淺談數學中的有限與無限論文

淺談數學中的有限與無限【摘要】數學中有限和無限的關系體現了哲學中的辯證關系，本文將從具體的實例談起如：定積分、數列極限公式、球表面積和體積公式的推導及結合率和分配率的使用。再將數學中的有限與無限從哲學的觀點來體現，首先，本文討論了數學中有限與無限的聯系：無限是有限的基礎，無限是由有限構成的；有限由無限組成；無限是有限的延伸。有限與無限雖密不可分，但它們也有質的區(qū)別。其次，將會寫到離了有限的超限數，如：就部分和整體來說，對于超限數，部分可以等于整體；就運算法則來說，超限數的運算法則與有限數的運算法則是不同的；就與現實的關系來說，超限數也是與有限數不同的?！娟P鍵詞】有限；無限；聯系；區(qū)別；超限數FiniteandinfiniteinCollegeMathematics【Abstract】Themathematicsoffiniteandinfiniterelationsreflectsthedialecticalrelationshipofphilosophy,inthispaperwewillstartfromtheconcreteexamplessuchas:integral,sequencelimitformuladerivation,ballsurfaceareaandvolumeformulaandcollectionrateandtheuseofrate.Themathematicsoffiniteandinfinitewillbereflectedfromaviewofphilosophicalpoint.Firstofall,thispaperdiscussesthemathematicsoffiniteandinfiniteconnection:Infinityisthefoundationoffinity,andinfinityiscomposedoffinity;Infinityistheextensionoffinity.Thefinityandtheinfinityareinseparable,buttheyalsohaveaqualitativedifference.Secondly,wewillwritethetransfinitenumberwhichiffarawayformfinity,forexaple:Onthepartandthewhole,,thepartcanbeequaltothewholeforthetransfinitenumbersintermsofthepartandthewhole;transfinitenumber'salgorithmisdifferentfromlimitednumber'sintermsofalgorithm;transfinitenumberisdifferentwithfinitenumberintermsoftherelationshipwithrealitytoo.【Keywords】Limited;unlimited;relation;difference;transfinitenumberTOC\o"1-3"\h\u14921前言 180451.例談數式中有限與無限 224045§1.1定積分 28917§1.2數列極限的公式 213392§1.3球表面積、體積公式的推導 231479§1.4結合律和分配律的使用 388782無限與有限的聯系 412722§2.1無限是有限的基礎 418071§2.2無限是由有限構成的 41222§2.3有限由無限組成 519345§2.4無限是有限的延伸 619287§2.4.1數學歸納法 61794§2.4.2無窮遠點 7155533有限與無限的區(qū)別 7215554離了有限的超限數 819198§4.1就部分和整體來說,對于超限數,部分可以等于整體 914766§4.2就運算法則來說,超限數的運算法則與有限數的運算法則是不同的 95404§4.3就與現實的關系來說,超限數也是與有限數不同的 9272045小結 1123202參考文獻 12前言有這樣一個故事,據說出自杰出的數學家大衛(wèi)希爾伯特之口。一天夜里已經很晚了,一個人走進一家旅館想要住店。店主回答說:“對不起，我們沒有任何空房間,但是讓我看一下,或許我們能為您找到一個房間?！比缓蟮曛麟x開了他的桌子,他不情愿地叫醒他的每位房客,并且請他們換一換房間：1號房間的房客搬到2號房間,2號房間的房客搬到3號房間,……,依次類推,直到每位房客都從一個房間搬到下一個房間為止。令這位遲來者感到吃驚的是,1號房間竟然被空出來。他很高興地搬進去,然后安頓下來過夜。但是,一個百思不得其解的問題使他無法入睡：為什么僅僅通過讓房客從一個房間搬到另一個房間,第一個房間就空出來了呢？這所旅館一定是希爾伯特的旅館,它是城里一個據認為有無數個房間的旅館！這個故事說明了無限是作為有限的對立面而存在的,有限與無限有質的區(qū)別。貝爾指出,19世紀的數學家已經認識到,“沒有一個一致的數學無限理論,就沒有無理數理論；沒有無理數理論,就沒有與我們現在所有的即便稍許相似的、任何形式的數學分析；沒有數學分析,像現在大部分數學———包括幾何和大部分應用數學———就不再存在了?！笨梢?無限在數學中占有十分重要的地位,甚至可以說它是整個數學的基礎?！白怨乓詠?沒有別的問題像無限這樣深深地激動過人的情緒,沒有別的想法像它這樣富有成效地煥發(fā)過人的精神。同時,也沒有別的概念像它這樣迫切需要澄清……”例談數式中有限與無限§1.1定積分 看看牛頓和萊布尼茨發(fā)展的積分，它們均來源于求曲多邊形的面積．方法大致為：分割、近似求和、取極限．這里的分割是一種動態(tài)無限的過程．在保證最大區(qū)間長度趨于零的條件下，分割而成的區(qū)間數目趨于無窮．從有限個矩形到無限塊和，利用積分可以計算不規(guī)則圖形面積．例如：求由函數，直線，所圍成的曲邊梯形的面積。步驟如下：將區(qū)間[a，b]分成n個小區(qū)間（1≦≦),每個區(qū)間上任取一點，以作為矩形的高，求出個矩形的面積并求和：=§1.2數列極限的公式數列極限是極限的重要基礎知識，其運算法則必須滿足：若存在及存在，則存在，且=例如：如何計算？按照有限的計算法則，==0，顯然這個例題的結論是錯的，所以不能用有限個的運算法則來替代無限的運算．此處有限和無限是無法統(tǒng)一于一個運算法則中．數學極限公式中蘊含的無限思想，體現了無限是有限的延伸，但有限到無限是引起“質變”的?！?.3球表面積、體積公式的推導．球的表面積、體積公式推導也是一種無線分割思想的運用。圖一圖二如圖一所示，==如圖2，將球分割成份四棱錐，其體積=由上述球的體積公式，得：§1.4結合律和分配律的使用大家都知道，這在有限相加的世界里似乎沒什么問題．然而在無限相加的世界里，若把這種結合律再看成是正確的，那你就會鑄成大錯，不妨看下式如何計算：，假如數的加法可以任意結合，那么：=，好像不錯，注意還可以這樣用結合律：，也沒有問題，這是推出的結論：就有大問題了，原因何在呢？解釋并不困難：結合律和分配律并不像人們通常認為的那樣永遠正確，它們在有限數學中的確是正確的，但在無限數學中就不是沒有任何條件的正確無誤．所以說，有限到無限畢竟是引起了“質變”。2無限與有限的聯系§2.1無限是有限的基礎自然數有無窮多個,但沒有最后一個,設想如果確實存在這種數,例如10000,那我們不但得忽略比10000大的任何數,而結果超過10000的所有計算(例如9999+2或3000+8000)都變得“不合法”,換句話說,通常的計算技巧必須拋棄，數字計算的整個系統(tǒng)———我們熟悉的計算規(guī)則,將會像一個用紙牌搭成的紙房子那樣倒塌。所幸的是情況并非如此，我們總是把計數數的無限性當作一個公理,即當作一個其實效性可被認為理所當然的語句,如果以一種更正規(guī)的方式敘述,該公理可表述為:每個自然數n都有一個后繼數n+1?？梢?，有限的運算是建立在無限的基礎保證之上的,無限就像一個個無孔不入的微塵充滿在大氣中,不論喜歡不喜歡它,它都存在且?guī)椭?。在幾何學中十分重要的“直線”概念,也是以類似假定為基礎的:我們能夠在兩個方向上無限地延長直線———至少在原理上如此。在同一個平面內兩條直線平行,我們是說它們永遠不相交,沒有交點?！捌叫小焙汀跋嘟弧睕]有無限作基礎,很難說清楚,更難理解。甚至在像概率這樣看起來“有限的”數學分支中,無限的概念也起著一種微妙的作用：當我們擲十次硬幣時,可能會得到五次“正面”和五次“反面”,或者六次“正面”和四次“反面”,或者得到其它結果,但是當我們說到“正面”或“反面”的概率相等時,我們心照不宣地假定:當擲幣的次數無限多時,就會產生相等的結果?！?.2無限是由有限構成的自然數無限多,但任何一個自然數卻都是有限的。由一切有限的自然數構成一個無限的自然數集合,這看來矛盾,但實際上正是如此?，F代的人誰也不會妄言自然數有限多,但同樣誰也舉不出一個無限的自然數。但這無限的現實世界卻是由一個個具體的、有限的物質世界構成的,與之相應的任何一個自然數都是有限的。再如調和級數是發(fā)散的,但它的任何一部分和都是有限的,只是當時,部分和才超過任何一個指定的數,其它發(fā)散級數通常也是如此。正是因為無限是由有限構成的,所以人們才可以通過有限來認識無限。分析數學中各種收斂性,正是通過有限(部分和)來判斷有限(收斂)或無限(發(fā)散)的,這就是說,無限純粹是有限構成的,哲學無限如此,數學無限也是如此。在一定條件下,有限可以轉化為無限,這里所說的一定條件,在數學中是由嚴格的收斂性判則規(guī)定的。如“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。說的是,一尺之長的短棍,今日取其一半,明日再取其剩余的一半,……,依次下去,這是一個無限的過程。但把所有“其半”加在一起,剛好就是原來的那個“一尺之棰”。無限的“萬世不竭”的東西恰好與有限的“一尺之棰”相當,在這里,無限與有限的差別就消失了,也就是說,無限已轉化為有限了。用數學中的級數公式表示,恰如其分地反應這一辯證關系?！?.3有限由無限組成有限范圍內封閉無限。如在數軸上0與1之間的有限長度上有無限多個點,甚至不知為什么對這樣的概念難以理解,但無論什么情況下,都是無限封閉在有限里。又如在正五角形、正方形等圖形中,可以作出無限多個與其自身相似的圖形。也就是說可以將無限封閉在這種正五角形、正方形中(如圖1和圖2）。圖1正五角形圖2正方形有限表示了無限。對于一般分數(分母為2、5及其自乘除外)而言,把它改寫為小數后變成無限循環(huán)小數,而平方根數一般情況下也可用無限非循環(huán)小數表示。圓周率,，等有限數可作為近似值表示,但實際卻是無限非循環(huán)小數,可用其它無限小數表示的數很多。圓周率π和自然對數的底e是無序數字排列的無限小數,但其近似值可以用完美的分數和表示。圓周率(萊布尼茨公式)：=4×[1－＋－＋－＋…]自然對數的底e=1＋＋＋＋…=習慣上,人們總認為,無限比有限大,比有限多,無限應包含有限,無限由有限組成。然而,現在我們知道,這種看法并不總是正確的。現代數學的發(fā)展,使我們看到有限中的無限,有限與無限的這種新的聯系,是由數學家首次發(fā)現并運用的。§2.4無限是有限的延伸實際上,我們在初等數學中就已經接觸到無限了,前面提到的自然數、直線就是兩個很好的實例?！?.4.1數學歸納法在數學中,我們如何由有限進入到無限,得到普遍的定理呢?是通過數學歸納法。通常將數學歸納法陳述如下:若一個命題,當時成立。假定該命題當n=k時成立的情況下,能證明當n=k+1時也成立。那么就可以斷言這個命題對于所有的自然數都成立。例如，在自然數序列中，考察連續(xù)自然數的平方和：我們發(fā)現:自然數序列前一個,二個,……,n個連續(xù)自然數的平方和等于這個和中加數個數n與n+1、2n+1的乘積的六分之一,即但這僅是一個猜想而已,對所有的自然數都成立么?若不成立,舉反例即可;若成立必須作進一步證明。用自然數一個一個地驗算是不行的,因為自然數有無數多個,無論我們用了多少個自然數,也無法得到對于一切自然數都成立的普遍定理。這時就必須采用數學歸納法。這種數學歸納法也叫“將棋一個壓一個橫倒論證法”或“多米諾骨牌橫倒論證法”。這是因為最初的一個骨牌滑倒下去后,后面的骨牌就跟著一個壓一個無限地倒下去。龐加勒在講到數學歸納法的作用時指出:“棋手能預料四五步棋,不管他多么非凡,他也只能準備有限步棋,假使把他的本領用于算術,他也不能憑借單一的直覺直接洞察算術的普遍原理,為了獲得最普遍的定理,他也不得不借助于遞推原理,因為這是能使我們從有限向無限延伸的工具?！比绻覀儾荒軓挠邢拮呦驘o限,證明一個定理對一切自然數都成立,就得不到普遍定理?！?.4.2無窮遠點我們知道景物的照片與實際景物在一些方面有所不同:例如,一個圓可能會像一個橢圓,正方形可能會像一個梯形,一對平行線好像在地平線上匯合在一起。正是這個問題。在16世紀產生了一個數學分支———射影幾何學。引進無窮遠點和無窮遠直線,使數學中的某些定理顯得更簡單、對稱和美觀,尤以笛沙格定理及其逆定理有特色。總之,包含無限多個自然數的集合和無窮遠元素,都是從有限個自然數,從有限個元素中來的,是從有限中外推得到的。由這種外推,我們不僅得到了新的外數學實體,而且得到數學上很重要的數學歸納法和對偶原理。在這里,數學家用巧妙的數學方法,把有限與無限聯系在一起——有限如何進入到無限,具體地展現在人們面前。3有限與無限的區(qū)別有限和無限是對立的、有區(qū)別的，有限集和無限集的性質有質的不同。如一個有限集和它的任何一個真子集都無法建立一一對應關系。例如：設，是A的子集，不妨設B中元素與A中的元素對應，與對應，，與對應，則A中元素在B中沒有元素與它對應。如果B的元素繼續(xù)減少，A中將出現更多元素在B中沒有元素與之對應。無限集則可以與它的一個真子集建立一一對應關系。例如：==一個有限的良序數集，自然數集的一個有限數集必然有最大數和最小數，但是無限的良序數集則沒有這種性質，實數集就沒有最大數也沒有最小數。數學中有這樣的符號:，，…，與，，…，，…，它們差別相當大,既表現在量上,又表現在質上。而當時,質與量的差別的兩方面便統(tǒng)一起來了。在有限數學中正確的規(guī)則、法規(guī),對于無限數學就不管用了。如:1)任何有限集合的元素都可以排列(共有n!種排列法,n為集合中元素的個數)。但并非任何無窮集合的元素都可以排列,如無理數集、超越數集及一切含這類數的數集的元素是不可排列的。2)任何有限個數的集合都有最小數和最大數,但對于無限數集卻不一定,如開集(0,1)中就無最大數和最小數。3)有限個數或函數的加法運算滿足結合律、交換律和分配律；但對于無窮的級數卻不能無條件地運用這些運算律,只有級數是絕對收斂時,才具有項的可交換性,也只有級數在收斂時才能對其運用項的結合律和乘法的分配律。再如,對可積和可微函數關系,下列兩個公式：=在有限和無限的情況下其正確性就大不同。在有限的情況下公式絕對成立,當無窮函數項級數一致收斂時,公式才正確。有限和無限密切相聯系，沒有有限也就沒有無限，沒有無限也就沒有有限。無限性不能完全被證明或者被完全實現，不是因為無限性不存在，而是如果無限性一旦得到實現，那它就不再成為無限，而變成有限，若所有的無限都變成有限，無限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的，所以無限是不能完全實現的。4離了有限的超限數盡管有限與無限古人早已提及,但真正在數學界關于有限與無限打開“潘多拉”盒子的是德國奇才康托爾(1845-1918),于1871年發(fā)表了稱為無限數學的“集合論”?？低袪柕恼摂嗍且詢蓚€簡單的數學概念為基礎的:集合的概念和一一對應的概念?？低袪柊鸭系脑貍€數叫做基數,有限集合的基數是自然數,無限集合的基數是超限數。康托爾進一步論證了無理數集、實數集是不可數的,但它們之間存在著一一對應關系,也就是說有比自然數集更大的集合,有更大的超限數。超限數與有限數完全不同,有天壤之別?！?.1就部分和整體來說,對于超限數,部分可以等于整體奇數集、偶數集是自然數集的一部分但它們能與自然數集建立一一對應關系,表明與自然數集一樣大。無理數集明明只是實數集的一部分,但已經證明,無理數集合對等于實數集合?？傊?在無限集合里,部分可以和全體對等,這與我們的常識是如此的不相容,高斯在1831年給舒馬赫的信中,以十分堅決的口吻表明了自己的見解:“我必須最強烈地反對你使用無限大作為某種完善的東西,因為這在數學上是從來不允許的。無限大只不過是一種講話方式,意味著一種極限,當允許某些比率無限增大時,一些特定比率可以任意地逼近該極限?！笨挛魍瑯硬怀姓J該無限集合的存在。§4.2就運算法則來說,超限數的運算法則與有限數的運算法則是不同的我們已經知道自然數集合的基數是超限數,是最小的超限數,康托爾用一個希伯來字母表示,讀作阿列夫零。，，，，，，這種運算是古怪的,是有限數學沒有的。這就是希爾伯特的故事答案,他說明了下面真理：即可數集加上一個或n個元素仍是可數集;加上可數個元素仍是可數集?！?.3就與現實的關系來說,超限數也是與有限數不同的一個有限數,無論它有多大,我們總可以找到它的現實背景,它與現實的聯系。然而,我們確找不到超限數的現實背景,以及它與現實的聯系。希爾伯特說:“在現實中找不到無限。它既不存在于自然界,也沒有理論思維提供合理的基礎。”我們可以看出,超限數與有限數在各個方面都是完全不同的,沒有任何相似之處,也沒有任何聯系,我們還可以發(fā)現無限與現實之間的間接聯系。而超限數的創(chuàng)立使我們認識到,無限可以脫離有限而存在,也就割斷了無限與現實之間的聯系。有人說“驚人之多的有限不就是無限么”,不是這樣的,甚至沙子的數目、星星的數目也只是很少的有限而不是無限。有限和無限之間存在