歷屆國際數(shù)學(xué)競賽試題

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第1屆IMO

1.求證(21n+4)/(14n+3)對每個(gè)自然數(shù)n都是最簡分?jǐn)?shù)。

2.設(shè)√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，試在以下3種狀況下分別求出x的實(shí)數(shù)解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是實(shí)數(shù)，已知cosx的二次方程

acos2x+bcosx+c=0,

試用a,b,c作出一個(gè)關(guān)于cos2x的二次方程，使它的根與原來的方程一樣。當(dāng)a=4,b=2,c=-1時(shí)比較cosx和cos2x的方程式。

4.試作一直角三角形使其斜邊為已知的c，斜邊上的中線是兩直角邊的幾何平均值。5.在線段AB上任意選取一點(diǎn)M，在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，這兩個(gè)正方形的外接圓的圓心分別是P、Q，設(shè)這兩個(gè)外接圓又交于M、N，

(a.)求證AF、BC相交于N點(diǎn)；

（b.)求證不管點(diǎn)M如何選取直線MN都通過一定點(diǎn)S；(c.)當(dāng)M在A與B之間變動(dòng)時(shí)，求線斷PQ的中點(diǎn)的軌跡。

6.兩個(gè)平面P、Q交于一線p，A為p上給定一點(diǎn)，C為Q上給定一點(diǎn)，并且這兩點(diǎn)都不在直線p上。試作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一個(gè)內(nèi)切圓，并且頂點(diǎn)B、D分別落在平面P和Q上。

第2屆IMO

1.找出所有具有以下性質(zhì)的三位數(shù)N：N能被11整除且N/11等于N的各位數(shù)字的平方和。

2.尋覓使下式成立的實(shí)數(shù)x：

4x2/(1-√(1+2x))2=4√3A.

并求出等號何時(shí)成立。

3.解方程cosnx-sinnx=1,其中n是一個(gè)自然數(shù)。

4.P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求證AP/PD,BP/PE,CP/PF中至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不小于2。

5.作三角形ABC使得AC=b,AB=c，銳角AMB=?,其中M是線斷BC的中點(diǎn)。求證這個(gè)三角形存在的充要條件是

btan(?/2)1/2.

3.正方體ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分別是上下底）。一點(diǎn)x沿著正方形ABCD的邊界以方向ABCDA作勻速運(yùn)動(dòng)；一點(diǎn)Y以同樣的速度沿著正方形B'C'CB的邊界以方向B'C'CBB'運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)X、Y在同一時(shí)刻分別從點(diǎn)A、B'開始運(yùn)動(dòng)。求線斷XY的中點(diǎn)的軌跡。

4.解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。

5.在圓K上有三個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C。試在K上再作出一點(diǎn)D使得這四點(diǎn)所形成的四邊形有一個(gè)內(nèi)切圓。

6.一個(gè)等腰三角形，設(shè)R為其外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑為r，求證這兩個(gè)圓的圓心的距離是√(R(R-2r))。

7.求證：正周邊體有5個(gè)不同的球，每個(gè)球都與這六條邊或其延長線相切；反過來，假使一個(gè)周邊體有5個(gè)這樣的球，則它必然是正周邊體。

第5屆IMO

1.找出以下方程的所有實(shí)數(shù)根（其中p是實(shí)參數(shù)）：

√(x2-p)+2√(x2-1)=x.

2.給定一點(diǎn)A及線斷BC，設(shè)空間中一點(diǎn)P使得存在線段BC上有一點(diǎn)X滿足角APX是直角，試求出所有這樣的點(diǎn)P的軌跡。

3.在一個(gè)n邊形中，所有內(nèi)角都相等，邊長依次是

a1>=a2>=...>=an，

求證：所有邊長都相等。

4.設(shè)y是一個(gè)參數(shù)，試找出方程組xi+xi+2=yxi+1(i=1,...,5)的所有解x1,...,x5。5.求證

cospi/7-cos2pi/7+cos3pi/7=1/2.

6.五個(gè)同學(xué)A、B、C、D、E參與競賽，一種猜測說比賽結(jié)果的名次仍舊是ABCDE。但是實(shí)際上沒有一位同學(xué)的名次被猜中，而且預(yù)計(jì)中名次相鄰的同學(xué)也沒有真的相鄰（例如，C、D兩位同學(xué)名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一種）。還有一種