新教材2023-2024學年高中數學第1章數列1.2等差數列1.2.3等差數列的前n項和第2課時等差數列的前n項和的性質課件湘教版選擇性必修第一冊

第1章1.2.3第2課時等差數列的前n項和的性質課標要求1.掌握等差數列前n項和的性質及其應用;2.能利用等差數列前n項和的函數特征求最值;3.掌握等差數列的各項的絕對值的和的求法.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升學以致用·隨堂檢測全達標目錄索引

基礎落實·必備知識全過關知識點1等差數列前n項和的函數特征等差數列的前n項和公式轉移到二次函數的過程Sn=na1+,整理得Sn=,所以Sn可以看成y=當x=n(n∈N+)時的函數值等差數列的前n項和公式與二次函數的關系令A=,B=a1-,則Sn=An2+Bn.①當A=0,B=0(即d=0,a1=0)時,Sn=0是關于n的常函數,{an}是各項為0的常數列.②當A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)時,Sn=Bn是關于n的一次函數,{an}為各項非零的常數列.③當A≠0(即d≠0)時,Sn=An2+Bn是關于n的二次函數(常數項為0)名師點睛等差數列前n項和的最值的求法(1)若a1>0,d<0,則數列的前面若干項為正數,所以將這些項相加即得{Sn}的最大值.(2)若a1<0,d>0,則數列的前面若干項為負數,所以將這些項相加即得{Sn}的最小值.(3)若a1>0,d>0,則{Sn}是遞增數列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,則{Sn}是遞減數列,S1是{Sn}的最大值.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數列的前n項和一定是常數項為0的關于n的二次函數.(

)(2){an}是等差數列,其前n項和為Sn,{|an|}的前n項和也是Sn.(

)2.當一個數列的前n項和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R,且a≠0)滿足什么條件時,數列的通項公式是分段形式?××提示由等差數列的前n項和的函數特征可知,當c≠0時,數列的通項公式是分段形式.知識點2等差數列前n項和的性質

2.設等差數列{an}的公差為d,Sn為其前n項和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍構成等差數列,且公差為m2d.3.設兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則4.若等差數列{an}的項數為2n,則S2n=n(an+an+1),5.若等差數列{an}的項數為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,6.若{an}為等差數列,則S2n-1=(2n-1)an.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)已知某等差數列共有10項,其奇數項之和為15,偶數項之和為30,則其公差為3.(

)(2)若Sn為等差數列{an}的前n項和,則S3,S6,S9也成等差數列.(

)2.在等差數列{an}中,S2=3,S4=6,則S6=

,數列的公差為d=

.

√×90解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差數列,∴3+(S6-6)=2×3,得S6=9.∵(S4-S2)-S2=22d=0,∴d=0.3.在等差數列{an}中,若a4=10,則S7=

.

70解析

由S2n-1=(2n-1)an,可知S7=7a4=70.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一等差數列前n項和的性質及其應用【例1】

(1)等差數列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則數列{an}的前3m項的和S3m為

.

分析

根據題目的特征,選擇相應的性質求解.210解析

(方法1)在等差數列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,∴30,70,S3m-100成等差數列.

∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.變式探究

規(guī)律方法

利用等差數列前n項和的性質簡化計算(1)在解決等差數列問題時,先利用已知條件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有時運算量大些).(2)如果利用等差數列前n項和的性質或利用等差數列通項公式的性質,可簡化運算,為最優(yōu)解法.(3)設而不求,整體代換也是很好的解題方法.探究點二等差數列前n項和的最值【例2】

在等差數列{an}中,Sn為前n項和,且a1=25,S17=S9.請問數列{an}的前多少項和最大?解

(方法1)設數列{an}的公差為d,∵a1=25,S17=S9,故該數列的前13項和最大,最大值是169.(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴當n≤13時,an>0;當n≥14時,an<0.∴數列的前13項和S13最大.(方法4)由方法1,得數列{an}的公差d=-2.故當n=13時,Sn有最大值.故數列的前13項和S13最大.規(guī)律方法

求等差數列前n項和的最值的方法

[提醒]一個等差數列的前n項和存在最值的條件:一般地,在等差數列{an}中,若a1>0,d<0,則其前n項和Sn有最大值;若a1<0,d>0,則其前n項和Sn有最小值.變式訓練在數列{an}中,an=3n-12,求數列{an}的前n項和Sn的最小值,并指出何時取最小值.探究點三

求數列{|an|}的前n項和問題

【例3】

若等差數列{an}的首項a1=13,d=-4,記Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.分析根據題意求出數列的通項公式,根據通項公式,求出項的正負,根據項的正負,去掉絕對值號后求和.變式探究在本例中,若將條件改為“等差數列{an}的通項公式為an=3n-23”,求數列{|an|}的前n項和Tn.規(guī)律方法

已知等差數列{an},求{|an|}的前n項和的方法:先根據通項公式判斷{an}的各項的正負,然后去掉絕對值號,轉化為等差數列的求和問題.要注意轉化的等價性.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數列前n項和的函數特征;(2)等差數列前n項和的性質.2.方法歸納:性質轉化法求解基本量,前n項和最值的求法,分類轉化法求{|an|}的前n項和.3.注意事項:等差數列前n項和的性質與通項公式的性質的區(qū)別,利用二次函數性質求最值要注意n是正整數的限制,求{|an|}的前n項和分類討論去掉絕對值后,要注意分段求解.學以致用·隨堂檢測全達標1234561.設{an}為等差數列,公差d=-2,Sn為其前n項和.若S10=S11,則a1=(

)A.18 B.20

C.22

D.24B解析

由S10=S11,得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.1234562.等差數列{an}的前n項和記為Sn,若a7的值為確定的常數,則下列各數中也是常數的是(

)A.S7

B.S8

C.S13

D.S15C1234563.數列{an}為等差數列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則實數λ的值是

.

-1解析

等差數列前n項和Sn的形式為Sn=an2+bn(a,b∈R),故λ=-1.1234564.設Sn為等差數列{an}的前n項和,若公差d<0,且a5>0,a6<0,則當Sn取得最

值時,n的值為

.

大5解析

因為公差d<0,所以數列是遞減數列.結合a5>0,可知a1>0,因此Sn有最大值S5,所以n=5.1234565.等差數列{an}的前n項和為Sn,若

=2,則數列{an}的公差d=

.

2解析

因為S5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3=5a3