第06講 向量法求空間角（含探索性問題）（解析版）

第06講向量法求空間角1．異面直線所成的角設異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).一．異面直線所成的角例1．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點．（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，計算得，即可證明結論；（2）先求出，再利用向量夾角公式即可得出.【詳解】（1）由題意在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，．因為為中點，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以與所成角的余弦值為．【點睛】本題考查了異面直線所成的角、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．例2．如圖所示，設有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側面積為，為中點，．(1)求圓錐的體積；(2)求異面直線與所成角．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由圓錐側面積公式可求得母線長，進而得到圓錐的高，利用圓錐體積公式可求得結果；（2）解法一：取邊上中點，由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質得，由此可得結果；解法二：取圓弧中點，連結，以為坐標原點可建立空間直角坐標系，由向量運算可得，知，由此可得結果.【詳解】（1）設圓錐母線長為，，，即，圓錐的高，.（2）解法一：取邊上中點，連結，，，是的中位線，；垂直于底面，垂直于底面，；，為中點，，即；，平面，平面，又平面，，即異面直線與所成角為.解法二：取圓弧中點，連結，則；以為坐標原點，的正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，即，異面直線與所成角為.【復習指導】：(1)求異面直線所成角的思路：①選好基底或建立空間直角坐標系．②求出兩直線的方向向量v1，v2.③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．(2)兩異面直線所成角的關注點：兩異面直線所成角的范圍是θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角．二．直線與平面所成的角例3．如圖，在多面體中，已知是正方形，，平面分別是的中點，且．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由其性質定理即可得到證明；（2）根據(jù)題意，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算即可得到結果.【詳解】（1）如圖，設是的中點，連接．為的中點，．又平面平面，平面．同理可得，平面．平面，∴平面平面．又平面，平面．（2）平面平面，．以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則，，，設平面的一個法向量為．由得令，得，設與平面所成角為，則．∴直線與平面所成角的正弦值為例4．已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）的各條棱長均為2，且有．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理證明即可；（2）應用空間向量法求線面角正弦即得.【詳解】（1）連接AC和，由底面是菱形得，由與全等，得為的中點，又平面，平面，平面，

又平面平面平面．（2）以為x軸，以為y軸，以過O與底面垂直的直線為z軸，建立如圖空間坐標系，則

過A作底面的垂線，垂足為H，由為正三棱錐知H為的重心，設，由，得，

又取平面的法向量為，設直線與平面所成角為，則∴直線與平面所成角的正弦值為．【復習指導】：(1)利用向量求直線與平面所成的角有兩個思路：①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)．②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．(2)若直線l與平面α的夾角為θ，直線l的方向向量l與平面α的法向量n的夾角為β，則θ＝eq\f(π,2)－β或θ＝β－eq\f(π,2)，故有sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|l·n|,|l||n|).三．平面與平面的夾角例5．如圖，已知六面體ABCDPE的面ABCD為梯形，，，，，棱平面ABCD，，，，F(xiàn)為PD的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析；(2)；【詳解】（1）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以設平面的法向量為，則，令，解得，故，又，又平面,所以平面.（2）由(1)得設平面的法向量為，則，令，解得，故，設平面的法向量為，則，令，解得，故，所以，又二面角為鈍角，故二面角的大小為.例6．如圖，平面四邊形為矩形，平面，平面，．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證平面和，由線面垂直的判定定理證明平面，再得到面面垂直即可.（2）建立適當空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，取的中點，并連接，根據(jù)條件，易知四邊形為正方形，且，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，又平面平面，因為四邊形為矩形，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標，設，則，所以，設平面的法向量為，則，所以，令，解得，所以，設平面的法向量為，則，所以，令，解得，所以，所以，又因為平面與平面夾角為鈍角，所以平面與平面夾角的余弦值為.【復習指導】：(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．(2)利用向量法求二面角的大小的關鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：①求平面的垂線的方向向量．②利用法向量與平面內(nèi)兩個不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解．四．立體幾何中的探索性問題例7．已知正方形的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點M在線段AB上．(1)若M為AB的中點，且直線MF與由A，D，E三點所確定平面的交點為O，試確定點O的位置，并證明直線OD∥平面EMC；(2)是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角M－EC－F的余弦值，若不存在，說明理由．【詳解】(1)因為直線MF?平面ABFE，故點O在平面ABFE內(nèi)也在平面ADE內(nèi)，所以點O在平面ABFE與平面ADE的交線上(如圖所示)，因為AO∥BF，M為AB的中點，所以△OAM≌△FBM，所以OM＝MF，AO＝BF，所以點O在EA的延長線上，且AO＝2，連接DF交EC于N，因為四邊形CDEF為矩形，所以N是EC的中點，連接MN，因為MN為△DOF的中位線，所以MN∥OD，又因為MN?平面EMC，OD?平面EMC，所以直線OD∥平面EMC.(2)由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE，取AE的中點H為坐標原點，以AH，DH所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以E(－1,0,0)，D(0,0，eq\r(3))，C(0,4，eq\r(3))，F(xiàn)(－1,4,0)，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1,4，eq\r(3))，設M(1，t,0)(0≤t≤4)，則eq\o(EM,\s\up6(→))＝(2，t,0)，設平面EMC的法向量m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EM,\s\up6(→))＝0，,m·\o(EC,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋ty＝0，,x＋4y＋\r(3)z＝0，))取y＝－2，則x＝t，z＝eq\f(8－t,\r(3))，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－2，\f(8－t,\r(3))))，因為DE與平面EMC所成的角為60°，所以eq\f(8,2\r(t2＋4＋\f(8－t2,3)))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(2\r(3),\r(t2－4t＋19))＝eq\f(\r(3),2)，所以t2－4t＋3＝0，解得t＝1或t＝3，所以存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°，取ED的中點Q，因為EF⊥平面ADE，AQ?平面ADE，所以AQ⊥EF，又因為AQ⊥DE，DE∩EF＝E，DE，EF?平面CEF，所以AQ⊥平面CEF，則eq\o(QA,\s\up6(→))為平面CEF的法向量，因為Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(\r(3),2)))，A(1,0,0)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0，－\f(\r(3),2)))，m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－2，\f(8－t,\r(3))))，設二面角M－EC－F的大小為θ，所以|cosθ|＝eq\f(|\o(QA,\s\up6(→))·m|,|\o(QA,\s\up6(→))|·|m|)＝eq\f(|2t－4|,\r(3)\r(t2＋4＋\f(8－t2,3)))＝eq\f(|t－2|,\r(t2－4t＋19))，因為當t＝2時，cosθ＝0，平面EMC⊥平面CDEF，所以當t＝1時，θ為鈍角，所以cosθ＝－eq\f(1,4).當t＝3時，θ為銳角，所以cosθ＝eq\f(1,4).例8．如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如圖2.(1)求證：A1E⊥平面BCDE；(2)求二面角E－A1D－B的余弦值；(3)在線段BD上是否存在點P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求eq\f(BP,BD)的值；若不存在，說明理由．【詳解】(1)證明因為A1D⊥BE，DE⊥BE，A1D∩DE＝D，A1D，DE?平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE，因為A1E?平面A1DE，所以A1E⊥BE，又因為A1E⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BCDE，所以A1E⊥平面BCDE.(2)解以E為原點，分別以EB，ED，EA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(0，eq\r(3)，0)，A1(0,0,1)，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，設平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))＝－x＋z＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)y＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝z，,x＝\r(3)y，))令y＝1，得n＝(eq\r(3)，1，eq\r(3))，因為BE⊥平面A1DE，所以平面A1DE的法向量eq\o(EB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，cos〈n，eq\o(EB,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(EB,\s\up6(→)),|n|·|\o(EB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)，因為所求二面角為銳角，所以二面角E－A1D－B的余弦值為eq\f(\r(21),7).(3)解假設在線段BD上存在一點P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，設P(x，y，z)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，則(x－1，y，z)＝λ(－1，eq\r(3)，0)，所以P(1－λ，eq\r(3)λ，0)，所以eq\o(EA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(EP,\s\up6(→))＝(1－λ，eq\r(3)λ，0)，設平面A1EP的法向量m＝(x1，y1，z1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EA1,\s\up6(→))＝z1＝0，,m·\o(EP,\s\up6(→))＝1－λx1＋\r(3)λy1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z1＝0，,1－λx1＝－\r(3)λy1，))令x1＝eq\r(3)λ，得m＝(eq\r(3)λ，λ－1,0)，因為平面A1EP⊥平面A1BD，所以m·n＝3λ＋λ－1＝0，解得λ＝eq\f(1,4)∈[0,1]，所以在線段BD上存在點P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且eq\f(BP,BD)＝eq\f(1,4).【復習指導】：對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論則否定假設．1．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面角的正弦值等于線與面法向量夾角余弦值的絕對值求解即可.【詳解】令直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的夾角為，，，.故選：C2．在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.利用向量法求解.【詳解】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，.所以,.設直線與夾角為，則.故選：C.3．如圖，在正方體中，E為棱上一點且，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以點D為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】以點D為原點，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設，則，所以，設平面的法向量為，則即令，則，所以，設直線與平面所成角為，所以．故選：D．4．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動點，則當線段最短時，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，其中，寫出向量的坐標，利用二次函數(shù)的基本性質求出當取最小值時的值，求出點的坐標，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，所以，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設，其中，，所以，，當且僅當時，即當點為線段的中點時，取最小值，此時點，則，，，因此，當線段最短時，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.5．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】在直三棱柱中，，所以，即，又平面，平面，所以，，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B6．在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，利用坐標法求線面夾角.【詳解】如圖所示，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，設直線與平面所成的角為，所以，故選：B.7．在三棱錐中，兩兩垂直，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將三棱錐放在一個長方體中，建立空間直角坐標系，求出向量，代入夾角公式即可求解.【詳解】依題意，把三棱錐放在長方體中，如圖所示：因為，以為空間直角坐標系原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則有：，，，，所以，，所以.故選：D.8．如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用數(shù)量積運算及夾角公式計算即可【詳解】設，則，因為，所以，所以，所以，化簡得，所以，所以，即的余弦值為.故選：C.9．已知點是平行四邊形所在平面外的一點，，，，為線段的中點，為線段的中點，則（

）A．直線與直線所成角的余弦值為 B．是平面的法向量C． D．【答案】C【分析】選項A利用空間向量夾角公式計算即可，B選項利用法向量性質判斷即可，選項C畫出利用三角形的中位線判斷即可，選項D，利用向量垂直的條件判斷即可.【詳解】因為，，所以，故A錯誤；因為平面PAB，且，所以不是平面PAB的法向量，故B錯誤；連接，如圖所示：因為為線段的中點，為線段的中點，又為平行四邊形的對角線，所以為線段的中點所以是的中位線，所以，即，故C正確；因為，，所，故不成立，故D錯誤.故選：C.10．如圖，過邊長為1的正方形ABCD的頂點A作線段平面AC，若EA＝1，則平面ADE與平面BCE所成的二面角的大小是（

）A．120° B．45° C．150° D．60°【答案】B【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后求出平面與平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可．【詳解】以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設平面BCE的法向量為，則，即，令，則，故取，又平面的一個法向量為，所以，又平面與平面所成的二面角的大小為銳角，所以平面與平面所成的二面角的大小是45°．故選：B．11．在平行四邊形中，角，將三角形沿翻折到三角形，使平面平面.記線段的中點為，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理，則，，，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法解決線面角問題.【詳解】，由余弦定理，，則，，，平面平面，，，以為原點，所在直線為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，則有，令，有，，即，，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A12．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，為的中點，則面與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得面與直線所成角的余弦值.【詳解】因為平面，四邊形為矩形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，，所以，，因此，面與直線所成角的余弦值為.故選：D.13．如圖，在多面體中，側面四邊形，，是三個全等且兩兩垂直的正方形，平面平面，是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，作圖構建正方體，建立空間直角坐標系，求直線的方向向量與平面，的一個法向量，結合空間向量的夾角公式求直線與平面所成角的正弦值【詳解】由題知，多面體是從正方體中截去三棱錐后所得的幾何體.如圖，以為坐標原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2，則，，所以，，設平面的法向量為，，則，故取，則，，是平面的一個法向量，又，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.14．如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】建立空間坐標系，設棱柱高為，求出平面的法向量，令，求出的值．【詳解】以為原點，以，，為坐標軸建立空間坐標系如圖所示，設，則，，，故，，，設平面的一個法向量為，則，可取，故，又直線與平面所成角的正弦值為，，解得．故選：D15．在三棱錐中，面ABC，，，且，若G為△PAB的重心，則CG與平面ABC所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量求解CG與平面ABC所成角的正弦值.【詳解】因為G為重心，故，從而，．即．，則．注意到平面ABC的法向量即，因此CG與平面ABC所成角的正弦值即為．故選：D．16．如圖，在四面體ABCD中，，，若，，，，則平面ABD與平面CBD的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，結合空間向量的數(shù)量積的定義及運算律可求得，即可得結果.【詳解】設平面ABD與平面CBD的夾角為，由題意可得：，∵，則，即，解得，由，可得，故平面ABD與平面CBD的夾角為.故選：C.17．在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則二面角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別以直線為軸，軸，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算即可得到結果.【詳解】分別以直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，，，，，∴，，設為平面的一個法向量，由，取，則，取平面的一個法向量，設二面角為，則，∴．故選:C18．已知梯形如圖（1）所示，其中，為線段的中點，四邊形為正方形，現(xiàn)沿進行折疊，使得平面平面，得到如圖（2）所示的幾何體．已知當上一點滿足時，平面平面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構建以A為原點，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，由題設標注相關點的坐標，進而求平面、平面的法向量，根據(jù)空間向量垂直的坐標表示求參數(shù).【詳解】由題意，可構建以A為原點，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，所以，則，，若是面一個法向量，則，可得，若是面一個法向量，則，可得，由面面，所以有，解得，故選：C.19．如圖，在直三棱柱中，，，，點D是棱的中點，則平面與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建系，求兩平面的法向量，利用空間向量解決面面夾角問題.【詳解】如圖，以C為坐標原點建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量，∵，則，令，則，∴，同理可得：平面的法向量，故，設平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成角的正弦值.故選：B.20．已知菱形中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】采用建系法，設中點為，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，由向量夾角的余弦公式即可求解.【詳解】因為平面平面，設中點為，，則平面，，故以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，設菱形邊長為2，則，，，顯然是平面的一個法向量，設平面的法向量為，則滿足，即，令，可得，故，則，即二面角的余弦值為.故選：D21．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角A-PC-B的余弦值為__________．【答案】/【分析】建立空間直角坐標系，分別計算平面APC與平面PBC的法向量，然后利用公式計算即可.【詳解】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標系：，，，，所以，，，.設平面APC的法向量為，∴不妨設，則，設平面PBC的法向量為，∴不妨設，則，，設為，則.故答案為：22．已知E?F?G?H分別是正方體，邊AB，CD，，的中點，則異面直線EH與GF所成角的余弦值為___________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量線性運算的性質，結合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】，，設該正方體的棱長為，顯然，于是有，所以，，所以，因此異面直線EH與GF所成角的余弦值為，故答案為：23．手工課可以提高學生的動手能力、反應能力、創(chuàng)造力，使學生在德、智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展，某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形，其直觀圖如圖所示，，，P，Q，M，N分別是棱AB，，，的中點，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是______．【答案】【分析】以為原點建立空間直角坐標系，求出，利用向量關系即可求出.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，因為，，所以可得，所以，所以，所以異面直線PQ與MN所成角的余弦值是.故答案為：.24．在菱形ABCD中，，將沿BD折疊，使平面ABD⊥平面BCD，則AD與平面ABC所成角的正弦值為___________.【答案】【分析】根據(jù)面面垂直的性質定理、線面垂直的性質定理及題意，可證，，，如圖建系，求得各點坐標，進而可得坐標，即可求得平面ABC的法向量，根據(jù)線面角的向量求法，即可得答案.【詳解】取BD中點O，連接AO、CO，因為，所以、為等邊三角形，因為O為BD中點，所以，因為平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，平面ABD，所以平面BCD，又平面BCD，所以，，以O為原點，OC、OD、OA為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，設菱形ABCD的邊長為2，則所以，設平面ABC的法向量，則，即，令，則，即，設AD與平面ABC所成角為，則，所以AD與平面ABC所成角的正弦值為.故答案為：25．已知三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側棱長為2，D為的中點，若，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【分析】利用空間向量即可得解.【詳解】由題意，,,所以，，，所以故答案為：.26．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，且，若，，則二面角A-PB-C的余弦值為______．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，結合二面角的空間向量的坐標計算公式即可求出結果.【詳解】在平面內(nèi)作，垂足為，因為，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.所以，，，.所以，，，.設是平面的法向量，則即可取.設是平面的法向量，則即可取.則，由圖可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.故答案為：.27．如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點.設D是線段上的（包括兩個端點）動點，當直線與所成角的余弦值為，則線段的長為_______.【答案】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設，利用空間向量法計算異面直線所成角的余弦值，即可得到方程，解得，從而得解．【詳解】解：如圖以為坐標原點建立空間直角坐標系：則設，則，設直線與所成角為所以，即，解得或（舍去），所以，故答案為：．28．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為________.【答案】【分析】由已知，根據(jù)題意建立空間直角坐標系，分別表示出各點坐標，然后通過異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，即可列式計算.【詳解】以D為原點，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以,,所以，所以，解得或（舍去）.故答案為：.29．如圖所示，點、、分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，，平面的一個法向量為，平面與平面的夾角為，則________.【答案】【分析】分析可知平面的一個法向量為，利用空間向量法可求得的值.【詳解】由題意可知，平面的一個法向量為，所以，.故答案為：.30．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列結論正確的是___________.①直線平面，②三棱錐的體積為定值，③異面直線與所成角的取值范圍是④直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】①②④【分析】對于①，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質定理進行判斷，對于②，利用線面平行的判定定理，得到∥平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計算方法，即可進行判斷，對于③，利用異面直線所成角的計算方法判斷，對于④，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.【詳解】對于①，連接，則，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為，平面，所以平面，所以①正確，對于②，因為∥，平面，平面，所以∥平面，因為點在線段上運動，所以點到平面距離為定值，因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以②正確，對于③，連接，因為∥，所以異面直線與所成角即為與所成的角，因為，所以為等邊三角形，所以當點位于點或點時，與所成的角為，當點位于的中點時，，此時與所成的角為，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以③錯誤，對于④，如圖，以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，當時，直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為，所以④正確，故答案為：①②④31．如圖：在多面體中，底面是正方形，，．底面．(1)證明：平面．(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，交于點，取的中點，連接，，證得，，得到四邊形是平行四邊形，得出，進而證得平面；（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，求得則，，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)證明：如圖（1），連接，交于點，取的中點，連接，，因為底面是正方形，所以是的中點，所以，，又由，，所以，，故四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面，平面，所以平面．(2)解：以點為坐標原點，建立如圖（2）所示的空間直角坐標系，設，則，則，，設異面直線與所成角的大小為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為．32．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，半徑為．（1）設圓錐的母線長為，求圓錐的體積；（2）設，、是底面半徑，且，為線段的中點，如圖．求異面直線與所成的角的余弦值．【答案】(1);(2).【分析】（1）由圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長為4能求出圓錐的體積．（2）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線PM與OB所成的角．【詳解】（1）∵圓錐的頂點為，底面圓心為，半徑為，圓錐的母線長為，∴圓錐的體積．（2）∵，，是底面半徑，且，為線段的中點，∴以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，，，設異面直線與所成的角為，則．∴異面直線與所成角的余弦值為．【點睛】求空間兩條異面直線所成角的大小是立體幾何中最為常見的基本題型之一。這類問題的求解一般有兩條途徑：其一是平移其中的一條直線或兩條直線，將其轉化為共面直線所成角，然后再構造三角形，通過解三角形來獲得答案；其二是建立空間直角坐標系，借助空間向量的數(shù)量積公式，求出兩向量的夾角的大小來獲解.33．如圖，三棱錐的底面為等腰直角三角形，，，，．，分別為，的中點，平面，點在線段上．(1)求證：面面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線線垂直（，）證明線面垂直（平面），再證明面面垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解即可.【詳解】（1）在中，∵，分別為，的中點，∴，，∵，∴，即，∵平面，平面，平面，∴，，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴.∴在直角中，，∵，，在中，由余弦定理，又∵，，∴，∴，即.又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）∵為等腰直角三角形，為中點，∴，又∵平面ABC，∴以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖，則由已知，，，∴，，，，，∴，∴，∴.又∵，∴設平面的一個法向量，則，令，則，，∴，由∵，設直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.34．如圖，已知直三棱柱中，，為中點，，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，完成以下問題：(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)證明詳見解析(2)條件選擇見解析，直線與平面所成角的正弦值為【分析】（1）若選①，則通過證明平面來證得.若選②，則先證明，然后通過證明平面來證得.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）若選擇條件①:，連接，在直三棱柱中，平面，平面，所以.在三角形中，，為的中點，所以，由于，平面，所以平面，由于平面，所以，由于，，平面，所以平面，由于平面，所以.若選擇條件②：，連接，由于是中點，所以，根據(jù)直三棱柱的性質可知，由于平面，所以平面，由于平面，所以.由于，所以，所以，則，則，由于，平面，所以平面，由于平面，所以.（2）先得到:若選①，則在中，由，得，又，所以，.若選②，則.在三角形中，，所以，所以，根據(jù)直三棱柱的性質可知，，以點為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線與平面所成角為，則.35．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，，垂足為.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，由直線的方向向量與平面的法向量垂直及線面平行的條件得證；（2）由空間向量法求線面角；（3）由空間向量法求二面角．【詳解】（1）如圖，以A為坐標原點，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則解得，令，得.因為，所以.又平面，所以平面.（2）設，則.因為，所以.即，解得，所以.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設平面的一個法向量為，則解得令，得.因為，所以.所以平面與平面夾角為.36．如圖，在直三棱柱中，，點D是的中點，點E在上，平面.(1)求證：平面平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）取中點，連接、，由三角形的中位線定理可得，進而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由線面垂直的性質可得平面，從而推出平面，再由面面垂直的性質即可證明；（2）由（1）知平面，當三棱錐的體積最大時，設出，結合立體幾何的體積公式，和基本不等式可求出，建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結合向量的夾角與線面角的關系，即可求解.【詳解】（1）取中點，連接、，如圖所示：，點是的中點，，又是的中點，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由（1）知平面，則，設，則，，，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立，即三棱錐的體積最大，此時，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則有，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則有，取，解得，設直線與平面所成的角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.37．如圖所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD為菱形，，，E為線段上一點.(1)求證：；(2)若平面與平面ABCD的夾角的余弦值為，求直線BE與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，利用線面垂直的判定定理和性質即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的性質可得，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求出平面的法向量，由題意和向量的數(shù)量積的定義求出點E的坐標，結合線面角的定義即可求解.【詳解】（1）連接，底面為菱形，.又平面平面.又面，平面.又平面.（2）設的中點為，連接，如圖：為等邊三角形，，又，則.又平面，則.以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，設平面的一個法向量為，令，則.又平面的一個法向量為，則.又平面與平面的夾角的余弦值為，，，，.直線與平面所成角的正弦值為.38．如圖，四棱錐的底面是梯形．，，，．(1)證明：；(2)求平面APB和平面APC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析．(2)．【分析】（1）取中點，證明是等邊三角形，得出，連接交于，得是中點，再由，得平面，從而得證線線垂直；（2）證明，然后建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求兩平面所成的角．【詳解】（1）取中點，連接，，由題意可知，，，所以是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，所以是等邊三角形，，連接交于，連接，，由，得，所以，即且是中點，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知，，又，，，所以，即兩兩垂直，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，設平面的一個法向量是，則，取，則，顯然平面的一個法向量是，所以，所以平面APB和平面APC所成角的正弦值為．39．如圖所示，在直角三角形中，，，，，將沿折起到的位置，使平面平面，點滿足.(1)證明：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）證明出平面，在上取一點，使得，連接、，證明出平面平面，可得出平面，再利用線面垂直的性質可證得結論成立；（2）推導出平面，然后以點以為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在直角三角形中，因為，，所以，即在四棱錐中，，，又因為，、平面，所以，平面，所以，平面，如圖，在上取一點，使得，連接、.因為，所以，所以，又因為，所以四邊形是矩形，所以.因為平面，平面，所以，平面，在中，，，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，、平面，所以，平面平面，所以平面，因為平面，故.（2）解：因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，故以為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，則、、、，所以，.設平面的法向量為，則，令，得.設平面的法向量為，，，則，取，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.40．如圖，四面體，為上的點，且與平面所成角為，(1)求三棱錐的體積；(2)求二面角的余弦值.【分析】（1）取中點，可證明平面，得平面平面，在平面內(nèi)的射影就是直線，是與平面所成的角，即，由正弦定理求得，有兩個解，在時可證平面，在時，取中點證明平面，然后由棱錐體積公式計算體積；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）取中點，連接，因為，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以，由已知，，所以，，，由平面，平面得平面平面，因此在平面內(nèi)的射影就是直線，所以是與平面所成的角，即，，因此，在中，由正弦定理得，，為內(nèi)角，所以或，，，若，則，即，，平面，所以平面，；若，則，，取中點，連接，則，因為平面平面，平面平面，而平面，所以平面，，所以；（2）若，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以點坐標為，，，，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，，所以二面角的余弦值是；若，以為軸，為軸，過且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，，，，，，所以點坐標為，，，，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，，所以二面角的余弦值是．41．如圖，在三棱錐中，平面，，，?分別為的中點.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.【分析】（1）建立空間直角坐標系，得到各點坐標，確定是平面的一個法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.（2）平面的一個法向量，是平面的一個法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）建立如圖空間直角坐標系，可得點的坐標，故，是平面的一個法向量，設直線與平面所成角的大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.（2）設是平面的法向量，,，即，不妨取，得到平面的一個法向量，，平面與平面所成二面角為銳角，故平面與平面所成的二面角余弦值是.42．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，，M為BC的中點．(1)證明：AM⊥平面PBD；(2)求二面角P－AM－D的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)邊長之間的關系得到，然后利用線面垂直的性質得到，再利用線面垂直的判定即可得證；（2）結合題意，建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式進而求解.【詳解】（1）因為為的中點，，又四棱錐的底面是矩形，，，，又，，底面，底面，，又，且，平面，平面．（2）平面，又，平面，，，又四棱錐的底面是矩形，，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，平面，平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令，可得，二面角P－AM－D的余弦值為：，故二面角P－AM－D的正弦值為.43．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為等腰梯形，且，，平面ABCD，，．(1)求證：．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由平面PAC；（2）過點作交AD于點E，則，．以為坐標原點，OC，OE，OP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖，利用平面的法向量可求出結果.【詳解】（1）證明：因為底面ABCD為等腰梯形，且，，所以．又因為，所以．因為，，所以由余弦定理，得，所以，所以．因為平面ABCD，平面ABCD，所以．因為，平面PAC，所以平面PAC．因為平面PAC，所以．（2）過點作交AD于點E，則，．以為坐標原點，OC，OE，OP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖．因為，所以，，，所以，，，．所以，，，，所以，．設平面PAB的一個法向量為，則，令，則，，所以．設平面ACB的一個法向量為，則，令，則，，所以．所以．由題圖知，二面角為鈍二面角，所以其余弦值為．44．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面，點為線段上一點，且.(1)證明：平面；(2)若，，且三棱錐的體積為18，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）過點作于點，由面面垂直、線面垂直的性質定理可得，，再由線面垂直的判定定理可得答案；（2）由體積求出，以為原點，分別以為軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量，由二面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）過點作于點，因為平面平面，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，則，又因為平面，所以平面；（2）由（1）知平面平面，得，又，所以，以為原點，分別以為軸、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，又因為，所以，，，設是平面的一個法向量，則，即，所以可取，設是平面的一個法向量，則即，所以可取，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.45．在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點，為的中點，為的中點.(1)證明：平面.(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可證結論正確；（2）以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量可求出結果.【詳解】（1）證明：因為是的中位線，所以.因為平面平面，所以平面.（2）以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則點，，，，，.設平面的一個法向量為，則，取，得，，則.設平面的法向量為，因為，所以，得，取，得，則，所以，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.46．如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（1）根據(jù)已知關系證明，得到，結合等腰三角形三線合一得到垂直關系，結合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標系，結合線面角的運算法則進行計算即可.【詳解】（1）因為，E為的中點，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點，所以；又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，所以，當時，最小，即的面積最小.因為，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點，所以，，因為，所以,在中，，所以.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.47．已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證