山東省煙臺(tái)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.3.使用答題紙時(shí)，必須使用毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】分別求出集合，求出交集即可.【詳解】，，故，.故選：D.2.已知，，則“”的一個(gè)充分不必要條件為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，利用特殊值法判斷AC，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域判斷B，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D即可.【詳解】選項(xiàng)A：取，，滿足，但不成立，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可知若，則；若，可能無意義，所以是的充分不必要條件，B正確；選項(xiàng)C：取，，滿足，但不成立，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得若，則；若，則，所以是的充要條件，D錯(cuò)誤；故選：B3.過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線斜率，得到切線方程，代入切線過的點(diǎn)，求出未知數(shù)即可得到方程.【詳解】由，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，切線方程為，由切線過點(diǎn)，代入切線方程解得，則切線方程為，即.故選：B4.米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲(chǔ)物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長(zhǎng)分別為、，側(cè)棱長(zhǎng)為，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（）A.千克 B.千克 C.千克 D.千克【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出米斗的高，進(jìn)而可求得出該米斗的體積，結(jié)合題意可求得該米豆所盛大米的質(zhì)量.【詳解】設(shè)該正棱臺(tái)為，其中上底面為正方形，取截面，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，且，，，分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得，又因?yàn)?，，所以，，所以，，因?yàn)椋字?，故四邊形為矩形，則，，所以，，故該正四棱臺(tái)的高為，所以，該米斗的體積為，所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為.故選：C.5.設(shè)分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，若到直線的距離為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式可得到直線的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和橢圓的離心率求解即可.【詳解】由題意可得，所以直線的方程為，整理得，所以到直線的距離，所以①，又因?yàn)闄E圓中②，③，所以聯(lián)立①②③得，解得，又因?yàn)?，所以，故選：A6.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧上的點(diǎn)且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，垂直于方向?yàn)?，建立平面直角坐?biāo)系，因?yàn)椋?所以，即，且所以，所以，故選:C.7.過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，，則，，設(shè)，由兩點(diǎn)間的距離公式代入解方程即可得出答案.【詳解】如下圖，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，設(shè)圓心，連接，，可得，，則，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以設(shè)，，，解得：.故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且；函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫出的圖象，由圖知，均關(guān)于對(duì)稱，有14個(gè)交點(diǎn)，即可求出函數(shù)的所有零點(diǎn)之和.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，……函數(shù)為的圖象向左平移個(gè)單位，的圖象如下圖所示，均關(guān)于對(duì)稱，有14個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為：.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖是某正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）A. B.平面C.與所成角為60° D.與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】【分析】利用即可判斷A,B選項(xiàng)，證明為正三角形即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面夾角的正弦值即可.【詳解】將展開圖合成空間圖形如下圖并連接,,，，四邊形為平行四邊形，，若，則，顯然不成立，故A錯(cuò)誤，，平面，平面，平面，故B正確，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，故為正三角形，故，而，與所成角為，故C正確，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則,則,設(shè)平面的一個(gè)方向量，則，即，令，則，則，設(shè)與平面所成角為，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.若，且在上無零點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由解得，求出，由可判斷A；求出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；計(jì)算可判斷C；，可得或，可得的最小值為可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，解得，，且，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，若，則，可得或者，，或，，且的半周期為，在上無零點(diǎn)，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)均值不等式和常見的不等式放縮即可求解.【詳解】，，且，所以，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；要證，證，即證，由，，且，知，所以，故選項(xiàng)C正確；要證，即證，因?yàn)?，所以，前后取得等?hào)條件分別是和，所以不同時(shí)取得等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.12.已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，其中點(diǎn)在線段上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.存在使得 D.存在使得【答案】ABD【解析】【分析】特殊值法分別令和代入直線，再由拋物線的定義,過拋物線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng),選項(xiàng)得解,由,則,聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理,可判斷選項(xiàng)C,若,,聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理,可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A.當(dāng)時(shí),過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為:,設(shè)該直線與拋物線交于,兩點(diǎn),聯(lián)立方程組,整理可得:,則,由拋物線的定義:,故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B.當(dāng)時(shí),過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為:,設(shè)該直線與拋物線交于,兩點(diǎn),聯(lián)立方程組,整理可得:，則,則,所以，由拋物線的定義:又因?yàn)橹本€與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn),則，即，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C.設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為:與拋物線交于兩點(diǎn),聯(lián)立方程組,整理可得:則,，所以.若,則,故不存在，使得,故C不正確.對(duì)于選項(xiàng)D.設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為:與拋物線交于兩點(diǎn),聯(lián)立方程組,整理可得:,則，,若,因?yàn)?,即,則,即:,可得:,即:,則,解得:,解得:.故存在使得,故D正確;故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與直線方程的位置關(guān)系，解方程組，焦點(diǎn)弦的應(yīng)用，對(duì)與本題，運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵，屬于較難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指數(shù)和對(duì)數(shù)互化得到，，再利用換地公式即可得到答案。【詳解】由可知，，所以.故答案為：14.已知向量，，若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題目條件可得，代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】已知向量，，若，則有，∴.故答案為：15.“0，1數(shù)列”是每一項(xiàng)均為0或1的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛.設(shè)是一個(gè)“0，1數(shù)列”，定義數(shù)列：數(shù)列中每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，1”，中每個(gè)1都變?yōu)椤?，1，0”，所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列：1，0，則數(shù)列：0，1，0，1，0，1.已知數(shù)列：1，0，1，0，1，記數(shù)列，，2，3，…，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，依次討論中0與1的個(gè)數(shù)，從而得解.【詳解】依題意，可知經(jīng)過一次變換，每個(gè)1變成3項(xiàng)，其中2個(gè)0，1個(gè)1；每個(gè)0變成3項(xiàng)，其中2個(gè)1，1個(gè)0，因?yàn)閿?shù)列：1，0，1，0，1，共有5項(xiàng)，3個(gè)1，2個(gè)0，所以有項(xiàng)，3個(gè)1變?yōu)?個(gè)0，3個(gè)1；2個(gè)0變?yōu)?個(gè)1，2個(gè)0；故數(shù)列中有7個(gè)1，8個(gè)0；有項(xiàng)，7個(gè)1變?yōu)?4個(gè)0，7個(gè)1；8個(gè)0變?yōu)?6個(gè)1，8個(gè)0；故數(shù)列中有23個(gè)1，22個(gè)0；有項(xiàng)，23個(gè)1變46個(gè)0，23個(gè)1；22個(gè)0變?yōu)?4個(gè)1，22個(gè)0；故數(shù)列中有67個(gè)1，68個(gè)0；所以數(shù)列的所有項(xiàng)之和為.故答案為：.16.在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，為側(cè)棱的中點(diǎn)，在側(cè)面矩形內(nèi)（異于點(diǎn)），則三棱錐體積的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，且和不同時(shí)成立，因?yàn)椋杂?，所以是直角三角形，于是，設(shè)平面的法向量為，因此有，取，則，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，三棱錐體積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值，顯然滿足和不同時(shí)成立，即，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間點(diǎn)到平面距離公式是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2），BD=3，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，得到求解.（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解：由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，整理得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即.整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以，所以ABC面積的最大值為.18.已知數(shù)列和的各項(xiàng)均不為零，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由，得出數(shù)列的特征求出通項(xiàng)，由，得出數(shù)列的特征求出通項(xiàng)公式.（2）由數(shù)列的特征，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得.又因?yàn)?，所以，所以?shù)列和都是以2為公差的等差數(shù)列.因?yàn)?，所以在中，令，得，所以，，所?對(duì)于數(shù)列，因?yàn)?，且，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由，有，，兩式相減得，，所以.19.如圖，是以為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析;（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，在與中分別得到，，根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證明；（2）在中，利用余弦定理可得，以，及過點(diǎn)垂直于平面的方向?yàn)?，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量即可求解.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，所?因?yàn)槭堑冗吶切?，所?，平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，?【小問2詳解】在中，，，，由余弦定理可得，，故.如圖，以，及過點(diǎn)垂直于平面的方向?yàn)?，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得，所以，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得.所以，故平面與平面夾角的余弦值為.20.某工廠擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面的建造費(fèi)用為每平方米千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.【答案】（1），（2）見解析【解析】【分析】（1）由圓柱和球的體積的表達(dá)式,得到和的關(guān)系.再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式,將表達(dá)式中的用表示，并注意到寫定義域時(shí),利用,求出自變量的范圍.（2）用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決,注意到定義域的限制,在區(qū)間中,極值末必存在,將極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進(jìn)行分類討論.【小問1詳解】設(shè)該容器的體積為，則，又，所以因?yàn)椋?所以建造費(fèi)用，因此，.【小問2詳解】由（1）得，.由于，所以，令，得.若，即，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，此時(shí)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).若，即，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，此時(shí)是的最小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)；當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí).21.已知雙曲線的焦距為，，為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為上異于，的任意一點(diǎn)，滿足.（1）求雙曲線的方程；（2）過的右焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn)，，在軸上是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求定點(diǎn)的坐標(biāo)和相應(yīng)的定值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)，使得為定值【解析】【分析】(1)根據(jù)可得，結(jié)合即可求解；(2)利用韋達(dá)定理表示出即可求解.【小問1詳解】設(shè)，，，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在