x)在x＝1處的切線在y軸上的截距為－4，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案－2解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為k＝f′(1)＝3.又切線在y軸上的截距為－4，所以曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝3x－4，從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，所以f(1)＝1＋a＝－1，即a＝－2.8．求曲線y＝eq\f(1,x)和y＝x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．解聯(lián)立兩曲線方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．因?yàn)榍€y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,1＋Δx)－\f(1,1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,1＋Δx)＝－1，所以曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.因?yàn)榍€y＝x2在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2，所以曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.兩條切線y＝－x＋2和y＝2x－1與x軸所圍成的圖形如圖陰影部分所示，所以S＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝eq\f(3,4)，即三角形的面積為eq\f(3,4).一、選擇題1．某家電制造集團(tuán)為盡快實(shí)現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運(yùn)輸方案，據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如下所示．在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高的是()答案B解析從函數(shù)圖象上看，要求圖象在[0，T]上越來越陡峭，在各選項(xiàng)中，只有B項(xiàng)中的切線斜率在不斷增大，即運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高．2．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)答案B解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得0<f′(3)<f′(2)．設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，則f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)，即為直線AB的斜率．由圖可知，直線AB的斜率大于f′(3)，小于f′(2)．故選B.3．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1答案A解析∵點(diǎn)(0，b)在直線x－y＋1＝0上，∴b＝1.又y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋ax＋Δx＋1－x2－ax－1,Δx)＝2x＋a，∴過點(diǎn)(0，b)的切線的斜率為y′|x＝0＝a＝1.4．已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點(diǎn)P(1,1)處的切線互相垂直，則eq\f(a,b)的值為()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)答案D解析∵y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋Δx3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3Δx＋3Δx2＋Δx3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴3·eq\f(a,b)＝－1，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).5．(多選)設(shè)P0為曲線f(x)＝x3＋x－2上的點(diǎn)，且曲線在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，則P0點(diǎn)的坐標(biāo)可能為()A．(1,0) B．(2,8)C．(－1，－4) D．(－1,4)答案AC解析f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x2＋1Δx＋3xΔx2＋Δx3,Δx)＝3x2＋1.由于曲線f(x)＝x3＋x－2在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，所以f(x)在P0處的導(dǎo)數(shù)值等于4.設(shè)P0(x0，y0)，則有f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐標(biāo)為(1,0)或(－1，－4)．故選AC.二、填空題6．如圖是函數(shù)f(x)及f(x)在點(diǎn)P處的切線的圖象，則f(2)＝________，f′(2)＝________.答案eq\f(9,4)－eq\f(9,8)解析由題圖可知f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y＝－eq\f(9,8)x＋eq\f(9,2)，所以f(2)＝eq\f(9,4)，f′(2)＝－eq\f(9,8).7．過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程是________．答案2x－y＋4＝0解析曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3Δx＋2)＝2.∴過點(diǎn)P(－1,2)的直線的斜率為2，由點(diǎn)斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.∴所求直線方程為2x－y＋4＝0.8．設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))解析∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋2x＋Δx＋3－x2＋2x＋3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x＋2·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x＋2)＝2x＋2.∴可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則曲線C在P點(diǎn)處的切線斜率為2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－eq\f(1,2)，∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).三、解答題9．已知直線l：y＝4x＋a和曲線C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)．解設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)，∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3,Δx)＝3x2－4x，∴k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－4x0.由題意可知k＝4，即3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)．當(dāng)切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))時(shí)，有eq\f(49,27)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋a，解得a＝eq\f(121,27).當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.∴當(dāng)a＝eq\f(121,27)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))；當(dāng)a＝－5時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)．10．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(diǎn)(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程；(2)求由直線l1，l2和x軸所圍成的三角形的面積．解(1)∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2＋x－2,Δx)＝eq\f(2xΔx＋Δx2＋Δx,Δx)＝2x＋Δx＋1，令Δx→0，得y′＝2x＋1，∴y′|x＝1＝3，∴直線l1的方程為y＝3x－3.設(shè)直線l2與曲線y＝x2＋x－2相切于點(diǎn)B(b，b2＋b－2)，則直線l2的斜率為y′|x＝b＝2b＋1.∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－eq\f(1,3)，∴b＝－eq\f(2,3)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(20,9)))，故直線l2的方程為y＋eq\f(20,9)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,3)))，即y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9)，即3x＋9y＋22＝0.(2)如圖所示，設(shè)直線l1，l2和x軸圍成的三角形為△ABC.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f