大學(xué)物理第4章剛體與轉(zhuǎn)動

第四章剛體的轉(zhuǎn)動4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組）剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動.剛體平動質(zhì)點運動

平動：若剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.轉(zhuǎn)動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動.轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動

.剛體的一般運動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+圖2圖1一剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度參考平面角坐標(biāo)<0q0>q約定沿逆時針方向轉(zhuǎn)動沿逆時針方向轉(zhuǎn)動角速度

方向:右手螺旋方向參考軸角加速度定軸轉(zhuǎn)動的特點

剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正負(fù)來表示.注：首先規(guī)定轉(zhuǎn)軸的正方向1）每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；2）任一質(zhì)點運動均相同，但不同；3）運動描述僅需一個坐標(biāo).角坐標(biāo)二勻變速轉(zhuǎn)動公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動.剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運動公式對比：三角量與線量的關(guān)系4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量P*O力對轉(zhuǎn)軸的力矩一力矩O討論

1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二轉(zhuǎn)動定律2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力

1）單個質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸剛性連接外力矩內(nèi)力矩O——牛頓定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.轉(zhuǎn)動定律定義轉(zhuǎn)動慣量O三轉(zhuǎn)動慣量物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.類似于質(zhì)量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣性的計算方法質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：質(zhì)量元

對質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量O′O

解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′為處的質(zhì)量元例1一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.O′O如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒ORO

例2一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O

并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.

解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量四

平行軸定理PORO轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.質(zhì)量為

的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CO注意薄板正交軸定理練一練：利用此定理求出圓環(huán)和圓盤繞直徑軸的轉(zhuǎn)動慣量求下列物體的轉(zhuǎn)動慣量LbRRbmm1m2rmaL均勻薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量練一練：求均勻球體繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？竿子長些還是短些更安全？質(zhì)心平動剛體運動繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動由合外力決定（應(yīng)用牛頓定律）由合外力矩決定（應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律）例3：圖示的裝置叫做阿特伍德（Atwood）機(jī)，用一細(xì)繩跨過定滑輪，而在繩的兩端各懸質(zhì)量為m1和m2的物體，其中m1＞m2，求它們的加速度及繩兩端的張力T1和T2．設(shè)繩不可伸長，質(zhì)量可忽略，它與滑輪之間無相對滑動；滑輪的半徑為R，質(zhì)量m，且分布均勻。解：分別隔離m1，m2，和滑輪如圖，對m1和m2，有對滑輪：約束條件：解方程得：討論：例題4一輕繩繞過一定滑輪，滑輪的質(zhì)量為M/4，均勻分布在其邊緣上，繩子的A端有一質(zhì)量為M人抓住繩端，而在另一端B系著一個質(zhì)量為M/2的重物．人從靜止開始以v相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求B端重物上升的加速度?（滑輪對過滑輪中心且垂直與輪面的軸的轉(zhuǎn)動慣量J=MR2/4）選重物為研究對象，地面為參考系選滑輪為研究對象，地面為參考系選人為研究對象，繩子為參考系對于由質(zhì)點和剛體組成的系統(tǒng)，首先要明確，處理這類問題的基本方法是隔離體法。對質(zhì)點分析受力和加速度，應(yīng)用牛頓定律。對剛體要分析所受力矩和角加速度，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律。然后通過角量與線量的關(guān)系，把質(zhì)點的加速度與剛體的角加速度聯(lián)系起來。注意：有質(zhì)量的滑輪二邊的繩的張力一定不等，滑輪才會在合力距的作用下轉(zhuǎn)動。

例5：圖示為測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的裝置，待測的物體裝在轉(zhuǎn)動架上，細(xì)線的一端繞在半徑為R的輪軸上，另一端通過定滑輪懸掛質(zhì)量為m的物體,細(xì)線與轉(zhuǎn)軸垂直。從實驗測得m自靜止下落高度h的時間為t,求待測剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。忽略各軸承的摩擦，忽略滑輪和細(xì)線的質(zhì)量，細(xì)線不可伸長，預(yù)先測定轉(zhuǎn)動架對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為I。解：對m:對轉(zhuǎn)動架：約束條件：解上述聯(lián)立方程得：想一想：你能設(shè)計出其它方法來測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量嗎？剛體的平面平行運動平面平行運動：剛體內(nèi)所有的運動點都平行于某一平面平面平行運動可分解為質(zhì)心的運動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動例6：一質(zhì)量為m半徑為R的均勻圓柱體，沿傾角為的粗糙斜面自靜止無滑下滾，求滾動摩擦力、質(zhì)心加速度，以及保證圓柱體作無滑滾動所需最小摩擦系數(shù)。解：質(zhì)心運動定理繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動定理：無滑動意味著約束條件為：解聯(lián)立方程得：無滑滾動條件：例7：將一根質(zhì)量為m的長桿用繩從兩端水平地掛起來，其中一根繩子突然斷了，另一根繩子內(nèi)的張力是多少？解：繩斷的瞬間：而約束關(guān)系：解聯(lián)立方程：例8：以水平力f打擊懸掛在P點的剛體，打擊點為O，若打擊點選擇合適，則打擊過程中軸對剛體的切向力Ft為0，該點稱為打擊中心，求打擊中心到軸的距離r0解：剛體所受力矩：設(shè)剛體轉(zhuǎn)動慣量為：其中稱回轉(zhuǎn)半徑質(zhì)心運動定理：轉(zhuǎn)動定理：約束條件：解聯(lián)立方程，消去練一練：上述結(jié)果適用于各種剛體，試就細(xì)棒求出r0(r0=2l/3)試一試：分析棒球手擊球時，若擊球點位于不同位置時，手的受力情況

例9一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動.由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動.試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時的角加速度和角速度.

解

細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得例10轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為，在時角加速度為，此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為（為大于零的常數(shù)).當(dāng)時，飛輪的角加速度為，所經(jīng)歷的時間為例11、一個質(zhì)量均勻分布的圓盤放在水平桌面上，與桌面間的摩擦系數(shù)為，總質(zhì)量為，半徑為。開始時角速度為，求：摩擦力矩為？角加速度為？經(jīng)過多長時間停止運動？4-3角動量角動量守恒定律力矩的時間累積效應(yīng)沖量矩、角動量、角動量定理.一質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律

質(zhì)點運動狀態(tài)的描述力的時間累積效應(yīng)沖量、動量、動量定理.剛體定軸轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)的描述無法區(qū)分勻速轉(zhuǎn)動的圓盤和靜止的圓盤的動量,因此動量對于描述剛體轉(zhuǎn)動問題不是一個好的物理量.1.質(zhì)點的角動量質(zhì)點以角速度作半徑為

的圓運動，相對圓心的角動量大小的方向符合右手法則.作用于質(zhì)點的合力對參考點O

的力矩，等于質(zhì)點對該點O的角動量隨時間的變化率.2.質(zhì)點的角動量定理

質(zhì)點所受對參考點O的合力矩為零（何時為零）時，質(zhì)點對該參考點O的角動量為一恒矢量.

恒矢量

沖量矩質(zhì)點的角動量定理：對同一參考點O，質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量.3.質(zhì)點的角動量守恒定律例題人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球中心為橢圓的一個焦點，已知地球平均半徑R=6378km，近地距離l1=439km,A1點速度v1=8.10km,遠(yuǎn)地距離l2=2384km,求A2點的速度v2=?解：衛(wèi)星在運行時只受地球?qū)λ囊?，方向始終指向地心o,這種力稱為有心力，對于O點，力矩為零，,故角動量守恒。衛(wèi)星在近地點A1的角動量：衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點A2的角動量:因角動量守恒，所以：于是：Kepler’sLaws:1.TheorbitofeachplanetabouttheSunisanellipsewiththeSunatonefocus(thelawoforbit);2.ThelinejoininganyplanetandtheSunsweepsoutequalareasinequaltimes(thelawofareas);例題:開普勒1,2定律萬有引力為有心力,故:M=0.證明：行星對太陽的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。二剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理非剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理O不變

角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守