省優(yōu)課比賽平均變化率王秀彩新沂市王莊中學

[問題1]同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從B處到C處會感覺比較吃力。想想看，為什么？

y/mx/moxBxCyByCABC登山路線[情境1]下圖是一段登山路線。[問題2]“陡峭”是生活用語，如何量化線段BC的陡峭程度呢？yC-yBxC-xB時間3月18日4月18日4月20日日最高氣溫3.5℃18.6℃33.4℃[情境2]某市2004年3月18日到4月20日期間的日最高氣溫記載.溫差15.1℃溫差14.8℃18.63.5o1323433.4t/dT/oCA(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)氣溫曲線聯(lián)想直線？[問題3]你能用數(shù)學語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？yC-yBxC-xB[問題4]如果將上述氣溫曲線看成是函數(shù)y=f(x)的圖象，任取x1，x2

[1，34]，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1，34]上的平均變化率為在區(qū)間[1，x1]上的平均變化率為在區(qū)間[x2，34]上的平均變化率為o1x234xyACy=f(x)x1f(x1)f(x2)f(1)f(34)

你能據(jù)此歸納出“函數(shù)f(x)的平均變化率”的一般性定義嗎？f(34)-f(1)34-1[問題5]下面分別是兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們在區(qū)間[x1，x2

]上平均變化率是否相等？xx1yox2y=f(x)y=g(x)y1y2[結(jié)論]

用平均變化率來量化曲線的陡峭程度是“粗糙不精確”的。[問題6]

如圖，請分別計算氣溫在區(qū)間[1，32]和區(qū)間[32，34]上的平均變化率。18.63.5o1323433.4t/dT/A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)氣溫曲線氣溫在區(qū)間[1，32]上的平均變化率約為0.5；氣溫在區(qū)間[32，34]上的平均變化率為7.4。[問題7]對比本題的運算結(jié)果與氣溫曲線以及氣溫的變化速度，你能發(fā)現(xiàn)“平均變化率”和“曲線陡峭程度”以及“氣溫變化速度”之間有什么對應關(guān)系嗎？xyo124263如圖，分別計算曲線在區(qū)間[1，2]和[2，4]上的平均變化率。曲線在區(qū)間[1，2]上的平均變化率為-3；曲線在區(qū)間[2，4]上的平均變化率為。[結(jié)論]平均變化率的絕對值越大，曲線越陡峭，變量變化的速度越快。平均變化率曲線陡峭程度變量的變化速度數(shù)學化生活化視覺化數(shù)量化=1（kg/月）;例1某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率。W/kg

t/月

o36123.56.58.611解：從出生到第3個月，嬰兒體重的平均變化率為[問題8]本例中兩個平均變化率的數(shù)值不同的實際意義是什么？

從第6個月到第12個月，嬰兒體重的平均變化率為=0.4（kg/月）[練習1]

如圖，水經(jīng)過虹吸管從容器甲流向容器乙，ts后容器甲中水的體積V（ｔ）＝5（單位：），試計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率。

解：在第一個10秒內(nèi)，體積V的平均變化率為[問題9]

容器甲中水的體積V的平均變化率是一個負數(shù),

它的實際意義是什么？

＝－0.25（/ｓ）,即第一個10s內(nèi)容器甲中水的體積V的平均變化率為－0．25／ｓ）。乙甲（例2

已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=-2x，分別計算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上函數(shù)f（x）及g（x）的平均變化率。解：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，-1]上的平均變化率為

同理可得,函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為

2；函數(shù)g（x）在區(qū)間[-3，-1]上的平均變化率為-2；函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為-2．［問題10］從上述例、習題的求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[p,q]上的平均變化率有什么規(guī)律嗎？

［結(jié)論］：一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[p,q]上的平均變化率為直線的斜率k．

[練習2].若函數(shù)f(x)=3x+1,試求f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均變化率。答案：3例3已知函數(shù)，分別計算它在下列區(qū)間上的平均變化率:(1)[1，1.1]；(2)[1，1.01]；(3)[1，1.001]；(4)[1，1.0001]。同理可得:（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，1.001]上的平均變化率為2.001;（4）函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，1.0001]上的平均變化率為2.0001。[探究與思考]當x0逼近1的時候，f(x)在區(qū)間[1，x0]上的平均變化率呈現(xiàn)什么樣的變化？答案：逼近2回顧小結(jié)

本節(jié)課學習的數(shù)學知識有：

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