2021年上海市嘉定區(qū)中考數(shù)學二模試卷

2021年上海市嘉定區(qū)中考數(shù)學二模試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個選項中，有且只有

一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上.

1.（4分）下列四個選項中的數(shù)，不是分數(shù)的是（

B.返

A.80%C.2222

3T

2.（4分）已知：下列四個算式中，正確的是（

A.a+a=a'C.(a

3.（4分）下列四個函數(shù)解析式中，其函數(shù)圖象經(jīng)過原點的是（

A.y=-kr+lC.y=x1+2x

2

4.（4分）下列各統(tǒng)計量中，表示一組數(shù)據(jù)波動程度的量是（

A.頻率B.方差C.平均數(shù)D.眾數(shù)

5.（4分）下列四個命題中，真命題是（）

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.以一條對角線為對稱軸的四邊形是菱形

D.對稱軸互相垂直的四邊形是矩形

6.（4分）如果兩圓的圓心距為3,其中一個圓的半徑長為3,那么這兩個圓的位置關系不

可能是（）

A.兩圓內(nèi)切B.兩圓內(nèi)含C.兩圓外離D.兩圓相交

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）化簡：|1-&|=.

8.（4分）計算：（x+1）?（%-2）=.

9.（4分）如果點P（3,b）在函數(shù)y='-的圖象上，那么人的值為.

10.（4分）如果關于x的方程6x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，那么機的值為.

11.（4分）無理方程亞嬴=-x的實數(shù)解是.

12.（4分）從一副去掉大小王的撲克牌中隨機抽取一張，抽到數(shù)字為“6”的撲克牌的概率

是.

13.（4分）如果點4（xi,yi）和8（應，”）在反比例函數(shù)）（k<0）的圖象上，且0

<xi<x2,那么yi與”的大小關系為：yi（填“〈”或“=”或“>”）

14.（4分）為了估計某個魚塘里的魚的數(shù)量，養(yǎng)殖工人網(wǎng)住了50條魚，在每條魚的尾巴上

做個記號后，又將魚放回魚塘.等魚游散后再隨機撒網(wǎng)，網(wǎng)住60條魚，發(fā)現(xiàn)其中有2條

魚的尾巴上有記號.設該魚塘里有x條魚，依據(jù)題意，可以列出方

程：.

15.（4分）已知AD是AABC的中線，設向量凝=W，向量標=E，那么向量菽=

（用向量2、E的線性組合表示）.

16.（4分）如果一個正三角形的半徑長為2,那么這個三角形的邊長為.

17.（4分）已知直角三角形的直角邊長為a、b,斜邊長為c,將滿足。2+y=,2的一組正整

數(shù)稱為“勾股數(shù)組”，記為（a,b,c）,其中a^b<c.事實上，早在公元前十一世紀，

中國古代數(shù)學家商高就發(fā)現(xiàn)了“勾三、股四、弦五”，我們將其簡記為（3,4,5）.類似

的勾股數(shù)組還有很多….例如：（5,12,13）,（7,24,25）,（9,40,41）,（11,60,

61）,（13,84,85）,….如果a=2〃+l（〃為正整數(shù)），那么b+c=.（用

含”的代數(shù)式表示）

18.（4分）在矩形ABCD中，AB=6,BC=4（如圖），點E是邊AB的中點，聯(lián)結。E.將

/\DAE沿直線DE翻折，點A的對應點為A',那么點A到直線BC的距離

為.

A------------\D

B'------------'C

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

2

19.（10分）先化簡，再求值：包，其中，x=近.

x+1x-1x2_1

20.（10分）解方程組：「2-5xy-6y2=o.

x^~4xy+4y=1

21.（10分）如圖，在Rt/VLBC中，/ACB=90°,AC=6,cosA=2.。是A8邊的中點,

5

過點D作直線CD的垂線，與邊BC相交于點E.

（1）求線段CE的長；

（2）求sin/BOE的值.

22.（10分）張先生準備租一處房屋開一家公司.現(xiàn)有甲、乙兩家房屋出租，甲家房屋已裝

修好，每月租金3000元；乙家房屋沒有裝修，每月租金2000元，但要裝修成甲家房屋

的模樣，需要花費40000元.

請你自行定義變量，建立函數(shù)，并利用與函數(shù)有關的知識幫助張先生設計一個租房方案

（備注：只從最省錢的角度設計租房方案，寫出具體的解題過程）.

23.（12分）已知：四邊形ABCZ）是正方形，點E是邊的中點，點F在邊AB上，聯(lián)結

DE、EF.

（1）如圖1,如果tan/8EF=工，求證：EF±DE；

2

(2)如圖2,如果tan/BEF=3,求證：NDEF=3ZCDE.

圖1圖2

24.（12分）在平面直角坐標系xOy（如圖）中，二次函數(shù)f（x）—ax1-2辦+”-1（其中a

是常數(shù)，且aWO）的圖象是開口向上的拋物線.

（1）求該拋物線的頂點尸的坐標；

（2）我們將橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做“整點”，將拋物線/（x）-2取+。-1與

y軸的交點記為4,如果線段。4上的“整點”的個數(shù)小于4,試求。的取值范圍；

(3)如果/(-1)、/(0)>/(3)、/(4)這四個函數(shù)值中有且只有一個值大于0,試寫

出符合題意的一個函數(shù)解析式；結合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

)4

1.

j___??????.

on

25.(14分)已知：。。的半徑長是5,AB是。。的直徑，CZ)是。0的弦.分別過點A、B

向直線C。作垂線，垂足分別為E、F.

(I)如圖1,當點A、B位于直線CD同側，求證：CF=DE；

(2)如圖2,當點A、B位于直線CD兩側，NBAE=30°,且AE=2BF,求弦CD的

長；

(3)設弦C。的長為/,線段4E的長為〃?，線段B尸的長為〃，探究/與巾、〃之間的數(shù)

量關系,并用含相、”的代數(shù)式表示/.

B

圖1圖2備用圖

2021年上海市嘉定區(qū)中考數(shù)學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個選項中，有且只有

一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上.

1.（4分）下列四個選項中的數(shù)，不是分數(shù)的是（）

A.80%B.返C.2工D.駕

337

【分析】有理數(shù)包括分數(shù)和整數(shù)，無理數(shù)一定不是分數(shù).

【解答】解：???返是無理數(shù)，無理數(shù)一定不是分數(shù)，

_3

返不是分數(shù)，

3

故選：B.

【點評】本題考查實數(shù)的分類，解題的關鍵是掌握無理數(shù)一定不是分數(shù).

2.（4分）己知：下列四個算式中，正確的是（）

A.?2+i73=a5B.c^,cr,=（/'C.（o2）3=a8D.a2-i-ai=a1

【分析】根據(jù)同底數(shù)廨的除法、乘法、幕的乘方的運算方法，逐項判斷即可.

【解答】解：A,J+lwf,故此選項不正確.

B,crtai=a2+3=a5,故此選項不正確.

C,（￡）3=JX3="6,故此選項不正確.

D,cr-i-ai—^^—a1,故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)幕的除法、乘法等運算方法，要熟練掌握這些.

3.（4分）下列四個函數(shù)解析式中，其函數(shù)圖象經(jīng)過原點的是（）

A.y=Ax+lB.y---C.y—x1+2xD.y—（x-1）2

2x

【分析】令x=0,函數(shù)值也等于0,則圖象經(jīng)過原點.

【解答】解：A、令x=0,則y=l,故不符合題意；

B、x=0無意義，故不符合題意；

C、x=0,則y=0,故符合題意；

D、x=0,則y=l,故不符合題意.

故選：c.

【點評】本題考查函數(shù)圖象上的點，掌握函數(shù)圖象上的點的坐標適合函數(shù)解析式是解題

的關鍵.

4.（4分）下列各統(tǒng)計量中，表示一組數(shù)據(jù)波動程度的量是（）

A.頻率B.方差C.平均數(shù)D.眾數(shù)

【分析】根據(jù)定義即可判斷.

【解答】解：頻率是指某數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)占總次數(shù)的比，不表示波動程度，故A不符合

題意；

方差是指每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，表示數(shù)據(jù)波動程度，故8符合題意；

平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)，不表示數(shù)據(jù)波動程度，故C不符合題意；

眾數(shù)值一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，不表示數(shù)據(jù)波動程度，故。不符合題意.

故選:B.

【點評】本題考查表示一組數(shù)據(jù)波動程度的量，掌握頻率、方差、平均數(shù)、眾數(shù)概念是

解題的關鍵.

5.（4分）下列四個命題中，真命題是（）

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.以一條對角線為對稱軸的四邊形是菱形

D.對稱軸互相垂直的四邊形是矩形

【分析】根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理即可判斷.

【解答】解：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是平行四邊形判定定理，是真命題,

故A符合題意；

對角線互相垂直的四邊形是菱形是假命題，故3不符合題意；

以一條對角線為對稱軸的四邊形可能是“箏”形，以一條對角線為對稱軸的四邊形是菱

形是假命題，故C不符合題意；

對稱軸互相垂直的四邊形是矩形是假命題，故D不符合題意，

故選：A.

【點評】本題考查平行四邊形、菱形、矩形的判定，掌握平行四邊形、菱形、矩形的判

定定理是解題的關鍵.

6.（4分）如果兩圓的圓心距為3,其中一個圓的半徑長為3,那么這兩個圓的位置關系不

可能是（）

A.兩圓內(nèi)切B.兩圓內(nèi)含C.兩圓外離D.兩圓相交

【分析】畫出圖形即可判斷.

【解答】解：兩圓的圓心距為3,其中一個圓的半徑長為3,則另一圓的圓心在前一圓上,

如圖:

兩圓位置可能是：內(nèi)切、內(nèi)含及相交，但不能是外離,

故選：C.

【點評】本題考查兩圓的位置關系，畫出圖形是關鍵.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）化簡：|1-圾|=_&-1_.

【分析】先比較1與血的大小，再根據(jù)絕對值的定義即可求解.

【解答】解:11-V2l=V2-1-

【點評】此題主要考查了求實數(shù)的絕對值，其中非負數(shù)的絕對值等于他本身，負數(shù)的絕

對值等于它的相反數(shù).

8.（4分）計算：（x+l”（x-2）—x2-,r-2.

【分析】根據(jù)多項式乘法法則即可得到答案.

【解答】解：（x+l”（x-2）=？-2x+x-2=?-x-2,

故答案為：x1-x-2.

【點評】本題考查多項式乘以多項式，題目較容易，掌握多項式乘以多項式的法則是解

題的關鍵.

9.（4分）如果點P（3,h）在函數(shù)y=’的圖象上，那么匕的值為1.

'x+1一「

【分析】將P（3,h）代入解方程即得答案.

x+1

【解答】解：將尸（3,b）代入y=，得：6=，=工，

X+13+14

故答案為：-1.

4

【點評】本題考查函數(shù)圖象上的點，掌握函數(shù)圖象上的點坐標適合函數(shù)解析式是解題的

關鍵.

10.（4分）如果關于x的方程7-6X+,"=0有兩個相等的實數(shù)根，那么，〃的值為9.

【分析】一元二次方程有兩個相等的實根，即根的判別式△=房-4"=0,即可求機值.

【解答】解：?.?方程7-6x+機=0有兩個相等的實數(shù)根，

.,.△=/-4ac=（-6）2-4w=0,

解得m—9,

故答案為：9.

【點評】此題主要考查的是一元二次方程的根判別式，當△=*-4a=0時，方程有兩

個相等的實根，當△=/??-4ac>0時，方程有兩個不相等的實根，當△=%?-4acV0時,

方程無實數(shù)根.

11.（4分）無理方程P2X+3=-x的實數(shù)解是-1.

【分析】化為有理方程，再解出有理方程，最后檢驗即可得答案.

【解答】解：將亞蕭=-x兩邊平方得：2X+3=7,

整理得/-2x-3=0,

解得xi=3,尤2=-1，

當xi=3,左邊=>\/2X3+3=3,右邊=-3,

二左邊W右邊，

???xi=3不是原方程的解，舍去，

當》2=-1時，左邊=y2><（T）+3=l，右邊=1，

...左邊=右邊，

.-.X2=-I是原方程的解，

?-1,

故答案為：-1.

【點評】本題考查解無理方程，利用兩邊平方將無理方程化為有理方程是解題的關鍵.

12.（4分）從一副去掉大小王的撲克牌中隨機抽取一張，抽到數(shù)字為“6”的撲克牌的概率

【分析】根據(jù)生活常識可以知道一副撲克牌中共有54張牌，去掉大小王的撲克牌，還剩

52張，其中數(shù)字為“6”的有4張，進而得出答案.

【解答】解：因為一副撲克牌中共有54張牌，去掉大小王的撲克牌，數(shù)字為“6”的有4

張.

則抽到數(shù)字“6”的概率為：

5213

故答案為：J_.

13

【點評】本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可

能性相同，其中事件A出現(xiàn)機種結果，那么事件A的概率尸（A）=處.

n

13.（4分）如果點4（xi，力）和8（X2,J2）在反比例函數(shù)y=K（k<0）的圖象上，且0

X

<X1<X2,那么巾與>2的大小關系為：VI<V2,（填“V”或“=”或“>”）

【分析】反比例函數(shù)y=K&<0）,根據(jù)在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大即可得答

X

案.

【解答】解：：點A（xi，川）和B（短，”）在反比例函數(shù)）（%<0）的圖象上，且

x

0<Xl<X2,

且在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

故答案為：<.

【點評】本題考查反比例函數(shù)的增減性，掌握《<0時，在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大

而增大是解題的關鍵.

14.（4分）為了估計某個魚塘里的魚的數(shù)量，養(yǎng)殖工人網(wǎng)住了50條魚，在每條魚的尾巴上

做個記號后，又將魚放回魚塘.等魚游散后再隨機撒網(wǎng)，網(wǎng)住60條魚，發(fā)現(xiàn)其中有2條

魚的尾巴上有記號.設該魚塘里有x條魚，依據(jù)題意，可以列出方程：&=60?

-50

【分析】直接利用所標記號所占比例義總數(shù)=60,進而得出方程.

【解答】解：設該魚塘里有x條魚，依據(jù)題意，可以列出方程：

-?-JC=60.

50

故答案為：&=60.

50

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確得出等量關系是解題關

鍵.

15.（4分）已知A。是△ABC的中線，設向量靛=之，向量標=4，那么向量正二

（用向量之、E的線性組合表示）.

【分析】利用三角形法則求出皮，可得結論.

【解答】解：如圖，

?.NO是中線，

：.BC=2BD,

:.BC—2b~2a，

:.AC=AB+BC=a+2b-2a=2b-a?

故答案為：2b-a，

【點評】本題考查平面向量，三角形法則等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形法則,

屬于中考常考題型.

16.（4分）如果一個正三角形的半徑長為2,那么這個三角形的邊長為，

【分析】畫出圖形，構造直角三角形可以求解.

【解答】解：如圖：

正三角形A8C,半徑。A=O8=OC=2,延長AO交BC于H,

：/BOC=360°4-3=120°,。為正三角形中心，

AZBHO=90°,Z.BOH=60°,BC=2BH,

.?.BH=OB?sin60°=“，

：.fiC=2^.

故答案為：2，^.

【點評】本題考查正三角形半徑與邊長的關系，解題的關鍵是畫出圖形，構造直角三角

形.

17.（4分）已知直角三角形的直角邊長為八b,斜邊長為c,將滿足。2+必=,2的一組正整

數(shù)稱為“勾股數(shù)組”，記為（a,b,c）,其中aWb<c.事實上，早在公元前十一世紀，

中國古代數(shù)學家商高就發(fā)現(xiàn)了“勾三、股四、弦五”，我們將其簡記為（3,4,5）.類似

的勾股數(shù)組還有很多….例如：（5,12,13）,（7,24,25）,（9,40,41）,（11,60,

61）,（13,84,85）,如果a=2〃+l為正整數(shù)），那么b+c=4〃2+4〃+1.（用

含〃的代數(shù)式表示）

【分析】“勾股數(shù)組”（小b,c）,當“為奇數(shù)時，c=6+l,列方程即可得到答案.

【解答】解：方法1：觀察“勾股數(shù)組”（a,b,c）,當〃為奇數(shù)時，c=b+\,

又a=2〃+l（〃為正整數(shù)）,

由勾股定理可得：c2-/?=（2〃+1）2,即（計1）2-b2=（2n+l）2,

解得h=2n2+2n,

??c=2,廣+2〃+1,

??b+c=4〃+4〃+1,

故答案為：4n2+4n+l.

方法2：觀察“勾股數(shù)組”（a,h,c）,當〃為大于1的正奇數(shù)時，有如下規(guī)律：32=4+5,

52=12+13,72=24+25,…，c^=b+c,

.?.當〃=2〃+1時，h+c=（2/z+l）2.

【點評】本題考查“勾股數(shù)組”，觀察“勾股數(shù)組”特點得到c=Hl是解題的關鍵.

18.（4分）在矩形ABC。中，A8=6,8c=4（如圖），點￡是邊A3的中點，聯(lián)結?！陮?/p>

△D4E沿直線QE翻折，點A的對應點為A,那么點4到直線BC的距離為“.

一25一

A-------------------\D

B'------------------'C

【分析】過A'作戶7〃8C交A8于F,交C￡＞于G,過A'作A'”_LBC于H,先證明

△EFA'G￡＞得它們對應邊的比為旦，再設EF=3，w,FA'=3〃，則A'G=4m,

4

DG=4n,根據(jù)協(xié)'+A'G=8C=4,AE+EF=DG,列方程即可得到答案.

【解答】解：過A'作FG〃BC交AB于F,交CD于G,過A'作A'HLBC于H,如

圖：

?.,矩形ABC。中，AB=6,BC=4,E是邊AB的中點

NA=90°,AD=BC=4,CD=AB=6,AE=3,

：△D4E沿直線QE翻折，點A的對應點為A',

：.ZDA'E=ZA=90°,A'D=AD=4,A'E=AE=3,

又FG//BC,

.'./A'DG=900-ZDA'G=NEA'F,

而NEW=N4'GD=90°,

J./XEFA's"'GD,

.EF二FA'=EA'=3

-A'G=DG=A'DT

設￡廣=3m，F(xiàn)A1=3〃，則A'G=4m,OG=4〃，

:以'+A'G=BC=4fAE+EF=DG,

...[3n+4m=4,解得〃="

13+3m=4n25

：.DG=4n=^-,

25

：.CG=CD-DG=^,

25

./H=^.

25

故答案為：54.

25

【點評】本題考查矩形中的翻折問題，構造相似三角形列方程是解題的關鍵.

三、解答題：(本大題共7題，滿分78分)

2

19.(10分)先化簡，再求值：，+」--二2,其中，x=J5.

x+1x-1*2-1

【分析】根據(jù)分式的加減法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即

可解答本題.

2

【解答】解：」_+，-3m

x+lx-lx2-l

=1-1X2+1

x+lx-l(x+l)(x-l)

=xT+x+l-(”+1)

(x+l)(x-l)

=X_]+x+]_x']

(x+l)(x-l)

-(x-l)2

(x+l)(x-l)

x+l

當》=圾時，原式=-噌1=-(加-I)2=-2+2我-1=-3+2圾.

V2+1

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法.

20.(10分)解方程組：「2-5xy-6y2=0.

o9

.x-4xy+4y=1

【分析】將每個方程因式分解，降次化為兩個一次方程，解出重新組合的方程組即可得

到答案.

【解答】解：7-5孫-6y2=0可化為（x-6y）（x+y）=0,

.'.x-6y=0或x+y=0,

X2-4xy+4y2=1可化為(x-2y+\)(x-2y-1)=0,

：.x-2y+l^0^x-2y-1=0,

x-6y=0x+y=0

原方程組相當于以下四個方程組：①,x-6y=°②,③,

x-2y+l=0x-2y-l=0x-2y+l=0

x+y=0④,

x-2y-l=0

3311

Y=----T----

23

解①②③④分別得：f

1_1_1

y--4y-7一y~

.3311

x--yxv=---Y=-

^233

，原方程組的解為：或.或，或，

_11-

y=-4了二萬

【點評】本題考查解二元二次方程組，將每個二次方程因式分解，降次化為兩個一次方

程是解題的關鍵.

21.（10分）如圖，在RtZ\A8C中，乙4c8=90°，AC=6,cosA=2.。是4B邊的中點,

5

過點。作直線8的垂線，與邊8c相交于點E.

（1）求線段CE的長；

（2）求sinNBOE的值.

【分析】（1）由勾股定理求出8C,再根據(jù)斜邊上的中線求出A￡>,NDCB=/B,由余弦

定理求出CE；

（2）作交48于尸，在直角三角形中由勾股定理列出關于B尸的關系式，從而求

出NBQE的正弦值.

【解答】解：（1）?.?/AC8=90°,AC=6,COSA=3,

5

?.---A--C_3--,

AB5

???A8=10,

-'-BC=VAB2-AC2=8,

又為AB中點，

：.AD=BD=CD=1AB=5,

2

：.ZDCB=ZB,

：.cosZDCB=^-,cos/B=此,

CEAB

???--5-=--8-,

CE10

CE=空；

4

（2）作EF_L48交4B于R

由（1）知CE=2i,

4

則跖=8/陽五岳2-CD2譚,

設BF=x,則DF=BD-BF=5-x,

2222

在RlAD￡F中，EF=DE-。產(chǎn)=（學）_（5-x）>

2222

在RtABEF中，EF=BE-8產(chǎn)=（^）_x,

.?.儂-（57）2=堂-/,

1616

解得》=工，

5

/.sinZfiD￡=^.=_Z_.

DE25

K

CEB

【點評】本題主要考查解直角三角形和斜邊上的中線，關鍵是直角三角形中，正弦、余

弦的應用.

22.（10分）張先生準備租一處房屋開一家公司.現(xiàn)有甲、乙兩家房屋出租，甲家房屋已裝

修好，每月租金3000元；乙家房屋沒有裝修，每月租金2000元，但要裝修成甲家房屋

的模樣，需要花費40000元.

請你自行定義變量，建立函數(shù)，并利用與函數(shù)有關的知識幫助張先生設計一個租房方案

(備注：只從最省錢的角度設計租房方案，寫出具體的解題過程).

【分析】由租金隨租期的變化而變化，所以租期是自變量，租金是函數(shù)值，列出y與x

的關系式，再根據(jù)兩家租金的多少分類討論分類討論即可.

【解答】解：設張先生組的時間為自變量x,租金為函數(shù)值y,

,租甲家房屋y與x的關系為：y=3000x,

租甲家房屋y與x的關系為：y=40000+2000x,

①當甲家費用高于乙家費用時3000x>40000+2000x,

解得：440；

②當甲家費用等于乙家費用時3000x=40000+2000x,

解得：x=40；

③當甲家費用低于乙家費用時3000x<40000+2000x,

解得：x<40,

綜上所訴，①當租期超過40個月時，租乙家合適；②當租期等過40個月時，租家、乙

家都可以；③當租期低于40個月，租甲家合適.

【點評】此題是一次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)租金的多少進行分類討論.

23.(12分)已知：四邊形ABC。是正方形，點E是8c邊的中點，點尸在邊A8上，聯(lián)結

DE、EF.

(1)如圖1,如果tan/BE尸=』，求證：EFYDE-,

圖1圖2

【分析】(1)證明△FBEsAEC?？傻肗FEB=NEDC,從而可得/FE￡>=90°,即可

得證；

(2)過E作E，_LA￡>于“，連接AE,證明NCOE=/￡)￡?=NAE/7=NFEA即可得到

ZDEF=3ZCDE.

【解答】解：(1)證明：???四邊形A8co是正方形,

；./A=/B=/C=90°,BC=CD,

設正方形ABCD邊長為m,則BC=CD=m,

?.,點E是BC邊的中點，

；.BE=CE=LI,

2

VtanZBEF=A,

2

?BF=1,

"BE2"

工

WCE=2^=A)

CDm2

?BFCE

:?△FBEsfCD,

：.ZFEB=ZEDC,

VZEDC+ZDEC=90°,

工NFEB+NDEC=90°,

；?NFED=90°,

：.EFLDE；

(2)過E作EH_LA。于"，連接AE,如圖：

???四邊形ABC。是正方形，EHLAD于H,

：.AB//EH//CD,

:?/CDE=/DEH,

是BC中點,

：.AH=DH,

.?.E4垂直平分AQ,

二NAEH=ZDEH,

：.NCDE=NDEH=ZAEH,

RtZ\BEF中，tan/BEF=3,即典=旦，

4BE4

設BF=3"?,則BE=4，〃，

:?BC=2BE=8m,EF=5m,

???A8=8C=8機，AF=AB-BF=5m,

；?EF=AF,

：.ZFAE=ZFEAf

而/AEH,

:./FEA=/AEH,

：.ZCDE=/DEH=ZAEH=NFEA,

：.ZDEF=3ZCDE.

【點評】本題考查正方形性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)與判斷、三角函數(shù)等綜合知識，解題的

關鍵是把三角函數(shù)轉化為線段比.

24.(12分)在平面直角坐標系，(如圖)中，二次函數(shù)/(X)=--2ar+a-1(其中“

是常數(shù)，且。W0)的圖象是開口向上的拋物線.

(1)求該拋物線的頂點P的坐標；

(2)我們將橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做“整點”，將拋物線/(x)=癥-2"+〃-1與

y軸的交點記為4,如果線段。A上的“整點”的個數(shù)小于4,試求a的取值范圍；

(3)如果/(-1)、/(0)、/(3)、/(4)這四個函數(shù)值中有且只有一個值大于0,試寫

出符合題意的一個函數(shù)解析式；結合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

yf

1-

_0__―__j111111b

【分析】(1)把拋物線代入頂點式為f(x)=a(x-1)2-1,即可求頂點坐標；

(2)拋物線與y軸的交點，橫坐標為0,即A坐標為(0,a-\),根據(jù)已知條件”-1

<3,即可求a的取值范圍為0<a<4；

(3)根據(jù)已知/(-1)、/(0)、f(3)、/(4)有且只有一個大于0,即其余的小于或等

于0,由對稱軸為直線x=l開口向上，可以得出/(4)>/(3)=/(-1)>/(0),根

據(jù)/(4)>0,/(3)W0可以求a的范圍，即可以寫出符合條件的函數(shù)解析

94

式.

【解答】解:(1)拋物線的方程為f(x)=0?-2ax+a-1=a(x-1)2-L

二拋物線的頂點坐標為(1,-1)；

(2)4為拋物線與y軸的交點，

.'.A點坐標為(0,a-1),

線段OA上的整點個數(shù)小于4,

則可知a-lV4,a<5,

故a的取值范圍為0<a<5；

(3)已知/(-1)、/(0)、/(3)、/(4)有且只有一個大于0,(即其余的小于或等于0)

由題可知該函數(shù)對稱軸為直線x=l,開口方向向上，

故有/(4)>/(3)=/(-1)>f(0),

：.f(4)>0,

...得l6a-Sa+a-1