安徽省皖江名校2023-2024學年高二上學期開學聯考數學試題

姓名 座位號（在此卷上答題無效）數 學本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘?？忌⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則的最小值是A．B．C．D．2．已知復數（）為純虛數，則復數在復平面內對應的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，且，則A． B． C．1 D．24．已知在平面直角坐標系中，點在角終邊上，則A． B． C． D．5．手工課上某同學用六個邊長相等的正方形卡片拼接成一個幾何圖形，如圖所示，其中AB，CD，EF，MN為對角線，該幾何圖形恰好能折疊組裝成一個正方體卡片紙盒，則在正方體卡片紙盒中A． B． C． D．6．2013年7月18日，第31屆全國青少年愛國主義讀書教育活動啟動，某校為了迎接此次活動，對本校高一高二年級學生進行了前期閱讀時間抽查，得到日閱讀時間（單位：分鐘）的統計表如下：年級抽查人數平均時間方差高一40504高二60406則估計兩個年級學生日閱讀時間的方差為A．52 B．29.2 C．10 D．6.47．已知實數a，b，c滿足，，，則A． B． C． D．8．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，點Q在邊BC上，且滿足（），，則的最小值是A．32 B．64 C．100 D．120二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。9．CPI是居民消費價格即消費價格指數，是反映居民家庭一般所購買的消費品和服務項目價格水平變動的宏觀經濟指標．下圖是國家統計局發(fā)布的2022年5月至2023年5月全國居民消費價格漲跌幅統計圖，其中同比是與上年同期對比（如今年5月與上年5月），側重數據長期趨勢，環(huán)比是與上月對比（如今年5月與4月），側重數據短期變化，則下列說過正確的是A．2022年5月至2023年5月同比漲幅極差為2.7%B．2023年1月至5月同比漲幅的75%分位數為1.0%C．從環(huán)比看，CPI由2023年2月至4月開始持續(xù)上漲D．隨機從2023年1月至5月的同比數據選擇兩個研究，則選取4月和5月的概率為10．已知函數的部分圖象如圖所示，其中B，C兩點縱坐標相等，則A．B．C．的圖象向右平移個單位長度可得一個奇函數的圖象D．的圖象向左平移個單位長度可得一個偶函數的圖象11．直四棱錐SABCD中，底面ABCD，，，AC，BD的交點為P，點Q在SD上且，三棱錐SABC和三棱錐QACD的體積分別為，，則A． B．平面SAB C． D．12．已知，，則A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數，則．14．已知正四棱臺上下底面邊長分別為2和8，側面梯形的高為5，則該四棱臺的體積為．15．隨著國家“雙碳”（碳達峰與碳中和的簡稱）目標的提出，我國風電發(fā)展駛入快車道，陸地、海上的風機（如下左圖，頂端外形是大風車，又稱風力發(fā)電大風車）紛紛“拔地而起”，成為保護環(huán)境、輸送綠色能源的“風中使者”．如圖，一學習興趣小組為了測量某風力發(fā)電大風車AB的高度，在點A正東方點C處測得風車頂端點B的仰角為30°，在點A南偏西30°方向的點D處測得點B的仰角為60°，且C，D相距米，其中平面ADC，則AB的高度為米．16．若的定義域為，對于，都有，且滿足，，則稱為康托爾函數．當時，康托爾函數；．四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）設平面向量，滿足，，．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量（用坐標表示）．18．（12分）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C；（2）若，，求的面積．19．（12分）2023年7月11日第64屆國際數學奧林匹克競賽結果公布，中國隊6名參賽選手全員金牌，再奪第一．某班級為了選拔數學競賽選手，舉行初次選拔考試，共有排好順序的兩道解答題．規(guī)定全部答對者，通過選拔考試．設甲答對第一道和第二道題的概率分別為，，乙答對第一道和第二道題的概率分別為，，甲，乙相互獨立解題，答對與否互不影響．（1）求甲，乙都通過考試的概率;（2）記事件“甲、乙共答對兩道題”，求．20．（12分）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，P為DO的中點，是底面的內接正三角形．（1）若底面圓的半徑為2，直線PB與底面的夾角為45°，求圓錐側面展開圖的面積;（2）若，證明：平面平面PAB．21．（12分）如圖所示，中，AQ為邊BC的中線，，，，，其中，，，．（1）當時，用向量，表示；（2）證明：為定值．22．（12分）已知．（1）若，且，，求的值；（2）若函數在區(qū)間上沒有零點，求的取值范圍．數學參考答案題號123456789101112答案DCCBABACABACDADACD1．【解析】由，，得．2．【解析】由復數為純虛數，可得復數，所以復數，所以在復平面內對應的點為，在第三象限，故選C．3．【解析】由題意可得，因為，所以，解得，故選C．4．【解析】由題意可得，所以原式，故選B．5．A【解析】由題意可得正方體卡片紙盒如圖所示，則易知，，CM與CD，MN的夾角均為60°，故選A．6．【解析】由題意估計高一高二日閱讀時間的平均數為，方差為，故選B．7．【解析】由，得，即，即．，，綜上可知，故選A．8．【解析】因為，分別是向量，的單位向量，所以由（），易知AQ是中角A平分線，于是結合，可得，，化簡得，故，所以，當且僅當，時等號成立，故選C．9．【解析】A選項中的極差為，故A正確；B選項中的數據由小到大排列為0.1%，0.2%，0.7%，1.0%，2.1%，由，不是整數，所以75%分位數為第4個數1.0%，故B正確；C選項中2月至4月均為負數，說明下降，故C錯誤；D選項等價于從5個數字中隨機選取2個，樣本空間包含的樣本點總數為10，其中隨機事件“選到4月和5月”包含的樣本點數為1，古典概型概率計算公式可得所求概率為，故D錯誤．綜上，選AB．10．【解析】由題意知，所以的圖像的一條對稱軸方程為，，所以．由于函數圖像過，由，，且，得，所以，故A正確，B錯誤；的圖象向右平移個單位長度得到，是奇函數，故C正確；的圖象向左平移個單位長度得到，是偶函數，故D正確．故選ACD．11．【解析】連接PQ，，，所以，又因為，所以，故A正確；過Q作交SA于點M，由，可得，所以四邊形BCQM是梯形，CQ與BM的延長線必定相交，故CQ與平面SAB必定相交，故B錯誤；設直四棱錐SABCD的高為H，底面梯形ABCD的高為h，則易得三棱錐SABC和三棱錐QACD的高分別為H，，所以，所以C錯誤，D正確．綜上，選AD．12．【解析】因為，所以A正確；由正切函數在上恒為正且單調遞增得，所以B錯誤；注意到，所以，同理，于是，故C正確；由基本不等式可得，故D正確．綜上，選ACD．13．【答案】【解析】，所以．14．【答案】112【解析】由題意可知正四棱臺的高為，所以該四棱臺的體積為．15．【答案】40【解析】由題意知，，，，設，則，，在，由余弦定理可得，解得，所以（米）．16．【答案】，【解析】在中，分別令，得，在中，令，，得，．又令，得，所以，結合對于，都有，可得當時，康托爾函數，反復利用，可得，注意到，所以，故第二空填．（注：第一空2分，第二空3分）17．【解析】（1）因為，所以，又，，所以，因為，所以．（2）設，的夾角，由（1）中可得，故．因為，所以，所以向量在向量上的投影向量為18．【解析】（1）由，得，所以，結合余弦定理可知，而，所以．（2）由正弦定理可得，解得，又由余弦定理可得，即，解得，或，而，所以，所以的面積19．【解析】設事件“甲答對了i道題”，事件“乙答對了i道題”，，1，2，由題意，，，，，，（1）由題意得，甲，乙都通過考試的概率：．（2）由題意得，，所以．20．【解析】（1）連接OB，由題意知平面ABC，故，則直線PB與底面的夾角為．因為底面圓的半徑為2，所以，底面圓的周長為，而P為DO的中點，所以，所以圓錐的母線長為，所以圓錐側面展開圖的面積為．（2）證明：連接OA，OC，∵P在DO上，，∴，∵是圓內接正三角形，∴，所以，，∴，即，，，∴平面PAB，平面PAC，∴平面