江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用測評新人教A版選擇性必修第二冊

第五章測評（時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù),則()A. B.2 C. D.42.[2023江西贛州期末]已知,,,,則()A. B.C. D.3.如圖為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,那么函數(shù)的圖象可能為()A.B.C.D.4.曲線在處的切線方程為()A. B. C. D.5.在氣象學(xué)中,通常把某時段內(nèi)降雨量的平均變化率稱為該時段內(nèi)的降雨強(qiáng)度.下表為一次降雨過程中記錄的降雨量數(shù)據(jù).時間0102030405060降雨量061418202324則下列四個時段降雨強(qiáng)度最小的是()A.到 B.到 C.到 D.到6.若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞減,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知函數(shù)（,,為常數(shù)）,當(dāng)時,只有一個實數(shù)根,當(dāng)時,有3個不同的實數(shù)根,現(xiàn)給出下列4個結(jié)論:①函數(shù)有2個極值點;②函數(shù)有3個極值點;和有一個相同的實根;和有一個相同的實根.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.48.定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對任意的實數(shù),都有恒成立,則使成立的實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列導(dǎo)數(shù)運算不正確的是()A.（為常數(shù)） B.C.（為自然對數(shù)的底數(shù)） D.10.[2023江蘇鎮(zhèn)江京口期中]如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,則以下說法正確的為()A.是函數(shù)的極值點B.函數(shù)在處取得最小值C.函數(shù)在處切線的斜率小于零D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11.[2023北京朝陽期末]已知函數(shù),下列結(jié)論正確的是()A.若是函數(shù)的極值點,則B.若是函數(shù)的極值點,則在上的最小值為C.若在上單調(diào)遞減,則D.若在上恒成立,則12.[2023江蘇常熟月考]對于三次函數(shù),給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是的導(dǎo)數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”,任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是函數(shù)圖象的對稱中心.設(shè)函數(shù),則以下說法正確的是()A.B.當(dāng)時,有三個零點C.D.當(dāng)有兩個極值點,時,過,的直線必過點,三、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.14.已知是的極值點,則.15.[2023陜西咸陽期末]已知是定義在上的函數(shù),且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,當(dāng)時,,則,曲線在處的切線方程是.16.[2023遼寧大連月考]設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù),,有,在上,若,則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.[2023湖北荊州月考]（10分）已知曲線.（1）求曲線在點處的切線方程;（2）求過點并與曲線相切的直線方程.18.（12分）設(shè)函數(shù),.（1）求的極值點;（2）若關(guān)于的方程有3個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;（3）已知當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.（12分）已知函數(shù)有兩個極值點,,且.（1）求實數(shù)的取值范圍;（2）求的取值范圍.20.[2023江西宜春期末]（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;（2）不等式對于恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.（12分）某廣場一雕塑造型結(jié)構(gòu)如圖所示,最上層是呈水平狀態(tài)的圓環(huán)且圓心為,其半徑為,通過金屬桿,,,,支撐在地面處（垂直于水平面）,,,,是圓環(huán)上的等分點,圓環(huán)所在的水平面距地面,設(shè)金屬桿,,,所在直線與圓環(huán)所在水平面所成的角都為（圓環(huán)及金屬桿均不計粗細(xì)）.（1）當(dāng)為且時,求金屬桿,,,的總長.（2）當(dāng)變化,一定時,為美觀與安全起見,要求金屬桿,,,,的總長最短,此時的正弦值是多少？并由此說明越大,點的位置將會上移還是下移?22.（12分）已知函數(shù).（1）若,討論的單調(diào)性;（2）已知,若方程在,上有且只有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.第五章測評一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.D[解析]由已知得,所以,解得.故,.故選.2.D[解析],故是減函數(shù),又,,,故,所以.故選.3.A[解析]由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.故選.4.A[解析]由,得,所以,,所以曲線在處的切線方程為,即.故選.5.D[解析]到的降雨強(qiáng)度為;到的降雨強(qiáng)度為;到的降雨強(qiáng)度為;到的降雨強(qiáng)度為.因為,所以四個時段中到的降雨強(qiáng)度最小.故選.6.A[解析]由函數(shù),求導(dǎo)可得.因為函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間,上,因為在區(qū)間,上小于零,且,所以只需即可.故選.7.C[解析]因為函數(shù),所以.由題意,當(dāng)時,只有一個實數(shù)根,當(dāng)時,有3個不同的實數(shù)根,故函數(shù)既有極大值,又有極小值,且極大值為4,極小值為0,故①正確,②錯誤;與有一個相同的實根,即極大值點,故③正確;與有一個相同的實根,即極小值點,故④正確.故正確結(jié)論的個數(shù)是3.故選.8.B[解析]當(dāng)時,由可知.設(shè),,則恒成立,所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，由,得,所以;因為函數(shù)是偶函數(shù),所以也是偶函數(shù),所以當(dāng)時,解得.綜上可知,實數(shù)的取值范圍為.故選.二、選擇題：本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.ABD[解析]對于,,錯誤;對于,,錯誤;對于,,正確;對于,,錯誤.故選.10.AD[解析]根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象,可知當(dāng)時,,時,,當(dāng)且僅當(dāng)時,.故在上函數(shù)單調(diào)遞減;在上函數(shù)單調(diào)遞增,所以是函數(shù)的極小值點,所以正確;其中兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性不變,則在處的函數(shù)值不是函數(shù)的最小值,所以不正確;由圖象可知,所以函數(shù)在處的切線的斜率大于零,所以不正確;由圖象可知,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以正確.故選.11.ABC[解析]由,得.對于,因為是函數(shù)的極值點,所以,得,經(jīng)檢驗是函數(shù)的極小值點,所以正確;對于,由選項可知,則,由,得或,由,得,所以在,和上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最小值,所以正確;對于,因為在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,即,則在上恒成立,令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,所以,所以正確;對于,由在上恒成立,得在上恒成立,即在上恒成立,令,,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,所以錯誤.故選.12.AB[解析]對于選項,,,令,得,的拐點為,,的圖象的對稱中心為,,即成立,故選項正確;對于選項,當(dāng)時,,不是的零點,令,即有三個實數(shù)根,令,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞減,且,的大致圖象如圖所示,由圖可知,當(dāng)時,與有三個交點,即有三個零點,故選項正確;對于選項,由選項可知,,,兩式相加可得,故選項錯誤;對于選項,由于有兩個極值點,,有兩個不相等的實數(shù)根,,由于直線過,,則直線一定過線段的中點,由選項知,且有,,線段的中點坐標(biāo)為,,,則直線一定過點,,故選項錯誤.故選.三、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.13.,[解析]函數(shù)的定義域為,,令,得或（舍去）,所以在,上,,單調(diào)遞減,在,上,,單調(diào)遞增.14.1[解析]因為,所以,因為是函數(shù)的極值點,則,即,解得.當(dāng)時,,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以是函數(shù)的極值點,故.15.0;[解析]函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,,即,,故的圖象關(guān)于直線對稱,.當(dāng),即時,,當(dāng)時,,則,,,故曲線在處的切線方程為,即.16.[解析]令,,,函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,故函數(shù)在上也單調(diào)遞減,由,得,在上是減函數(shù),,,,解得.四、解答題：本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）解,,當(dāng)時,,點處的切線方程為,即.（2）設(shè)切點坐標(biāo)為,易知,則切線斜率,而,則,整理得,即,解得,,.當(dāng)時,,所求直線方程為;當(dāng)時,,所求直線方程為;當(dāng)時,,所求直線方程為.18.（1）解,令,得,.當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此,分別為的極大值點、極小值點.（2）,,由（1）的分析可知圖象的大致形狀及走向如圖所示.要使直線與的圖象有3個不同的交點,則需.則方程有3個不相等的實數(shù)根時,所求實數(shù)的取值范圍為.（3）,,即,,因為,所以在上恒成立,令,由二次函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增,所以,所以所求的取值范圍為.19.（1）解根據(jù)題意,函數(shù),則,函數(shù)有兩個極值點等價于關(guān)于的方程有兩個不相等的正實數(shù)根.令,因為圖象的對稱軸為直線,所以解得,所以實數(shù)的取值范圍為,.（2）由（1）知,是的兩個不相等的正實數(shù)根,且,所以,,故,其中,.令,,,因為當(dāng),時,,所以在,上單調(diào)遞增,所以,,即的取值范圍是,.20.（1）解,當(dāng)時,,,故當(dāng)時,且不恒為0,故在上單調(diào)遞增,故在處取得最小值.（2）由已知,有對于恒成立,故,令,則,故.構(gòu)造,則,令,解得,令,解得,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故在時取最大值,故.故實數(shù)的取值范圍是,.21.（1）解當(dāng)且時（如圖）,,,所以.（2）因為金屬桿,,,所在直線與圓環(huán)所在水平面所成的角都為,所以,,.設(shè)金屬桿總長為,則,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以當(dāng)時,函數(shù)有極小值,極小值也是最小值.此時,越大,越小.因為是銳角,所以也越小,因此點上移了.22.（1）解依題可得,定義域為,所以.當(dāng)時,由,得,由,得,則的單調(diào)遞減區(qū)間為,