2021年天津市部分區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)查試卷（學(xué)生版+解析版）

2021年天津市部分區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)查試卷

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合河={-2,0,1）,N={—1,0,1,2},則M|jN=（）

A.{-2,-1,0,2}B.{-2,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,

2）

2.（5分）已知a,bwR,“a>b”是“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.（5分）在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬.已

知四棱錐M—為陽馬，側(cè)棱底面且M4=l,BC=2,AB=3.若該

四棱錐的頂在都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.14乃B.20萬C.25兀D.28萬

5.（5分）某工廠對一批新研發(fā)產(chǎn)品的長度（單位：/wn）進(jìn)行測量，將所得數(shù)據(jù)分為五組,

整理后得到的頻率分布直方圖加圖所示，據(jù)此圖估計這批產(chǎn)品長度的中位數(shù)是（）

A.23.25加%B.22.50mmC.21.75/T^nD.21.25mm

2Qa

6.（5分）已知4=2?,c=log2-,則a,h,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

7.（5分）設(shè)/（c,0）為雙曲線后：m-與=13>0力>0）的右焦點，圓/+>2=。2與E的兩

ab-

條漸近線分別相交于A,3兩點，O為坐標(biāo)原點，若四邊形04/不是邊長為4的菱形，則E

的方程為（）

8.（5分）下面四個命題，其中所有真命題的編號為（）

①函數(shù)y=sin%-cos。的最小正周期是巴；

2

②終邊在x軸上的角的集合是｛a|c=Z;r,k&Z｝；

③把函數(shù)y=3sin（2x+馬的圖象上所有點向右平行移動巴個單位長度后，得到函數(shù)

36

y=3sin2x的圖象；

④函數(shù)y=sin（x-g在區(qū)間［0,萬］上單調(diào)遞減.

A.②③B.②④C.①③D.①④

9.（5分）已知定義在（YO,0）0（0,+8）上的偶函數(shù)f（x）,當(dāng)x>0時，

若函數(shù)y=/（x）—“心砌恰有六個零點，且分別記為不，々，鼻，

x4,X5,X6,則玉?工2,工3”4，無5.天的取值范圍是（）

A.（-9,-4）B.（-4,9）C.（-16,-9）D.（-16,-4）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分.

10.（5分）i是虛數(shù)單位，則|曰|=_.

l-i

11.（5分）（x--J=）6的展開式中的常數(shù)項是（用數(shù)字作答）6666666666666

12.（5分）已知過點P（0,l）的直線/與直線4x-3y=0垂直，/與圓x?+丁+2*一6y+6=0相

交于A,B兩點,則|AB|=.

13.（5分）某學(xué)校團(tuán)委在2021年春節(jié)前夕舉辦教師“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識答題賽，其中高一年

級的甲、乙兩名教師組隊參加答題賽，比賽共分兩輪，每輪比賽甲、乙兩人各答一題.已知

甲答對每個題的概率為2,乙答對每個題的概率為1.假定甲、乙兩人答題正確與否互不

32

影響，則比賽結(jié)束時，甲、乙兩人共答對三個題的概率為一.

14.（5分）已知a>0,b>0,且4a2+9y-2"=20,則必的最大值為.

15.（5分）如圖，在四邊形中，AB=2,8=4,向量而，。。的夾角為三.若E,

3

產(chǎn)分別是邊45的三等分點和中點，M,N分別是邊3c的三等分點和中點，貝力而|=—,

EMFN=

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推證過程或演算步驟.

16.如圖，在平面四邊形A88中，AB=1,BC=8,BD=5,ZDBC=-,ZADB^—.

33

（1）求邊CO的長；

（2）設(shè)NBAD=G,求sin（，-馬的值.

B

17.如圖，在三棱柱A8C-ABC中，CG，平面ABC，CA=CB=2,44cB=90。，側(cè)棱

/里=1,M是A4的中點.

（1）求證：A.BLC.M：

（2）求直線與gC所成角的余弦值：

（3）求二面角A-AB-C的正弦值?

A

18.設(shè)｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，?,=1,%是生和外的等比中項，數(shù)列｛久｝的前〃項

和為S“，且滿足3b?-2s“=2(〃wN").

(1)求｛4｝和也,｝的通項公式；

(2)對任意的正整數(shù)"，數(shù)，求數(shù)列匕,｝的前2〃+1項和.

也，〃為偶數(shù)

龍21

19.設(shè)橢圓。:不+方=1伍>b>0)的左、右焦點分別為環(huán)，鳥.已知。的離心率為搭，過

焦點8的直線/交。于A,3兩點，當(dāng)焦點6到直線/的距離最大時，恰有14gl=|.

(1)求C的方程；

(2)過點①力)且斜率為8的直線交C于E,F兩點，E在第一象限，點尸在C上.若線

段耳'的中點為線段的中點為N,求門“，尸河的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(x)=(2x?-3x)e*,g(x)=alnx,其中4,e.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)求/(x)的最小值；

(3)記:。)為〃x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)"x)=20-g(x)的圖象與x軸有且僅有一個公共

2x+3

點，求。的取值范圍.

2021年天津市部分區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)查試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合〃={-2,0,1},N={-1,0,1,2},則M|jN=（）

A.{-2,-1,0,2}B.{-2,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,

2）

【解答】解：?.?集合M={-2,0,1},N={—1,0,1,2},

=0,I,2}.

故選：D.

2.（5分）已知a,bwR,“a>b”是“&>耳”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解答】解：?.,〃，Z?e7?,"a>b'\

可以取-2>-3,推不出沒有意義，

若“可得。與人大于等于o,

可以推出a>b>

：.“a>b”是“8〉加”的必要不充分條件，

故選：B.

C.D.

【解答】解：當(dāng)x>0時，f（x）=x-0為增函數(shù)，排除A,B,

X

當(dāng)X=1時，f（1）=l-a>0,排除。，

故選：C.

4.（5分）在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬.已

知四棱錐加-"8為陽馬，側(cè)棱M4J_底面438,且M4=l,BC=2,AB=3.若該

四棱錐的頂在都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.14萬B.20萬C.251D.284

【解答】解：如圖，

將四棱錐438放置在如圖所示長方體中,

則長方體的長、寬、高分別為3、2、1,

則長方體的外接球即四棱錐的外接球,

其對角線長MC=J『+22+32=后即為外接球的直徑,

該球的表面積為4萬x（恒）2=14萬.

2

故選：A.

5.（5分）某工廠對一批新研發(fā)產(chǎn)品的長度（單位：〃[〃?）進(jìn)行測量，將所得數(shù)據(jù)分為五組,

整理后得到的頻率分布直方圖加圖所示，據(jù)此圖估計這批產(chǎn)品長度的中位數(shù)是（）

0.08

0.04-----r—

...........................

0.02---l-

A.23.25/%%B.22.50mmC.2\.15ivmD.21.25加%

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

這批產(chǎn)品長度在口0,20）的頻率為：（0.02+0.04）x5=0.3,

這批產(chǎn)品長度在［20,25）的頻率為：0.08x5=0.4,

估計這批產(chǎn)品長度的中位數(shù)為：

20+°-5-°-3x5=22.50/wn.

0.4

故選：B.

6.（5分）已知4=2"b=（/,c=log2,則。，b,。的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

【解答】解：a=2^=2^2?b=（^）2=,c=log2^<l,

則a>/?>c.

故選：A.

r22

7.（5分）設(shè)歹（c,0）為雙曲線E:=-斗=1（〃>0,。>0）的右焦點，圓V+y2=c2與石的兩

ab-

條漸近線分別相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點，若四邊形。4/乃是邊長為4的菱形，則E

的方程為（）

2）2。少2

A.---2=1B.---2=1C.---匕=1D.---2=1

6226123412

【解答】解：因為四邊形OAEB是邊長為4的菱形，所以。4=AF=OF=C=4,

所以A4OF是邊長為4的等邊三角形，即可得tanNAOF=~^=有，

a

丫22

又c2=q2+〃，可得.=2,b=2出,則￡的方程為二-匕=1.

412

8.（5分）下面四個命題，其中所有真命題的編號為（）

①函數(shù)y=sin2x-cos2x的最小正周期是—；

2

②終邊在X軸上的角的集合是｛。|a=攵4，k^Z｝；

③把函數(shù)y=3sin(2x+^)的圖象上所有點向右平行移動出個單位長度后，得到函數(shù)

36

y=3sin2%的圖象；

④函數(shù)y=sin(x-g在區(qū)間[0,列上單調(diào)遞減.

A.②③B.②④C.①③D.①④

【解答】解：對于①，函數(shù)y=sin~—cos\=-cos2x,所以函數(shù)的最小正周期是乃，故①

錯誤；

對于②，終邊在x軸上的角的集合是｛a|a=Z乃，keZ],故②正確；

對于③，把函數(shù)y=3sin(2x+代)的圖象上所有點向右平行移動生個單位長度后，得到函數(shù)

36

y=3sin2x的圖象，故③正確；

對于④，由于劃，所以x-Cs—m，函數(shù)尸sin(x-C)在區(qū)間[0,劃上單調(diào)

2222

遞增，故④錯誤.

故選：A.

9.(5分)已知定義在(-co,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時，

〃x)=J/%r|,0<r，3,若函數(shù)尸/(幻―心￡出恰有六個零點，且分別記為百，》9，

[r+4,x>3

犬4，X5，X6,則%32,犬3?%,冬,%的取值范圍是()

A.(-9,-4)B.(-4,9)C.(-16,-9)D.(一16,Y)

【解答】解：作出函數(shù)/(%)的圖象如下圖所示，

*/2%3匕%匕=一七2

3<x6<4,

2

-16<-x6<-9,即不馬玉毛毛毛的取值范圍為(-16,-9).

故選：C.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分.

io.(5分)i是虛數(shù)單位，則|七3|=_典_.

1-Z2

【解答】解：計算?上2|=旦二列叵.

i-tH-/I7TTT2

故答案為：警.

1

11.（5分）（無一下的展開式中的常數(shù)項是15(用數(shù)字作答)6666666666666

【解答】解：???(工-3)6的展開式的通項公式為&=C；(-1)「J卡

令6-2=0,求得r=4,故(%-上)6的展開式中的常數(shù)項是C：=15,

2\/x

故答案為：15.

12.(5分)已知過點P(0,l)的直線/與直線4x-3)，=0垂直，/與圓/+丁+2》_6),+6=0相

交于A,8兩點，則|AB|=_2ji_.

【解答】解：由題意設(shè)過點P(0,l)的直線/與直線4x-3y=0垂直，

直線/的方程為3x+4y—4=0,

因為圓/+/+2犬-6),+6=0化為*+1)2+(>-3)2=4的圓心為(_1,3),半徑為r=2,

所以圓心到直線的距離為〃=上翼上1=1,

弦長|AB|=2722-12=2百，

故答案為：2G.

13.(5分)某學(xué)校團(tuán)委在2021年春節(jié)前夕舉辦教師“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識答題賽，其中高一年

級的甲、乙兩名教師組隊參加答題賽，比賽共分兩輪，每輪比賽甲、乙兩人各答一題.已知

甲答對每個題的概率為士，乙答對每個題的概率為假定甲、乙兩人答題正確與否互不

32

影響，則比賽結(jié)束時，甲、乙兩人共答對三個題的概率為.

一3一

【解答】解：甲答對每個題的概率為2,乙答對每個題的概率為

32

假定甲、乙兩人答題正確與否互不影響，

則比賽結(jié)束時，甲、乙兩人共答對三個題包含兩種情況：

①甲答對兩個題，乙答對一個題，概率為：4=（|）2.《（》（；）=：；

②甲答對一個題，乙答對兩個題，概率為：6=&（令6>0）2=t.

，比賽結(jié)束時，甲、乙兩人共答對三個題的概率為：

P=P,+P,

,2993

故答案為：—.

3

14.（5分）已知”>0,b>0,S.4a2+9b2-2ab=20,則岫的最大值為2.

【解答】解：由題意得20+2"=4a°+9尻.2,4",當(dāng)且僅當(dāng)4a=962時取等號，

解得她,2,即必的最大值為2.

故答案為：2.

15.（5分）如圖，在四邊形他C￡>中，AB=2,8=4,向量而，的夾角為三.若E,

3

尸分別是邊相>的三等分點和中點，M,N分別是邊BC的三等分點和中點，則|而|=

幣EM-FN=.

FN=FD+DC+CN=-AD+DC+-CB

22

1—,1—.1——1—.1—.1—.

=-AD+-DC+-CB+-DC=-AB+-DC,

222222

則聞|=；y](AB+DC)2=-YIAB+2ABDC+DC2

■^■^4+2x2x4xcos-1-+16=-Jl；

___________9__.9__.2__.|_2__.1__.

由前=而+覺+兩=一而+—祝+—屈+—覺=一通+—覺,

333333

_,112.1

^EMFN^(-AB+-DC)(-AB+-lSC)

2233

=1旃而.覺+1反2,+L2X4XL§=6.

3263223

故答案為：幣;6.

三、解答題：本大題共5小題，共75分?解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推證過程或演算步驟.

16.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB=1,BC=8,BD=5,ZDBC=-,ZADB=—.

33

(i)求邊c。的長；

(2)設(shè)Nfi4L>=e,求sin(e-工)的值.

【解答】解：(1)在MCO中，BC=8,80=5,ZADB=—,..ZDBC=%,

33

由余弦定理，得，CD2=BD2+BC2-2BD-BCcosZDBC

即CD2=52+82-2x5x8xcos-=49，

3

所以CD=7.

(2)在AABD中,AB=1,BD=5,ZADB=—，ZBAD=0,

3

ABBD

y

“L-,iJs[nZADB~~^

.至

所以si團(tuán)處電3=空金=述，

AB714

所以cos0——sin20=Jl—(jj)?=>

所以sin(。--)=sin0cos--cos0sin—=x---xi=—.

6661421427

17.如圖，在三棱柱ABC—4MG中，C￡_L平面ABC,CA=CB=2,ZACB=90°,側(cè)棱

A4,=1,M是的中點.

(1)求證：；

(2)求直線48與BC所成角的余弦值；

(3)求二面角A-A8-C的正弦值.

【解答】(1)證明：依題意，以點C為坐標(biāo)原點，分別以國，CB,西的方向為x軸、y

軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z

則8(0,2,0),C(0,0,0),A(2,0,1),A/(l,1,1),0(0,0,1),B40,2,1).

所以卒=(-2,2,-1),時=(1,1,0),

所以平?麗=-2+2+0=0,

所以事J_麗，即AB_LGM.

Bi

Ai

(2)解：由(1),得|即|=3,束=(0,—2,—1),

所以還?配=-3,|鴕|=否，

所以cos〈福,隸〉H組至H上尸1=2.

IAB||B|C|3X755

即所求直線A超與8c所成角的余弦值為乎.

(3)解：依題意及(1),得。<=(2,。,1).

設(shè)平面A8C的法向量為k=(x,y,z),

則產(chǎn).“=-2x+2y-z=0

n-G\=2x+z=0

令x=l,得z=—2,y=0,所以為=(1,0,—2),

由(1)及題意知，GM_L平面AB8M，

所以平面AA.B的法向量是=(1,1,0),

所以|那=6,|e廟|=&,n-C^M=\.

所以cos<ri,CJA)=aJM」=廣?廠=

|萬IIJMI75x7210

設(shè)二面角A-AB-C的平面角為夕，由于0<9<%,

所以sin°=Jl-cos2(Af,C|M〉=,

故所求二面角A-AB-C的正弦值為嚕.

18.設(shè)｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=1,%是々和心的等比中項，數(shù)列｛2｝的前N項

和為S?,且滿足3bti-2S?=2(〃>N*).

(1)求｛4｝和｛么｝的通項公式:

(2)對任意的正整數(shù)〃，設(shè)。“=卜+2，2%數(shù)，求數(shù)列匕｝的前2〃+1項和.

為偶數(shù)

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為4=1,是和的等比中項，所以

即(1+3d尸=(I+d)(\+7d),解得d=1或d=0.

又因為dwO,所以d=l.

所以a”=1+5-1)x1=〃.

因為3%-2S〃=2(〃wN*),

所以，當(dāng)幾.2時，3〃一一2sl=2,

所以3(2-a)-2(S?-S?_,)=o,所以3(瓦一b?^-2b?=O,即&=3(〃.⑵.

當(dāng)”=1時，3b1-2S|=2,

又因為S1=4，所以4=2,

所以數(shù)列仍“｝是以2為首項、3為公比的等比數(shù)列.

所以〃=/V4"T=2X3"T.

(〃為奇數(shù))

⑵因為i〃為偶數(shù)，

乙X3

故數(shù)列{%}的前2n+l項和為

T、小“clc3c5c2,T、("+1)(3+2"+3)6(1-9")“932"+'

("I=(3+5+7+...+2"+3)+2(3,+3+3,+…+3*')=--------+=n-2+4n+-+-^—

19.設(shè)橢圓C:二+]=l(a>b>0)的左、右焦點分別為耳，E.已知C的離心率為,，過

arb2

焦點居的直線/交。于A,8兩點，當(dāng)焦點”到直線/的距離最大時，恰有|4月|=^|.

(1)求C的方程；

(2)過點(a,b)且斜率為舊的直線交C于E,F兩點，E在第一象限，點P在C上.若線

段瓦'的中點為M,線段的中點為N,求的取值范圍.

【解答】解：(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,

當(dāng)焦點可到直線/的距離取最大值時，/_Lx軸，

此時|48|=藝=』.①

a2

又C的離心率e=L所以e2=q=l-4=(%，②

2a2a-2

解①②，得/=4,//=3.

所以橢圓C的方程為三+匯=1.

43

(2)依題意及(1),得直線防的方程為y-G=仃(x-2),即)，=島-6.

由E,尸為直線交橢圓C的兩個交點，且點E在第一象限,

丫=瓜一也QT.fi

解方程組/>2],得點E號,要)，尸(0,-6),

43

又因為線段所的中點為線段的中點為N,

4

所以點M的坐標(biāo)為(親-點N的坐標(biāo)為

―

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x(),%),則—2領(lǐng)2,且PA/=(g—x。,—,PN=(—x0,-—-y0)>

所以麗?麗=片+4一2%+不.③

因為點尸在橢圓C上，所以考■+范=1,

43

所以尤=3(1-1),④

將④代入③，得兩?麗=片+3(1-9)-2/+空=工片-2%+史=」(與一4)2-巴,

425425425

因為-2領(lǐng)上。2,所以，當(dāng)％=2時，。杯?所取得最小值義；

當(dāng)天=-2時，P/?麗取得最大值坦.

25

故所求PM-PN的取值范圍為等」.

20.已知函數(shù)/(》)=(2》2-3x)e*,g(x)=alnx,其中④e.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)求/(x)的最小值;

(3)記/(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)/?(x)=23-g(x)的圖象與x軸有且僅有一個公共

2x+3

點，求。的取值范圍.

【解答】解:(1)易知函數(shù)解x)的定義域為尺,且((x)=(2x+3)(x-l)e*,

所以尸(1)=0,

因為/(1)=-e,所以曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=—e.

(2)由⑴得/(x)=2(x+$(x—l)e*,令八%)=0,得x=_1,x=l,

所以，當(dāng)了€(70,-》時，尸(幻>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，f'(X)<0,函數(shù)