博弈論視角的風格與行業(yè)輪動分析報告

僅供機構投資者使用證券研究報告|金融工程專題報告組合配置新思路——博弈論視角的風格與行業(yè)輪動2023年3月5日1博

弈

論

基

本

概

念2非

合

作

博

弈

與

納

什

均

衡3合

作

博

弈

與

Sha

pley值4實

踐

—

風

格

與

行

業(yè)

輪

動21博弈論基本概念3博弈論基本概念?

博弈論使用數(shù)學模型研究博弈參與者(或稱決策者)之間的競爭與合作，博弈論可以應用于政治、經(jīng)濟、社會、生物等諸多領域。博弈論的研究目標是幫助參與者理性決策，以找到?jīng)Q策的最優(yōu)解、達到收益最大化。?

每個博弈中要求至少有2個參與者，每個參與者至少有2個決策選項，參與者既可以是單個個體，也可以是單個個體形成的聯(lián)盟。?

本文的研究對象不是投資者之間的博弈，因為投資者行為無法定量刻畫；本文研究對象是證券之間、證券和市場之間的博弈，例如特定證券和組合希望在博弈中戰(zhàn)勝市場。通過計算博弈參與者使用各種策略的概率，相應就得到了組合中的資產(chǎn)權重。?

接下來我們結(jié)合大盤成長、大盤價值、小盤成長、小盤價值4個風格輪動的具體投資問題，對博弈論基本概念做進一步說明。4博弈論概念與風格輪動博弈論基本概念基本概念解釋以風格輪動投資為例合作博弈中，大盤風格、小盤風格是兩個參與者，它們通過協(xié)作提升聯(lián)盟的收益參與者(player)博弈的決策主體非合作博弈中，大盤風格與市場基準博弈，大盤風格希望戰(zhàn)勝市場基準；同理小盤風格也會與市場基準進行博弈大盤風格和小盤風格各有兩個策略：成長或價值，例如大盤風格可以使用大盤成長和大盤價值兩種策略策略(strategy)參與者的行動規(guī)則市場基準有三個策略：牛市、熊市、震蕩市參與者在博弈中的知識，特

如果市場基準知道大盤風格選擇的策略，那么市場基準(有關別是有關其他參與者的

大盤風格)的信息就是{成長}或{價值}參與者從博弈中獲得的收益

假設大盤風格選擇成長策略，市場基準選擇牛市策略，此時信息(information)支付函數(shù)(payoff)結(jié)果(outcome)或效用水平大盤風格相對市場基準的超額收益/效用/其他度量博弈參與者在某種策略組合

假設大盤風格選擇成長，市場基準選擇牛市，此時大盤風格下產(chǎn)生的結(jié)果收

益1為，市場基準的收益為-1，則(1，-1)就是一個結(jié)果均衡(equilibrium)博弈達到的穩(wěn)定狀態(tài)，沒有參與者愿意單獨改變策略具體可見下文對納什均衡的介紹資料：華西證券研究所5博弈論中的博弈分類根據(jù)不同的分類標準，可以將博弈論研究的博弈分為以下幾個類型：?

零和博弈(Zero

SumGame)

VS

非零和博弈(Non-ZeroSumGame)零和博弈是指一個參與者的收益與其他參與者的損失(負收益)相等；而在非零和博弈中，全部參與者的收益之和并不等于0。?

靜態(tài)博弈(Simultaneous

Game)

VS

動態(tài)博弈(Sequential

Game)靜態(tài)博弈是指各個參與者同時行動，事先不知道其他參與者的策略；動態(tài)博弈是指參與者采取的策略有先后順序，可以事先知道其他參與者的行動。?

非合作博弈(Non-Cooperative

Game)

VS合作博弈(Cooperative

Game)非合作博弈是指參與者之間存在競爭關系，每個參與者獨自決策，使得自身收益最大化，參與者相關之間沒有達成協(xié)議(contract)；通常所說的博弈一般是指非合作博弈。合作博弈是指參與者結(jié)成聯(lián)盟，爭取聯(lián)盟效用最大化，并在聯(lián)盟內(nèi)部進行分配。合作博弈一般是非零和博弈。6博弈分類博弈分類零和博弈非零和博弈靜態(tài)博弈動態(tài)博弈按收益博弈類型按行動順序按合作協(xié)議非合作博弈合作博弈資料：華西證券研究所7博弈論與投資組合?

之所以能用博弈論解決投資組合問題，是因為兩者有相似之處：

投資者希望自己選擇的證券能夠戰(zhàn)勝市場基準。在非合作博弈中，也可以將每個具體證券、市場基準看做參與者，證券希望在博弈中戰(zhàn)勝市場基準，可將超額收益視為博弈的支付，這與相對收益投資相似。

投資者需要根據(jù)投資組合中各證券的貢獻分配權重，以實現(xiàn)收益最大化。在合作博弈中，將多個具體證券看做參與者，證券之間結(jié)成聯(lián)盟后，根據(jù)參與者貢獻分配權重，以實現(xiàn)聯(lián)盟的最大利益，這與絕對收益投資相似。

在非合作博弈的混合策略納什均衡中，參與者選擇具體策略的概率，與投資中對具體證券權重的確定也有相似性。82非合作博弈與納什均衡9非合作博弈的核心概念——納什均衡?

納什均衡納什均衡是非合作博弈中的核心概念。一個博弈中，如果在其他參與者策略確定的情況下，每一位參與者當前的策略都是最優(yōu)的，參與者沒有動機改變當前策略，這個策略組合就被稱為納什均衡(Nash

Equilibrium)。?

納什均衡定義對于?名參與者的博弈?，記策略空間為?

,

?

…

…

,

?

，參與者?的任一策略?

∈

?

，參與12???者?在博弈中的收益為?

。則在博弈?

=

{?

,

?

…

…

,

?

;

?

,

?

…

…

,

?

}中，由各個參與者?12?12?的各一個策略組成的某個策略組合

??,

…

…

??

中，任意一名參與者?的策略都是對其余1?參與者策略組合

??,

…

?

,

?

,

…

?

的最佳對策，也即???1??1

?+1??????????(1)?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?

≥

?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?????????+?????????+?對任意?

∈

?

和任意參與者?都成立，則稱

??,

…

…

??

為?的一個納什均衡。??1??

納什均衡的特點1.參與者知道對手的策略空間；2.納什均衡僅說明參與者在他所掌握的信息下的最佳選擇，并不代表他能夠獲得最好的回報。10純策略與混合策略納什均衡?

純策略納什均衡如果博弈的參與者只能選擇一種策略，稱為純策略(Pure

Strategy)，達到的納什均衡就是純策略納什均衡。純策略納什均衡并不一定存在。在式(1)中，當?

和?

只表示單一策略時，就是純策略納什均衡。????

混合策略納什均衡如果博弈的參與者可以以某種概率分布隨機地選擇多個策略，稱為混合策略(MixedStrategy)，達到的納什均衡就是混合策略納什均衡。在式(1)中，如果參與者?不再只能選擇單一策略?

∈

?

，而是可以在策略空間?

中以概???率分布σ?選擇多個策略，并且?????????(2)??~?

[?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?

]

≥

?

[?

?

,

…

,

?

,

?

,

?

,

…

,

?

]???????+???~????????+?????表示數(shù)學期望，對任意?

∈

?

和任意參與者?都成立，就是混合策略納什均衡。此時???和??不再表示單一策略，而是以概率分布同時出現(xiàn)的多個策略。11純策略納什均衡——囚徒困境?

在一個博弈中，有2個參與者：{?,

?}，策略空間為：{坦白，抗拒}。?

參與者?,

?的收益矩陣為如下，參與者?參與者策略坦白抗拒坦白(3,3)(5,0)抗拒(0,5)(1,1)?

這個博弈存在純策略納什均衡，納什均衡點為?,

?

均坦白，雙方收益均為3。?

使用nashpy計算納什均衡rps

=

nashpy.Game(np.array([[-3,0],

[-5,-1]]),np.array([[-3,-5],[0,-1]]))eqs=

list(rps.support_enumeration())混合策略納什均衡點計算結(jié)果：[[1,

0],

[1,0]]納什均衡狀態(tài)下的兩個參與者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]]，結(jié)果：[-3,

-3]12混合策略納什均衡——石頭

剪刀

布?

在一個博弈中，有2個參與者：{?,

?}，策略空間為：{石頭，剪刀，布}。?

參與者?的收益矩陣為如下，記為A，參與者?的收益矩陣為-A參與者?策略石頭剪刀布石頭0剪刀1布-11參與者-101-10?

這個博弈不存在純策略納什均衡，因為收益為-1的一方總是能夠改變策略以提高收益。但是這個博弈存在混合策略納什均衡：參與者以各1/3的概率使用三種策略。?

使用nashpy計算納什均衡rps

=nashpy.Game(np.array[[0,1,-1-1],,0[

,1],

-[1,0]]));eqs

=list(rps.support_enumeration())混合策略納什均衡點計算結(jié)果：[[0.3333,

0.3333,

0.3333],

[0.3333,

0.3333,

0.3333]]納什均衡狀態(tài)下的兩個參與者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]]，結(jié)果：[0,

0]13混合策略納什均衡計算?

達到混合策略納什均衡時，每個參與者自身選擇的不同策略具有相同的期望收益。?

在石頭-剪刀-布博弈中，假定參與者A使用石頭、剪刀、布策略的概率分別為?、?、1

??

?

?，參與者B使用石頭、剪刀、布策略的概率分別為?、?、1

?

?

?

?。策略概率參與者??參與者?策略石頭剪刀布?石頭0?剪刀11

?

?

?

?布-11-10?1-101

?

?

?

??

參與者A選擇策略石頭、剪刀、布的期望收益如下，且?=

?=

?

，有：石頭剪刀布?=

0

?

?

+

1

?

?

?

1

?

1

?

?

?

?=

?1

?

?

+

0

?

?

+

1

?

(1

?

?

?

?)石頭??剪刀=

1

?

?

?

1

?

?

+

0

?

(1

?

?

?

?)布?

可以得到?

=

1/3,

?

=

1/3；同理得到?

=

1/3,

?

=

1/3。即參與者以各1/3的概率使用三種策略。143合作博弈與Shapley值15合作博弈基本概念?

合作博弈是指若干參與者結(jié)成聯(lián)盟，共同合作爭取聯(lián)盟效用最大化，并在聯(lián)盟內(nèi)部進行分配。當聯(lián)盟成立后，組成聯(lián)盟的參與者不再關心自己的利益，而是為整個聯(lián)盟的最大利益而努力。?

我們使用

(?,?(?))來定義一個合作博弈，博弈中共有?={1,2,……,?}個參與者，參與者的子集(包括空集和全集)可以任意結(jié)成聯(lián)盟?，?共有2?種組合。?(?):

??

∈?是聯(lián)盟?的收益，也被稱為特征函數(shù)(Characteristic

Function)。?

特征函數(shù)的性質(zhì)

空集的特征函數(shù)為0，即?

?

=0

聯(lián)盟規(guī)模越大，特征函數(shù)(聯(lián)盟收益)越高，這一性質(zhì)被稱為超可加性(Superadditivity)。即對任意?

?

N,

?

?

N,

?

∩

?

=

?，有?

?

+

?

≥

?

?

+

?(?

)。1?1?1?1?以本文風格輪動投資為例，{大盤成長，小盤價值}投資組合可以組成一個聯(lián)盟，這個投資組合的效用(可以是收益率或其他度量指標)就是它們的特征函數(shù)。16合作博弈收益的分配?

合作博弈最大的一個特點是在聯(lián)盟的收益形成后，需要通過協(xié)議在參與者之間分配。我們接下來重點介紹收益的分配，因為在證券投資問題中，分配規(guī)則也決定了如何確定證券的權重，而權重分配是投資策略的最終落腳點。?

對于合作博弈

?,

?

?

，?

=

1,2,

…

,

?

，對每個參與者?

∈

?,

收益分配結(jié)果為實數(shù)??，形成的?維向量為?

=

(?

,

…

…

,

?

)，如果?滿足：??σ?

=

?

?

，??

≥

?

??∈?

?(3)則稱?是聯(lián)盟的一個分配(Allocation)。?

式(3)表明分配有兩個特征：①所有參與者的收益分配之和不能超過全集的收益；②每個參與者通過聯(lián)盟獲得分配的收益不能低于他自身參與博弈應得的收益，即合作的收益不能小于非合作的收益。17收益分配中的核心?

如果一個分配?

=

(?

,

…

…

,

?

)，對于全集?的任意子集?

?

N，都有1?σ

?

≥

?

?(4)?∈?

?則稱?是分配的核心(allocation

inthe

core)。?

分配的核心的含義是：對于結(jié)成的每個聯(lián)盟，分配方案應該使得聯(lián)盟所有參與者的收益之和，不低于他們形成的聯(lián)盟的收益。?

分配的核心——例A某合作博弈有{?,2,3}

共3個參與者，特征函數(shù)值(聯(lián)盟收益)如下表所示：聯(lián)盟?

??(?)?(?)?(?)?(?,

?)?(?,

?)?(?,

?)

?(?,

?,

?)特征函數(shù)值00000111根據(jù)分配的定義、分配的核心的定義，有：?

≥

0,

?

≥

0,

?

≥

0,

?

+

0≥?,

?

+

?

≥

?,

?

+

?

≥

?,

?

+

?

+

?

=

?1??1?

??1?1??可以得到

?

≥

?,

?

≥

0,

?

≥

0，因此分配的核心中只有一個方案：?1??

=

?

,

?

,

?

=

(0,

0,

?)?1?18合作博弈分配規(guī)則——Shapley值?

在例A中，參與者3獲得了全部收益，參與者1、參與者2收益為0。但是根據(jù)特征函數(shù)有?

3

=

0，即參與者3僅依靠自身無法獲得任何收益，因此分配方案并不合理。?

Lloyd

Shapley給出了另一種收益分配規(guī)則，稱為Shapley值。根據(jù)Shapley值，每個參與者應得的收益與他對聯(lián)盟的貢獻正相關，而參與者對聯(lián)盟的貢獻是通過當他在聯(lián)盟中，以及不在聯(lián)盟中時聯(lián)盟的收益差距來衡量的。?

令?為特征函數(shù)值，則合作博弈中參與者?(?

∈

?)的Shapley值??

?

，是從聯(lián)盟收益到參與者獲得分配的映射，計算公式為?

?

?

!

?

?

?

!??

?

=

?[?

?

?

?

?\{?

)](5)?!?∈?其中|?|表示聯(lián)盟?中元素的個數(shù)，?

?

為聯(lián)盟?的收益，?

?\{?

)為聯(lián)盟?中剔除參與者?之后的收益，則[?

?

?

?

?\{?

)]表示參與者?在他所參與的聯(lián)盟?中做出的貢獻，聯(lián)盟???

?

!

?

?1

!存在的概率為。因此參與者

?

獲得的分配等于他對各個聯(lián)盟的邊際貢獻的?!概率加權值。舉例A中3個參與者的Shapley值，即分配結(jié)果為(1/6,1/6,

2/3)。19Shapley值的性質(zhì)?

有效性。所有參與者的Shapley值之和等于全集聯(lián)盟的收益，即

σ

?

?

=

?

??????

對稱性。如果對任意兩個參與者?和?

，以及不含?和?

的聯(lián)盟?

，有?

?

∪

?

=

?(?

∪

?)

，那么有?

?

=

?

?

。???

虛擬參與者。如果參與者?在任何情況下都沒有貢獻，那么其Shapley值為0。即如果對全部?，都有?

?

∪

?

=

?(?)，那么??

?

=

0。?

可加性。對兩個特征函數(shù)?和?，有?

?

+

?

=

?

?

+

?(?)。20Shapley值的計算?

我們計算例A中各參與者的shapley值，特征函數(shù)值如下：聯(lián)盟?

??(?)?(?)?(?)?(?,

?)?(?,

?)?(?,

?)

?(?,

?,

?)特征函數(shù)值00000111(1,

2,

3)3名參與者一共可以形成8種聯(lián)盟結(jié)果，包括空集和全集。其中包含參與者1的聯(lián)盟有4個，分別是(1),

(1,2),

(1,3),

(1,2,3)。這4個聯(lián)盟的特征函數(shù)值分別是{0,0,

1,

1}；當這4個聯(lián)盟中不含參與者1時，特征函數(shù)值分別是{0,0,

0,

1}。則參與者1的Shapley值為：3?1

!

1?1

!3!3?2

!

2?1

!3!3?2

!

2?1

!3!3?3

!

3?1

!3!16?1(?)

=0

?

0

!

+0

?

0

!

+?

?

0

!

+?

?

?

!=12同樣可以計算得到參與者2、參與者3的Shapley值

?

?

=

,

?

?

=

，2363并且有

?

?

+

?

?

+

?

?

=

?(?,

?,

?)。123214實踐—風格與行業(yè)輪動22博弈論方法的風格輪動策略?

本節(jié)使用博弈論框架完成大盤成長、大盤價值、小盤成長、小盤價值4種風格的輪動，同時也給出行業(yè)輪動的初步效果。?

我們通過倒序的方式說明博弈論投資模型的幾個關鍵步驟：

框架最終目標是計算投資組合中的資產(chǎn)權重，這里采用合作博弈中的Shapley值收益分配方法。這是由于兩者原理相同：對聯(lián)盟貢獻越高的參與者，所獲得的收益分配越高；同樣，對投資組合貢獻越大的資產(chǎn)，所獲得的權重分配也越高。

而若要在合作博弈中分配收益，需要先得到特征函數(shù)值，即每個參與者及參與者形成的各個聯(lián)盟的貢獻。這里通過計算每個聯(lián)盟與市場基準的非合作博弈在納什均衡點的收益來實現(xiàn)。

為了計算納什均衡點的聯(lián)盟收益，首先要選擇合適的參與者、參與者策略，建立非合作博弈。23博弈論投資方法框架博弈論投資方法框架特征函數(shù)合作博弈非合作博弈2?個聯(lián)盟與市場的非合作博弈Shapley值納什均衡資產(chǎn)權重資產(chǎn)貢獻資料：華西證券研究所24非合作博弈的建立?

我們首先建立風格資產(chǎn)和市場基準之間的非合作博弈。?

博弈中風格資產(chǎn)參與者有兩個：大盤和小盤；成長、價值分別被視為大盤、小盤參與者的兩種博弈策略，使用巨潮風格指數(shù)表征。大盤、小盤既可以單獨與市場基準博弈，也可以結(jié)成聯(lián)盟后再與市場基準博弈。參與者策略A1指數(shù)代碼399372.SZ399373.SZ399376.SZ399377.SZ指數(shù)名稱大盤成長大盤價值小盤成長小盤價值大盤(A)A2B1小盤(B)B2?

博弈的另一方是市場基準(使用中證全指)，它能夠“選擇”三種策略來博弈：牛市、熊市、震蕩市。?

在參與者大盤、小盤，與參與者市場基準進行的非合作博弈中，大盤、小盤的目標是戰(zhàn)勝市場基準，市場基準的目標則是戰(zhàn)勝大盤、小盤。25非合作博弈的收益度量?

以大盤風格單獨與市場基準博弈為例，這是一個零和博弈，大盤風格的博弈收益就是市場基準的損失。?

在實際的博弈中，策略的選擇依據(jù)自然是參與者對自身策略未來效果的預期，但對于量化模型回測而言，我們需要指定一種可回溯的收益度量方式。這里使用歷史數(shù)據(jù)計算的效用函數(shù)?2?

=

?

?

?(6)2?

具體來說，我們分別計算大盤成長、大盤價值、小盤成長、小盤價值、市場基準，共5個資產(chǎn)各自的效用函數(shù)值，由于是零和博弈，因此前4個資產(chǎn)的效用函數(shù)值分別減去市場基準效用函數(shù)值，得到博弈的收益矩陣。?

以上方法計算的博弈收益可能<0，這將影響Shayley值計算。由于我們關注的是哪個資產(chǎn)的博弈收益相對更高，而不是正或者負，因此可以在收益矩陣中減去收益最小值，將收益矩陣轉(zhuǎn)換為正。26非合作博弈的收益矩陣?

根據(jù)市場基準指數(shù)當前值與歷史均值的關系，將市場狀態(tài)劃分為牛市、熊市、震蕩市。?

在每種市場狀態(tài)內(nèi)，根據(jù)式(6)計算參與者大盤、小盤采用某種策略的效用，以及市場基準采用某種策略的效用，風格資產(chǎn)的收益=

??

?，即收益矩陣的元素。風格基準?

收益矩陣中，每一行表代表風格資產(chǎn)選擇的策略，每一列代表市場基準選擇的策略。策略成長價值成長價值牛市震蕩市熊市0.0042610.00495400.0012850.0031990.0010580.0015630.0006910.0016400.0024490.002795大盤小盤0.00136927非合作博弈的納什均衡(1/2)?

根據(jù)收益矩陣計算納什均衡，有以下要點：計算納什均衡，是為了得到參與者的收益，也就是對投資組合的貢獻。大盤、小盤兩個參與者，可以單獨，也可以結(jié)成聯(lián)盟與市場基準博弈。?

大盤單獨與市場基準博弈時，收益矩陣A1為牛市震蕩市熊市大盤成長大盤價值0.0012850.0031990.0006910.0016400.0042610.004954?

小盤單獨與市場基準博弈時，收益矩陣A2為牛市震蕩市熊市0大盤成長大盤價值0.0010580.0015630.0024490.0027950.00136928非合作博弈的納什均衡(2/2)?

大盤與小盤結(jié)成聯(lián)盟與市場基準博弈時，共有4種組合：(大盤成長,

小盤成長),

(大盤成長,

小盤價值),(大盤價值,

小盤成長),

(大盤價值,

小盤價值)?

此時每種聯(lián)盟博弈的收益為兩個參與者的策略組合之和，收益矩陣A3為：A1A2牛市震蕩市0.003140.0034860.0040890.004435熊市大盤成長,

小盤成長大盤成長,

小盤價值大盤價值,

小盤成長大盤價值,

小盤價值0.0023430.0028480.0042570.0047620.0042610.0056300.0049540.006323?

一般地，如果有?個風格資產(chǎn)參與者，每個參與者?各個有策略，則收益矩陣數(shù)量為??

?

2

?

?個(不含空集)，并且收益矩陣的最大維度為?

×

?，納什均衡計算量以???σ?=1

?超過指數(shù)級的規(guī)模增長，因此對算力有很高要求。29風格資產(chǎn)參與者的Shapley值?

得到A1、A2、A3收益矩陣后，可以分別計算納什均衡點，得到在給定市場基準策略的情況下，風格資產(chǎn)參與者的最優(yōu)策略；對應的收益就是風格資產(chǎn)參與者的最優(yōu)收益，這一結(jié)果可以作為合作博弈中的特征函數(shù)值；再根據(jù)式(5)計算Shapley值，Shapley值占比就是參與者的分配比例，即權重。特征函數(shù)值?

??(大盤)?(小盤)?(大盤，小盤)00.0016400.0013690.004435參與者大盤小盤0.0023530.002082Shapley值參與者權重大盤小盤53.05%46.95%30風格資產(chǎn)參與者的策略權重?

以上計算得到了兩個風格資產(chǎn)大盤、小盤的權重，還需要計算(大盤成長，大盤價值，小盤成長，小盤價值)四個投資標的的權重，即參與者具體策略的權重。?

假定有參與者?,

?,

?，各有?個策略，分別記為?

,

?

,

?

?,

?,

?

∈

(1,2,

…

,

?)

，策略分別???被參與者?,

?,

?單獨選擇的概率為?

,

?

,

?

?,

?,

?

∈

(1,2,

…

,

?)

，三個參與者的Shapley???值占比分別為?

?

,

?

?

,

?

?

，則每個策略在資產(chǎn)聯(lián)盟全集中被選擇的概率為?

?

=