2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測8.2空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系

.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系一、選擇題1.(2024河南名校聯(lián)考,4)已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若α∥β,m∥α,則m∥βB.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥βC.若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α⊥βD.若m⊥α,m∥n,α∥β,則n⊥β答案D對于選項(xiàng)A,若α∥β,m∥α,則m∥β或m?β,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)B,若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β或α與β相交,只有加上條件m與n相交,才有結(jié)論α∥β,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α∥β或α與β相交,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D,若m⊥α,m∥n,則n⊥α,又α∥β,則n⊥β,所以選項(xiàng)D正確.故選D.2.(2024屆昆明摸底,5)設(shè)a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是()A.若a∥α,b∥α,則a∥bB.若a∥α,b⊥α,則a⊥bC.若a∥α,a∥β,則α∥βD.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,則α∥β答案B在A中,若a∥α,b∥α,則a與b相交、平行或異面,故A錯(cuò)誤;在B中,若a∥α,b⊥α,則a⊥b,故B正確;在C中,若a∥α,a∥β,則α與β相交或平行,故C錯(cuò)誤;在D中,若a⊥α,b⊥β,a⊥b,則由面面垂直的判定定理得α⊥β,故D錯(cuò)誤.故選B.3.(2024屆河南中原名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,7)已知平面α,β,γ兩兩垂直,直線a,b,c滿意a?α,b?β,c?γ,則直線a,b,c不行能滿意的關(guān)系是()A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面答案B設(shè)α∩β=l,且l與a,b均不重合,假設(shè)a∥b∥c,由a∥b可得a∥β,b∥α,又α∩β=l,可知a∥l,b∥l,又a∥b∥c,可得c∥l,因?yàn)棣?β,γ兩兩垂直,所以l與γ相交,故l與c相交或異面;若l與a或b重合,同理可得l與c相交或異面,可知假設(shè)不成立,故三條直線不行能兩兩平行,故選B.4.(2024屆西安三校9月聯(lián)考,7)已知直線l?平面α,直線m?平面α,給出下面四個(gè)結(jié)論:①若l與m不垂直,則l與α肯定不垂直;②若l與m所成的角為30°,則l與α所成的角也為30°;③l∥m是l∥α的必要不充分條件;④若l與α相交,則l與m肯定是異面直線.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案A對于①,當(dāng)l與m不垂直時(shí),假設(shè)l⊥α,則肯定能得到l⊥m,這與已知條件沖突,因此l與α肯定不垂直,故①正確;對于②,易知l與m所成的角為30°時(shí),l與α所成的角不肯定為30°,故②不正確;對于③,l∥m可以推出l∥α,但l∥α不能推出l∥m,因此l∥m是l∥α的充分不必要條件,故③不正確;對于④,若l與α相交,則l與m相交或異面,故④不正確.故選A.5.(2024屆合肥8月聯(lián)考,9)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)M,N分別是線段BB1,A1C1的中點(diǎn),若直線B1C1∩平面AMN=Q,則B1A.12B.2C.1答案A延長AN,CC1交于點(diǎn)P,連接PM交B1C1于點(diǎn)Q,則B1QC1Q=B6.(2024屆長春調(diào)研,7)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=1,AA1=2,則異面直線AD1與A1C1所成角的余弦值為()A.22B.23C.3答案D如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,連接AC,CD1,因?yàn)锳1C1∥AC,所以∠D1AC為異面直線AD1與A1C1所成的角(或其補(bǔ)角),由長方體的性質(zhì)及已知可得,AD1=3,AC=6,D1C=7,所以在△ACD1中,由余弦定理的推論可得,cos∠D1AC=AC2+AD12-D1C22AC7.(2024屆湖南永州一中月考)已知α,β,γ是三個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,下列命題為真命題的是()A.若m∥α,m∥β,則α∥βB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m⊥α,n⊥α,則m∥nD.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β答案C對于A,若m∥α,m∥β,則α與β平行或相交,故A中命題是假命題.對于B,若m∥α,n∥α,則m與n平行或異面或相交,故B中命題是假命題.對于C,若m⊥α,n⊥α,則m∥n,垂直于同一平面的兩條直線平行,故C中命題為真命題.對于D,若α⊥γ,β⊥γ,則α與β平行或相交,故D中命題是假命題.故選C.8.(2024屆遼寧師大附中期中,5)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為底面邊長的2倍,M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1和BM所成的角的余弦值為()A.-31020B.-316C.答案C取BB1的中點(diǎn)N,AB的中點(diǎn)K,連接NC1,NK,CK,C1K,可得四邊形BNC1M為平行四邊形,則C1N∥BM,由K為AB的中點(diǎn),N為BB1的中點(diǎn),可得NK∥AB1,則∠KNC1(或其補(bǔ)角)為異面直線AB1和BM所成的角.設(shè)正三棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則NC1=BM=1+1=2,NK=12AB1=1+42=52,在Rt△CKC1中,可得C1K=CK2在△KNC1中,cos∠KNC1=54+2-1942×529.(2024屆重慶一中9月檢測,6)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.22B.32C.5答案C以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0).設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則A(2,0,0),E(0,2,1),C(0,2,0),則AE=(-2,2,1),CD=(0,-2,0),設(shè)異面直線AE與CD所成角為θ,則cosθ=|AE·CD||AE|·|CD|=49×210.(2024屆全國新高考月考一,5)如圖是正方體的平面綻開圖,下列命題正確的是()A.AB與CF成45°角B.BD與EF成45°角C.AB與EF成60°角D.AB與CD成60°角答案D由題意,將正方體的平面綻開圖還原為正方體,如圖,因?yàn)镃F⊥平面ACBG,AB?平面ACBG,所以AB⊥CF,故AB與CF成90°角,故A中命題錯(cuò)誤.因?yàn)锽D∥CF,CF⊥EF,所以BD⊥EF,故BD與EF成90°角,故B中命題錯(cuò)誤.因?yàn)镋F∥CG,AB與CG成90°角,所以AB與EF成90°角,故C中命題錯(cuò)誤.因?yàn)镃D∥AE,所以∠EAB(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與CD所成的角,在三角形AEB中,AE=EB=AB,所以∠EAB=60°,所以AB與CD成60°角,故D中命題正確.故選D.11.(2024屆成都名校聯(lián)盟聯(lián)考(一),6)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),則過三點(diǎn)A,D1,E的截面過()A.AB的中點(diǎn)B.BC的中點(diǎn)C.CD的中點(diǎn)D.BB1的中點(diǎn)答案B如圖,取BC的中點(diǎn)F,連接AF,EF,BC1,則EF∥BC1,由正方體的性質(zhì)可知AB∥D1C1,AB=D1C1,所以四邊形ABC1D1為平行四邊形,則BC1∥AD1,所以EF∥D1A,所以D1,A,F,E四點(diǎn)共面,所以截面過BC的中點(diǎn),故選B.12.(2024山東濱州二模,7)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中點(diǎn),P是底面ABCD(包括邊界)內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若MP∥平面A1BC1,則異面直線MP與A1C1所成角的取值范圍是()A.0,π3B.π6,答案C如圖,以O(shè)為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),M(0,0,1),則C1B=(2,0,-2),取AD的中點(diǎn)E,DC的中點(diǎn)F,連接EM,EF,MF,則E(1,0,0),F(0,1,0),則ME=(1,0,-1),C1B=2ME,所以C1B∥ME,同理,EF∥A1C1.又ME?平面A1BC1,C1B?平面A1BC1,所以ME∥平面A1BC1,同理EF∥平面A1BC1,而EF∩ME=E,EF,ME?平面MEF,所以平面MEF∥平面A1BC1.P是底面ABCD(包括邊界內(nèi))的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若MP∥平面A1BC1,則P在線段EF上.因?yàn)镋F∥A1C1,所以MP與A1C1所成的角就是MP與EF所成的角.易知△MEF是等邊三角形,則MP與EF所成角最大為π213.(2024屆廣西名校聯(lián)考,7)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體表面上的點(diǎn)P在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)A,B,C在俯視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A,B,C,則異面直線PA與BC所成角的余弦值為()A.55B.105C.2答案B由三視圖還原直觀圖可知,該幾何體是四棱錐P-ABCD,且PD⊥平面ABCD,如圖所示,取CD的中點(diǎn)M,連接AM,PM,則AB∥MC,且AB=MC,所以四邊形ABCM是平行四邊形,所以AM∥BC,所以∠PAM或其補(bǔ)角就是異面直線PA與BC所成的角,在△PAM中,易知PA=22,AM=PM=5,所以cos∠PAM=PA2+AM2-P14.(2024屆四川綿陽11月聯(lián)考,10)已知四面體ABCD的全部棱長均為2,M,N分別為棱AD,BC的中點(diǎn),F為棱AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論:①線段MN的長度為1;②若點(diǎn)G為線段MN上的動(dòng)點(diǎn),則無論點(diǎn)F與G如何運(yùn)動(dòng),直線FG與直線CD都是異面直線;③∠MFN的余弦值的取值范圍為0,55;④△FMN周長的最小值為A.①②B.②③C.③④D.①④答案D將正四面體ABCD放置在正方體中,如圖1,設(shè)正方體的棱長為a,則a=22×2=1,∴MN=a=1,故①正確.當(dāng)G為線段MN的中點(diǎn),F為線段AB的中點(diǎn)時(shí),直線FG與直線CD相交且垂直,故②錯(cuò)誤.若F在線段AB的中點(diǎn)處,則MF=NF=22,此時(shí)cos∠MFN=MF2+NF2-MN22MF·NF=0;若F在線段AB的端點(diǎn)A處(在B處同理),易知MN⊥AD,NF=62圖1圖2二、填空題15.(2024屆廣東惠州調(diào)研,15)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面相互垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),設(shè)異面