第4章 圖形變換

第4章圖形變換計算機學(xué)院牛永潔目錄二維圖形變換三維圖形變換投影變換坐標(biāo)系統(tǒng)及其變換引言圖形變換是將圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。圖形變換是產(chǎn)生動態(tài)仿真、虛擬現(xiàn)實的基礎(chǔ)引言幾何變換以點變換為主：即對圖形中的每個點進行變換，然后顯示到坐標(biāo)系中，但是工作量比較大。對于線框圖形可以取圖形的頂點進行點變換，然后連接這些頂點，這樣工作量會小一些。B可由A逆時針旋轉(zhuǎn)

角而得。

B

A引言4.1二維圖形幾何變換--齊次坐標(biāo)所謂齊次坐標(biāo)表示法就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。例如：二維坐標(biāo)點P(x,y)的齊次坐標(biāo)為：

(H?x,H?y,H)其中，H是任一不為0的比例系數(shù)。顯然一個向量的齊次坐標(biāo)是不唯一的。如：點（2,1）的齊次坐標(biāo)可以表示為(8,4,4)、(4,2,2)、(2,1,1）如果H為1，我們稱這樣的坐標(biāo)為規(guī)范化齊次坐標(biāo)。4.1二維圖形幾何變換--齊次坐標(biāo)為什么要引入齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)可以表示無窮遠點，一個H=0的點就表示了一個無窮遠的點，例如（1,0,0），（0,1,0）等點。可以統(tǒng)一圖形變換的運算形式。后面的圖形變換基本都是矩陣相乘的形式。4.1.2二維圖形的基本變換如果用P=[xy1]表示XY平面上一個未被變換的點，用P’=[x’y’1]表示P點經(jīng)某種變換后的新點，用一個3*3矩陣T表示變換矩陣：則圖形變換可以統(tǒng)一表示為：P’=P·T4.1.2二維圖形的基本變換—平移1．平移變換平移是一種不產(chǎn)生變形而移動物體的變換。假定從點P平移到點P’，點P沿X方向的平移量為m，沿Y方向的平移量為n，構(gòu)造平移矩陣T：4.1.2二維圖形的基本變換—平移

示例4.1.2二維圖形的基本變換—比例變換基本的比例變換是指圖形相對于坐標(biāo)原點，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或縮小的變換。假定點P相對于坐標(biāo)原點沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，構(gòu)造比例矩陣T：4.1.2二維圖形的基本變換—比例變換4.1.2二維圖形的基本變換—比例變換如果比例變換矩陣為如下形式：此時進行整體比例變換，比例系數(shù)為(1/S，1/S)。4.1.2二維圖形的基本變換—旋轉(zhuǎn)變換基本的旋轉(zhuǎn)變換是指將圖形圍繞坐標(biāo)原點逆時針轉(zhuǎn)動一個θ角度的變換。假定從P點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ角到P’點，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣T：

4.1.2二維圖形的基本變換—旋轉(zhuǎn)變換假定從P點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ角到P’點，其推導(dǎo)公式為：P(x,y)P’

(x’,y’)θX=L*cos(α)Y=L*sin(α)X’=L*cos(a+θ)=L*cos(a)cos(θ)-L*sin(a)sin(θ)=Xcos(θ)-Ysin(θ)Y’=L*sin(a+θ)=Lsin(a)cos(θ)+L*cos(a)sin(θ)=Ycos(θ)+Xsin(θ)αL示例4.1.2二維圖形的基本變換—對稱變換對稱變換又被稱為反射變換4.1.2二維圖形的基本變換—對稱變換（1）關(guān)于X軸的對稱變換點P(x,y)關(guān)于X軸的對稱點為P’(x,-y)，構(gòu)造對稱矩陣T：（2）關(guān)于Y軸的對稱變換點P(x,y)關(guān)于Y軸的對稱點為P’(-x,y)，構(gòu)造對稱矩陣T：4.1.2二維圖形的基本變換—對稱變換（3）關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱變換點P(x,y)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為P’(-x,-y)，構(gòu)造對稱矩陣T：4.1.2二維圖形的基本變換—對稱變換（4）關(guān)于y=x（+45°）直線的對稱變換點P(x,y)關(guān)于y=x直線的對稱點為P’(y,x)，構(gòu)造對稱矩陣T：4.1.2二維圖形的基本變換—對稱變換（5）關(guān)于y=-x（-45°）直線的對稱變換點P(x,y)關(guān)于y=-x直線的對稱點為P’(-y,-x)，構(gòu)造對稱矩陣T：4.1.2二維圖形的基本變換—對稱變換5．錯切變換錯切變換也稱剪切、錯位、錯移變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。

4.1.2二維圖形的基本變換—錯切變換（1）沿X軸方向關(guān)于y的錯切點P(x,y)沿X軸方向關(guān)于y進行錯切變換，錯切角度為α。令e=tgα，構(gòu)造錯切矩陣T：則x’=x+x*tgα

4.1.2二維圖形的基本變換—錯切變換αP(x,y)P’(x’,y’)示例（2）沿Y軸方向關(guān)于x的錯切點P(x,y)沿Y軸方向關(guān)于x進行錯切變換，錯切角度為β。令b=tgβ，構(gòu)造錯切矩陣T：4.1.2二維圖形的基本變換—錯切變換6．變換矩陣的功能分區(qū)五種二維基本變換，它們的變換矩陣都可以用如下的3*3矩陣來描述：（1）左上角的2*2子塊可實現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯切四種基本變換；（2）左下角的1*2子塊可實現(xiàn)平移變換；（3）右上角的2*1子塊可實現(xiàn)投影變換；（4）右下角的1*1子塊可實現(xiàn)整體比例變換。4.1.2二維圖形的基本變換—功能分區(qū)一個比較復(fù)雜的變換，都可以轉(zhuǎn)換成若干個連續(xù)進行的基本變換。復(fù)合變換，也稱為級聯(lián)變換。設(shè)圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,…,Tn，則稱T=T1?T2?…?Tn為復(fù)合變換矩陣。因為矩陣的乘法不滿足交換律，所以一個復(fù)合變換分解的基本變換具有嚴(yán)格的次序。4.1.3二維圖形的復(fù)合變換1．連續(xù)平移變換2．連續(xù)比例變換3．連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換4．相對任一參考點的二維幾何變換5．以平面內(nèi)任一直線為對稱軸進行對稱變換4.1.3二維圖形的復(fù)合變換4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—連續(xù)平移假設(shè)平面內(nèi)有一點p(x,y)，經(jīng)過了兩次平移變換，變換矩陣分別為T1，T2

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—連續(xù)比例變換假設(shè)平面內(nèi)有一點p(x,y)，經(jīng)過了兩次比例變換，變換矩陣分別為T1，T2

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換假設(shè)平面內(nèi)有一點p(x,y)，經(jīng)過了兩次比例變換，變換矩陣分別為T1，T2

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—對任意參考點比例、旋轉(zhuǎn)變換都與參考點有關(guān)，原來進行的變換都是以坐標(biāo)原點進行的。如何相對于任意參考點（Xr,Yr）做比例、旋轉(zhuǎn)變換？步驟如下：平移：將（Xr,Yr）平移到坐標(biāo)原點，圖形做相應(yīng)的變換。將圖形相對于坐標(biāo)原點進行二維變換。做步驟1的逆運算。4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—對任意參考點

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—對任意參考點

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—對任意參考點

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—對任意參考點例題：將一個三角形繞屏幕上的（300,200），以100為半徑，旋轉(zhuǎn)8個位置，得到的圖形。s4-14.1.3二維圖形的復(fù)合變換—對任意參考點請參照上述的講解過程進行下述推導(dǎo)：已知點P（x,y）,對于任意點M（xr,yr）做比例變換，其中比例系數(shù)為（Sx,Sy）。

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—任意直線的對稱變換如果圖形想對任意直線進行對稱變換，需要經(jīng)過如下步驟：對圖形進行平移，使得直線過坐標(biāo)原點。繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)，使得直線與某個坐標(biāo)軸重合。做關(guān)于重合坐標(biāo)軸的對稱變換。、做步驟2的逆變換。做步驟1的逆變換。4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—任意直線的對稱變換例子4-3：求點P（x，y）關(guān)于直線ax+by+c=0進行對稱變換的變換矩陣。當(dāng)y=0,x=-c/a,將圖形整體移動c/a,使得直線過坐標(biāo)原點

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—任意直線的對稱變換圖形做關(guān)于x軸的對稱變換。

做步驟2的逆運算。

4.1.3二維圖形的復(fù)合變換—任意直線的對稱變換做步驟1的逆運算，反平移。

4.2三維圖形幾何變換P=[xyz1]表示三維空間上的一個點，用P’=[x’y’z’1]表示P點經(jīng)某種變換后的新點，用一個4*4矩陣T表示變換矩陣：

則圖形變換可以統(tǒng)一表示為：P’=P·T對三維圖形幾何變換的4*4矩陣T進行功能分區(qū)，其中：（1）左上角的3*3子塊可實現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯切四種基本變換；（2）左下角的1*3子塊可實現(xiàn)平移變換；（3）右上角的3*1子塊可實現(xiàn)投影變換；（4）右下角的1*1子塊可實現(xiàn)整體比例變換。4.2三維圖形幾何變換假定從點P平移到點P’，點P沿X方向的平移量為l，點P沿Y方向的平移量為m，沿Z方向的平移量為n，則可構(gòu)造平移矩陣T：4.2三維圖形幾何變換—平移（1）局部比例變換假定點P相對于坐標(biāo)原點沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，沿Z方向放縮Sz倍，其中Sx、Sy和Sz稱為比例系數(shù)，則可構(gòu)造比例矩陣T：4.2三維圖形幾何變換—比例（2）整體比例變換其變換矩陣為：

S的取值所起到的作用與二維變換相同。4.2三維圖形幾何變換—比例下面討論的三種基本旋轉(zhuǎn)變換，都是考慮在右手坐標(biāo)系下，某點繞坐標(biāo)軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的情況。（1）繞Z軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣T：4.2三維圖形幾何變換—旋轉(zhuǎn)右手握住Z軸的正向,右手的四指從X軸的正向以90度的直角轉(zhuǎn)向Y軸的正向。（2）繞X軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣T：4.2三維圖形幾何變換—旋轉(zhuǎn)（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣T：4.2三維圖形幾何變換—旋轉(zhuǎn)XYZ

（1）關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱變換（2）關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱變換（以關(guān)于X軸的對稱變換為例）

4.2三維圖形幾何變換—對稱（3）關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱變換（以關(guān)于XOY坐標(biāo)平面的對稱變換為例）4.2三維圖形幾何變換—對稱三維圖形錯切變換可以沿X軸、Y軸、Z軸三個方向產(chǎn)生錯切變換，構(gòu)造錯切變換矩陣T：

根據(jù)元素所在的列，可以判斷出是沿哪個坐標(biāo)軸方向進行錯切。根據(jù)元素所在的行，可以判斷出是關(guān)于哪個坐標(biāo)變量的錯切。4.2三維圖形幾何變換—錯切1．相對空間任一點的幾何變換2．相對空間任一直線的幾何變換4.2三維圖形幾何變換—復(fù)合變換4.2三維圖形幾何變換—復(fù)合變換空間中組成圖形的任一點P（x,y,z）做相對于空間中的點(xr,yr,zr)的幾何變換。復(fù)合變換需要經(jīng)過以下三步：圖形和(xr,yr,zr)平移，使得(xr,yr,zr)與坐標(biāo)原點重合。進行幾何變換做步驟1的逆運算。4.2三維圖形幾何變換—復(fù)合變換相對于空間任意直線的幾何變換，需要經(jīng)過四個步驟：平移