數(shù)學(xué)建模層次分析法作業(yè)

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摘要

本文用層次分析法，得出了解決交通堵塞應(yīng)采用建立人行天橋的方案。先建立層次結(jié)構(gòu)模型，分三層，第一層為目標(biāo)層(O),其次層為準(zhǔn)則層(C),第三層為方案層(P)，根據(jù)層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造判斷矩陣。用MATLAB求出第2層對(duì)第一層的權(quán)向量W1，第三層對(duì)其次層的組合權(quán)向量W2，組合權(quán)項(xiàng)量W=W1*W2，最終得出W=0.45870.29840.2429可知第一方案為最優(yōu)方案。

一、問題的重述

某市中心有一商場，由于附近的行人和車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞，政府組織了專家會(huì)商研究擬定了五個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和三個(gè)方案，評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：B1：通車能力；B2：便利群眾；B3：費(fèi)用不宜過高B4：交通安全；B5：市容美觀；方案為：C1:在商場附近建一人行天橋；C2：在商場附近建一地下人行通道；C3：搬遷商場；我們需根據(jù)這五個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和三個(gè)方案，用層次分析法以改善市中心的交通環(huán)境為目標(biāo)，進(jìn)行模型的建立與分析，選出最優(yōu)的解決方案。

二、模型假設(shè)

1.假設(shè)只根據(jù)所提的五個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，不考慮其他條件。2.假設(shè)題中的三個(gè)方案是合理的，不考慮其他方案。3.假設(shè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的重要性判斷是合理的。符號(hào)的定義：

1.B1：通車能力成對(duì)比較矩陣2.B2：便利群眾成對(duì)比較矩陣

3.B3：費(fèi)用不宜過高成對(duì)比較矩陣4.B4：交通安全成對(duì)比較矩陣5.B5：市容美觀對(duì)比較矩陣6.P：總體比較矩陣

7.CIx：一致性指標(biāo)(x=1…5)

8.RIx:隨機(jī)一致性指標(biāo)(x=1…5)9.CRx:總體一致性比率(x=1…5)10.ZB:總體一致性比率矩陣11.W1：權(quán)向量（特征向量）12.W2：第2層對(duì)第一層的權(quán)向量13.ZC:一致性指標(biāo)矩陣14.ZR：隨機(jī)一致性指標(biāo)矩陣

三、模型的建立與求解

(一)建立層次結(jié)構(gòu)模型問題的層次結(jié)構(gòu)共分三層:第一層為目標(biāo)層(O),其次層為準(zhǔn)則層(C),第三層為方案層(P)。

目標(biāo)層改善市中心的交通環(huán)境通車能力便利群眾準(zhǔn)則層費(fèi)用不宜過高交通安全市容美觀C1C2C3

方案層

（二）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣

依照層次結(jié)構(gòu)，將每一層元素以相鄰上一層元素為準(zhǔn)則，進(jìn)行成對(duì)比較并按1-9的標(biāo)度方法構(gòu)造判斷矩陣。

準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣P=

通車能力B1=

便利群眾B2=

費(fèi)用不宜過高B3=

交通安全B4=

市容美觀B5=

（三）求組合權(quán)向量W

1、先求出第2層對(duì)第一層的權(quán)向量W1由于一致性指標(biāo)公式為

CI=λmax–n/n-1

其中n和λ分別為矩陣的階數(shù)和最大特征值

N=5用MATLAB求P的最大特征值λmax[S,T]=eig(p),pmax=T(1,1)得出λmax=5.2538

用MATLAB求,CI=(pmax-5)/(5-1)得CI=0.0634隨機(jī)一致性指標(biāo)RI查表得RI=1.12用MATLAB求CR=CI/RICR=0.0566

用MATLAB求W1W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]得

W1=0.23530.23530.05900.32940.14122、求第三層對(duì)其次層的組合權(quán)向量W2第三層對(duì)其次層計(jì)算結(jié)果K12345WK

0.73930.59540.73930.25990.1095

0.18310.27640.18310.41260.30900.07750.12830.07750.32750.58163.00373.00553.07763.05363.0037

0.00180.00280.03880.02680.0018

λK

CIK

用MATLAB求W2

W2=[S1(:,1)/sum(S1(:,1)),S2(:,1)/sum(S2(:,1)),S3(:,1)/sum(S3(:,1)),S4(:,1)/sum(S4(:,1)),S5(:,1)/sum(S5(:,1))]

W2=0.73930.59540.73930.25990.10950.18310.27640.18310.41260.30900.07750.12830.07750.32750.58163、組合權(quán)項(xiàng)量W=W1*W2用MATLAB求的W=

0.45870.29840.2429

第一項(xiàng)的組合權(quán)向量最大，應(yīng)選擇第一方案。(四)單項(xiàng)一致性檢驗(yàn)用MATLAB進(jìn)行檢驗(yàn)

p=[1155/75/3;1155/75/3;1/31/311/71/3;7/57/5717/3;3/53/533/71]

>>[S,T]=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RI

CR=0.0566

B1=[115;116;1/51/61]B2=[125;1/212;1/51/21]B3=[158;1/513;1/83/81]B4=[11/21;211;111]B5=[11/31/5;311/2;521]

[S1,T1]=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1

[S2,T2]=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2

[S3,T3]=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3

[S4,T4]=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4

[S5,T5]=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5ZB=

0.00320.00480.06690.04620.0032得出所有的值小于0.1通過一致性檢驗(yàn)（四）總體一致性檢驗(yàn)

>>W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]

>>ZC=[CI1,CI2,CI3,CI4,CI5],ZR=[RI1,RI2,RI3,RI4,RI5]>>a=ZC*W1,b=ZR*W1,CR=a/bCR=

0.0219

得出CR的值小于0.1，總體通過一致性檢驗(yàn)>>W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]

W2=[S1(:,1)/sum(S1(:,1)),S2(:,1)/sum(S2(:,1)),S3(:,1)/sum(S3(:,1)),S4(:,1)/sum(S4(:,1)),S5(:,1)/sum(S5(:,1))]>>W=W2*W1W=

0.45870.29840.2429

得出第一方案的值最大，應(yīng)選第一方案。