反比例函數(shù)經(jīng)典拓展難題

./1：〔2007年XX省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽函數(shù)y＝圖象的大致形狀是〔ABCD2．<2009年XX市>如圖,點(diǎn)、是雙曲線上的點(diǎn),分別經(jīng)過、兩點(diǎn)向軸、軸作垂線段,若則．xxyABO8題圖3．已知y與2x－3成反比例,且時(shí),y＝－2,求y與x的函數(shù)關(guān)系式．4．已知函數(shù)y＝y(tǒng)1－y2,且y1為x的反比例函數(shù),y2為x的正比例函數(shù),且和x＝1時(shí),y的值都是1．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．5．作出反比例函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象解答下列問題：<1>當(dāng)x＝4時(shí),求y的值；<2>當(dāng)y＝－2時(shí),求x的值；<3>當(dāng)y＞2時(shí),求x的范圍．6．作出反比例函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象回答：<1>當(dāng)x＝2時(shí),y的值；<2>當(dāng)1＜x≤4時(shí),y的取值范圍；<3>當(dāng)1≤y＜4時(shí),x的取值范圍．7．作出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象回答下列問題：<1>當(dāng)x＝－2時(shí),求y的值；<2>當(dāng)2＜y＜3時(shí),求x的取值范圍；<3>當(dāng)－3＜x＜2時(shí),求y的取值范圍．8．如圖,A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn),BC∥x軸,AC∥y軸,△ABC的面積記為S,則<s=>．9．如圖,點(diǎn)A、B是函數(shù)y＝x與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn),作AC⊥x軸于C,作BD⊥x軸于D,則四邊形ACBD的面積為<>．10．已知：如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt△OCD的一邊OC在x軸上,∠C＝90°,點(diǎn)D在第一象限,OC＝3,DC＝4,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OD的中點(diǎn)A．<1>求該反比例函數(shù)的解析式；<2>若該反比例函數(shù)的圖象與Rt△OCD的另一邊交于點(diǎn)B,求過A、B兩點(diǎn)的直線的解析式．11．如圖,A、B兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．<1>求m的值及直線AB的解析式；<2>如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù),那么我們稱這個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分<不包括邊界>所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)．12．如圖,已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C<0,1>,若△ABC的面積是3,則反比例函數(shù)的解析式為____________．13．如圖,直線y＝mx與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作AM⊥x軸,垂足為M,連結(jié)BM,若S△ABM＝2,則k的值是<>．14．如圖,雙曲線<k＞0>經(jīng)過矩形OABC的邊BC的中點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)D。若梯形ODBC的面積為3,則雙曲線的解析式為<>．15．如圖,直線y＝kx＋b與反比例函數(shù)<x＜0>的圖象交于點(diǎn)A,B,與x軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為<－2,4>,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－4．<1>試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；<2>求△AOC的面積．16．如圖,已知A<－4,n>,B<2,－4>是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．<1>求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；<2>求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積；<3>求方程的解<請(qǐng)直接寫出答案>；<4>求不等式的解集<請(qǐng)直接寫出答案>．17．已知：如圖,正比例函數(shù)y＝ax的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A<3,2>．<1>試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；<2>根據(jù)圖象回答,在第一象限內(nèi),當(dāng)x取何值時(shí),反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；<3>M<m,n>是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn),其中0＜m＜3,過點(diǎn)M作直線MB∥x軸,交y軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A作直線AC∥y軸交于點(diǎn)C,交直線MB于點(diǎn)D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí),請(qǐng)判斷線段BM與DM的大小關(guān)系,并說明理由．18．如圖,已知點(diǎn)A,B在雙曲線上,AC⊥x軸于點(diǎn)C,BD⊥y軸于點(diǎn)D,AC與BD交于點(diǎn)P,P是AC的中點(diǎn),若△ABP的面積為3,求k的值．19〔2010XXXX如圖,已知直線與雙曲線交A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.〔1求k的值；〔2若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求△AOC的面積；〔3過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)〔P點(diǎn)在第一象限,若由點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．xMxMNyDABCEO圖1320〔2010XX如圖13,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A,C分別在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔4,2．過點(diǎn)D〔0,3和E〔6,0的直線分別與AB,BC交于點(diǎn)M,N．〔1求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔2若反比例函數(shù)〔x＞0的圖象經(jīng)過點(diǎn)M,求該反比例函數(shù)的解析式,并通過計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上；〔3若21．〔2010XX一次函數(shù)y=kx+b圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A〔2,1,B〔－1,n兩點(diǎn)?！?求反比例函數(shù)的解析式〔2求一次例函數(shù)的解析式〔3求△AOB的面積xxy圖10OBACD反比例函數(shù)難題拓展二、填空題1.〔2011XXXX,16,4分如圖,將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中,B〔2,0,∠AOC＝60°,點(diǎn)A在第一象限,過點(diǎn)A的雙曲線為y=EQ\f<k,EQ\f<,>x>,在x軸上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線OA的垂線l,以直線l為對(duì)稱軸,線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′B′.〔1當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是.〔2設(shè)P〔t,0當(dāng)O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí),t的取值范圍是.[答案]〔1〔4,0；〔24≤t≤2eq\r<,5>或－2eq\r<,5>≤t≤－42.〔2011XXXX,6,4分已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過〔1,－2．則．[答案]－23.〔2011XX濱州,18,4分若點(diǎn)A<m,－2>在反比例函數(shù)的圖像上,則當(dāng)函數(shù)值y≥－2時(shí),自變量x的取值范圍是___________.[答案]x≤-2或x>04.〔2011XXXX市,14,3分過反比例函數(shù)y=<k≠0>圖象上一點(diǎn)A,分別作x軸,y軸的垂線,垂足分別為B,C,如果⊿ABC的面積為3.則k的值為.[答案]6或﹣6.5.〔2011XX市,18,3分如圖,正方形A1B1P1P2的頂點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)y＝eq\f<2,x>〔x＞0的圖像上,頂點(diǎn)A1、B1分別在x軸和y軸的正半軸上,再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2,頂點(diǎn)P3在反比例函數(shù)y＝eq\f<2,x>〔x＞0的圖象上,頂點(diǎn)A3在x軸的正半軸上,則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為[答案]〔eq\r<,3>＋1,eq\r<,3>－16.〔2011XXXX,5,4分在直角坐標(biāo)系中,有如圖所示的軸于點(diǎn),斜邊,反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過的中點(diǎn),且與交于點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為.〔第15題〔第15題[答案]7.<2011XXXX,13,5分>若點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn),則〔填">","<""=".[答案]>8.〔2011XXXX,16,4分如圖,將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中,B<2,0>,∠AOC＝60°,點(diǎn)A在第一象限,過點(diǎn)A的雙曲線為y=EQ\f<k,EQ\f<,>x>,在x軸上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線OA的垂線l,以直線l為對(duì)稱軸,線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′B′.〔1當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是.〔2設(shè)P<t,0>當(dāng)O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí),t的取值范圍是.[答案]〔1<4,0>；〔24≤t≤2eq\r<,5>或－2eq\r<,5>≤t≤－49.〔2011XXXX,5,3分如圖1所示的曲線是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一支,點(diǎn)A在此曲線上,則該反比例函數(shù)的解析式為_______________.y1OAy1OAx3圖110．〔2011XXXX,18,3分如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔,3,AB⊥x軸,垂足為B,連接OA,反比例函數(shù)y=〔k>0的圖象與線段OA、AB分別交于點(diǎn)C、D.若AB=3BD,以點(diǎn)C為圓心,CA的倍的長(zhǎng)為半徑作圓,則該圓與x軸的位置關(guān)系是___________〔填"相離"、"相切"或"相交"[答案]相交11.〔2011XXXX,11,3分反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限,則m的取值范圍是．[答案]x＞112.〔2011XXXX,25,4分在平面直角坐標(biāo)系中,已知反比例函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減小．若該反比例函數(shù)的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn)P,且,則實(shí)數(shù)k=_________.[答案].13.〔2011XXXX,15,5分如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一正方形AOBC,反比例函數(shù)經(jīng)過正方形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn),半徑為〔的圓內(nèi)切于△ABC,則k的值為．[答案]414.〔2011XX省,6,4分已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過〔1,－2．則．[答案]－215.<2011XXXX,15,2分>設(shè)函數(shù)與的圖象的交戰(zhàn)坐標(biāo)為〔a,b,則的值為__________．[答案]16.〔2011上海,11,4分如果反比例函數(shù)〔k是常數(shù),k≠0的圖像經(jīng)過點(diǎn)<－1,2>,那么這個(gè)函數(shù)的解析式是__________．[答案]17.〔2011XXXX市,16,3分如圖,□ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是A〔－1,0,B〔0,－2,頂點(diǎn)C,D在雙曲線y=上,邊AD交y軸于點(diǎn)E,且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍,則k=_____．[答案]1218.〔2011XX黃岡,4,3分如圖：點(diǎn)A在雙曲線上,AB⊥x軸于B,且△AOB的面積S△AOB=2,則k=______．ABABOxy

第4題圖[答案]－419.〔2011XXXX,15,3分若一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。[答案]k<-20．〔2011XXXX,3,3分函數(shù)中自變量的取值范圍是_______________.[答案]21.〔2011XX永州,7,3分若點(diǎn)P1<1,m>,P2〔2,n在反比例函數(shù)的圖象上,則m_____n<填"＞"、"＜"或"="號(hào)．[答案]＜22.〔2011XX烏蘭察布,17,4分函數(shù),的圖象如圖所示,則結(jié)論：①兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔3,3>②當(dāng)時(shí),③當(dāng)時(shí),BC=8④當(dāng)逐漸增大時(shí),隨著的增大而增大,隨著的增大而減?。渲姓_結(jié)論的序號(hào)是＿.yyyy1＝xy2＝x第17題圖[答案]①③④23.〔2011XXXX,6,4分已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過〔1,－2．則．[答案]－224.〔2011XXXX,4,3分如圖：點(diǎn)A在雙曲線上,AB⊥x軸于B,且△AOB的面積S△AOB=2,則k=______．ABABOxy

第4題圖[答案]－425.〔2010XXXX,15,3分如圖,點(diǎn)A在雙曲線上,點(diǎn)B在雙曲線上,且AB∥x軸,C、D在x軸上,若四邊形ABCD的面積為矩形,則它的面積為.[答案]226.〔2011XX荊州,16,4分如圖,雙曲線經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C,∠ABC＝90°,OC平分OA與軸正半軸的夾角,AB∥軸,將△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C,B＇點(diǎn)落在OA上,則四邊形OABC的面積是.[答案]227.三、解答題1.〔2011XX省XX,19,6分如圖,已知直線經(jīng)過點(diǎn)P〔,,點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在反比例函數(shù)〔的圖象上．〔1求的值；〔2直接寫出點(diǎn)P′的坐標(biāo)；〔3求反比例函數(shù)的解析式．〔第19〔第19題xyOP[答案]〔1將P〔-2,a代入得a=-2×<-2>=4;<2>P′〔2,4〔3將P′〔2,4代入得4=,解得k=8,∴反比例函數(shù)的解析式為．2.〔2011XX,21,12分如圖,函數(shù)的圖象與函數(shù)〔的圖象交于A、B兩點(diǎn),與軸交于C點(diǎn),已知A點(diǎn)坐標(biāo)為〔2,1,C點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,3．〔1求函數(shù)的表達(dá)式和B點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2觀察圖象,比較當(dāng)時(shí),與的大小.ABABOCxy[答案]〔1由題意,得解得∴;又A點(diǎn)在函數(shù)上,所以,解得,所以;解方程組得,．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1,2．〔2當(dāng)x=1或x=2時(shí),y1=y2；當(dāng)1＜x＜2時(shí),y1＞y2；當(dāng)0＜x＜1或x＞2時(shí),y1＜y2．3.〔2011XXXX市,23,12分已知Rt△ABC的斜邊AB在平面直角坐標(biāo)系的x軸上,點(diǎn)C〔1,3在反比例函數(shù)y=eq\f<k,x>的圖象上,且sin∠BAC=eq\f<3,5>．〔1求k的值和邊AC的長(zhǎng)；〔2求點(diǎn)B的坐標(biāo)．[答案]〔1把C〔1,3代入y=eq\f<k,x>得k=3設(shè)斜邊AB上的高為CD,則sin∠BAC=eq\f<CD,AC>=eq\f<3,5>∵C〔1,3∴CD=3,∴AC=5〔2分兩種情況,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí),如圖1有：AD=eq\r<,52－32>=4,AO=4－1=3∵△ACD∽ABC∴AC2=AD·AB∴AB=eq\f<AC2,AD>=eq\f<25,4>∴OB=AB－AO=eq\f<25,4>－3=eq\f<13,4>此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為〔eq\f<13,4>,0xyBAxyBACDOOxyBACD圖1圖2當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時(shí),如圖2此時(shí)AO=4＋1=5OB=AB－AO=eq\f<25,4>－5=eq\f<5,4>此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為〔－eq\f<5,4>,0所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔eq\f<13,4>,0或〔－eq\f<5,4>,0．4.〔2011XXXX,17〔1,7分已知一次函數(shù)與反比例函數(shù),其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P<,5>．①試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；②若點(diǎn)Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象在第三象限的交點(diǎn),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)[答案]解：因一次函數(shù)y=x＋2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P<k,5>,所以得5=k＋2,解得k=3所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為〔2聯(lián)立得方程組解得或故第三象限的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為<－3,－1>5.〔2011XXXX,20,7分如圖,正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,已知的面積為1.〔1求反比例函數(shù)的解析式；〔2如果為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)〔點(diǎn)與點(diǎn)不重合,且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在軸上求一點(diǎn),使最小.<第20題><第20題>[答案]〔1設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔,,則.∴.∵,∴.∴.∴反比例函數(shù)的解析式為. 3分<2>由得∴為〔,. 4分設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為〔,.令直線的解析式為.∵為〔,∴∴∴的解析式為. 6分當(dāng)時(shí),.∴點(diǎn)為〔,.…………7分6.〔2011XXXX,26,10分如圖,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象經(jīng)過A〔0,-2,B〔1,0兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=eq\f<12,x>的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若△OBM的面積為2?！?求一次函數(shù)和反比全例函數(shù)的表達(dá)式?！?在x軸上存在點(diǎn)P,使AM⊥PM？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,說明理由。[答案]〔1∵直線y=k1x+b過A〔0,-2,B〔1,0∴eq\b\lc\{<\a\al\co<b=-2,k1+b=0>>∴eq\b\lc\{<\a\al\co<b=-2,k1=2>>∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-2設(shè)M〔m,n,作MD⊥x軸于點(diǎn)D∵S△OBM=2∴eq\f<1,2>OB·MD=2∴eq\f<1,2>n=2∴n=4將M〔m,4代入y=2x-2得：4=2m-2∴m∵4=eq\f<k2,3>∴k2=12所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=eq\f<12,x><2>過點(diǎn)M〔3,4作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P∵M(jìn)D⊥BP∴∠PMD=∠MBD=∠ABO∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=eq\f<OA,OB>=eq\f<2,1>=2∴在Rt△PDM中,eq\f<PD,MD>=2∴PD=2MD=8∴PO=OD+PD=11∴在x軸上存在點(diǎn)P,使PM⊥AM,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔11,07.〔2011XXXX,22,8分如圖,已知反比例函數(shù)〔k1＞0與一次函數(shù)相交于A、B兩點(diǎn),AC⊥x軸于點(diǎn)C.若△OAC的面積為1,且tan∠AOC＝2.〔1求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；〔2請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo),并指出當(dāng)x為何值時(shí),反比例函數(shù)y1的值大于一次函數(shù)y2的值？[答案]解〔1在Rt△OAC中,設(shè)OC＝m.∵tan∠AOC＝＝2,∴AC＝2×OC＝2m∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1,∴m2＝1∴m＝1〔負(fù)值舍去.∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1,2.把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,得k1＝2.∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為.把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,得k2＋1＝2,∴k2＝1.∴一次函數(shù)的表達(dá)式.〔2B點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－2,－1.當(dāng)0＜x＜1和x＜－2時(shí),y1＞y2.8.〔2011XX省,18,8分若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A〔a,2<1>求反比例函數(shù)的解析式；<2>當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí),求自變量x的取值范圍．[答案]<1>∵的圖象過點(diǎn)A〔a,2∴a=3∵過點(diǎn)A〔3,2∴k=6∴<2>求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),得到方程：解得：x1=3,x2=-1∴另外一個(gè)交點(diǎn)是〔-1,-6∴當(dāng)x<-1或0<x<3時(shí),9.〔2011XX義烏,22,10分如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知反比例函數(shù)y=〔k>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A<2,m>,過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,且△AOB的面積為.〔1求k和m的值；〔2點(diǎn)C〔x,y在反比例函數(shù)y=的圖象上,求當(dāng)1≤x≤3時(shí)函數(shù)值y的取值范圍；〔3過原點(diǎn)O的直線l與反比例函數(shù)y=的圖象交于P、Q兩點(diǎn),試根據(jù)圖象直接寫出線段PQ長(zhǎng)度的最小值.BBOA[答案]〔1∵A<2,m>∴OB=2AB=m∴S△AOB=?OB?AB=×2×m=∴m=∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔2,把A〔2,代入y=,得=∴k=1〔2∵當(dāng)x=1時(shí),y=1；當(dāng)x=3時(shí)