2021年浙江省中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺壓軸題最后猜想：四邊形

2021年浙江省中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺壓軸題最后猜想：四邊形

L(1)問題呈現(xiàn)：如圖①，在一次數(shù)學(xué)折紙活動中，有一張矩形紙片ABCD,點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在

BC上，小華同學(xué)將這張矩形紙片沿EF翻折得到四邊形c'D'EF,c'F交AD于點(diǎn)H,小華認(rèn)為4EFH

是等腰三角形，你認(rèn)為小華的判斷符合題意嗎？請說明理由.

(2)問題拓展：如圖②，在“問題呈現(xiàn)”的條件下，當(dāng)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)c'落在AD上時(shí)，已知DE=a,

CD=b,CF=c，寫出a、b、c滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)問題應(yīng)用：如圖③，在平行四邊形ABCD中，AB=3,AD=4.將平行四邊形ABCD沿對角線AC

翻折得到4ACE,AE交BC于點(diǎn)F.若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則平行四邊形ABCD的面積為.

圖①圖②圖③

2.(1)(探究證明)某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行

探究，提出下列問題，請你給出證明：

如圖①，在矩形ABCD中，EF1GH,EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,GH分別交AB、DC于

EF_AB,

點(diǎn)G、H求證:

GH一AD'

(2)(結(jié)論應(yīng)用)如圖②，將矩形ABCD沿EF折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，若AB=2,BC=3.求

折痕EF的長；

(3)(拓展運(yùn)用)如圖③，將矩形ABCD沿EF折疊.使得點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)

P處，得到四邊形EFPG,若AB=2,BC=3,EF=亞，請求BP的長.

3

圖①圖②圖③

3.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=5,M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)(不與B,C重合)，

連接MP,PF1MP交CD于點(diǎn)F.點(diǎn)B,關(guān)于MP對稱，點(diǎn)C,C'關(guān)于PF對稱，連接

B'C.

DD

(1)求證：△PFCs/^MPB.

(2)①當(dāng)BP=2時(shí)，B'C'=;

②求B'C的最小值.

(3)是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)B，，C'重合？若存在，請求出此時(shí)M,F的距離；若不存在，請說明理

由.

4.如圖，在AABC中，ZC=90°,且BC,AC,AB是三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，在邊AB上取點(diǎn)M,N(點(diǎn)M

在BN之間)，使BM=3AN.點(diǎn)D,E分別是邊AC,BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向勻速

運(yùn)動到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q恰好從點(diǎn)M出發(fā)沿BA方向勻速運(yùn)動到點(diǎn)N.記QN=x,PD=y,當(dāng)Q為AB中點(diǎn)

時(shí)，y=2.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

(3)①連結(jié)PQ,當(dāng)PQ所在直線與aABC的某一邊所在的直線垂直時(shí)，求所有滿足條件的x的值.②過

點(diǎn)P作PH_LAB于點(diǎn)H,當(dāng)△PQH為等腰三角形時(shí)，求x的值.

5.如圖1,在AABC中，BD為/ABC的平分線，點(diǎn)D在AC上.

(2)如圖2,已知AE為BC邊的中線，且AE=BE.在射線BD上取一點(diǎn)A，使AE=AE,AE交AC于點(diǎn)

F,過點(diǎn)A，作AB的垂線，交BA的延長線于點(diǎn)G,連接EG交BD于點(diǎn)H,連接CH.

①求證：四邊形AGA'F為矩形；

②若tanC=：,△BGH的面積為S,請求出aCEH的面積(用含S的代數(shù)式表示).

6.AABC為等邊三角形，AB=8,ADIBC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為線段AD上一點(diǎn)，AE=2內(nèi)以AE為邊作等邊

三角形AEF,連接CE,N為CE的中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F在直線AC兩側(cè)時(shí)，EF與AC交于點(diǎn)M,連接MN,

①求證：ME=MF;

②求線段MN的長；

(2)將圖1中的aAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，連接BE,MN,DM,

①如圖2,當(dāng)a=90°時(shí)，請直接寫出器的值；

DC.

②連接BN,在AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段BN最大時(shí)，請直接寫出tan/DAN的值.

7.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上的一點(diǎn)(不與B、C重合)，點(diǎn)N在邊CD延長線上，且

滿足NMAN=90°,聯(lián)結(jié)MN,AC,MN與邊AD交于點(diǎn)E.

c__。一v

(1)求證：AM=AN

(2)如果/CAD=2/NAD,求證：AM2=V2AB-AE；

(3)MN交AC點(diǎn)O，若要=k,則黑=(直接寫答案、用含k的代數(shù)式表示).

8.綜合與探究

問題情境

在RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC，點(diǎn)D是射線BC上一動點(diǎn)，連接AD,將線段AD繞點(diǎn)

A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接DE,CE.

(1)探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,BD=CE,BD1CE，請證明；探究猜想；

(2)如圖2,當(dāng)BD=2DC時(shí)，猜想AD與BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)探究拓廣

當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，探究并直接寫出線段BD,DC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.

9.綜合與實(shí)踐.

問題情境：

綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們開展了以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題的數(shù)學(xué)活動.

實(shí)踐操作：

如圖1,將等腰RtaAEF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其中/AEF=90,EA=EF,連

接CF，點(diǎn)H為CF的中點(diǎn)，連接HD,HE,DE，得到ADHE.

(1)應(yīng)用探究：

勤奮組：

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在正方形ABCD的對角線AC上時(shí)，判斷aDHE的形狀，并說明理由；

(2)善思組：

如圖3,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在正方形ABCD的邊AB上時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

深入探究：

(3)創(chuàng)新小組:

發(fā)現(xiàn)若連接BE,在旋轉(zhuǎn)RtZXAEF的過程中，解為定值，請你直接寫出其值_______.

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE1AC于點(diǎn)E,DE的延長線交AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BG〃DF

交DC于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)M.過點(diǎn)G作GNLDF于點(diǎn)N.

(1)求證：四邊形NEMG為矩形；

(2)若AB=26,GN=8,sin/CAB=5，求線段AC的長.

11.已知：正方形ABCD的邊長為4,E是邊CB上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF1DE,交BA的延長線于點(diǎn)F,

EF交對角線AC于點(diǎn)M,DE交AC于點(diǎn)N.

(1)求證：CE=AF;

(2)求證：FM=EM;

(3)隨著點(diǎn)E在邊CB上的運(yùn)動，NA-MC的值是否變化？若不變，請求出NA-MC的值；若變化，請說明

理由.

12.如圖，在折紙游戲中，正方形ABCD沿著BE,BF將BC,AB翻折，使A,C兩點(diǎn)恰好落在點(diǎn)P.

(1)求證：ZEBF=45°.

(2)如圖，過點(diǎn)P作MN//BC,交BF于點(diǎn)Q.

①若BM=5,且MPPN=10,求正方形折紙的面積.

②若QP=：BC,求黑的值.

13.如圖

(1)證明推斷：如圖(1),在正方形ABCD中，點(diǎn)E,Q分別在邊BC,AB上，DQLAE于點(diǎn)O,點(diǎn)G,F

分別在邊CD,AB上,GF1AE.求證：AE=FG;

(2)類比探究：如圖(2),在矩形ABCD中，器=k(k為常數(shù)).將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊

上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPGEP交CD于點(diǎn)H,連接AE交GF于點(diǎn)。.試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

(3)拓展應(yīng)用：在(2)的條件下，連接CP,當(dāng)時(shí)k=[,若tanNCGP=g,GF=2V5,求CP的長.

14.點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB延長線上的一動點(diǎn)，在矩形ABCD外作RtZ\ECF,其中/ECF=90°,

過點(diǎn)F作FG1BC,交BC的延長線于點(diǎn)G,連接DF,交CG于點(diǎn)H.

(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,若AB=AD,CE=CF,猜想線段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是________;

(2)探究：如圖2,若AB=nAD,CF=nCE,貝I](1)中的猜想是否仍然成立？若成立，請給予證明；

若不成立，請說明理由.

(3)拓展：在(2)的基礎(chǔ)上，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，AD=3,AB=4,則直接寫出線段EF的

長.

15.如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作APIAQ,將NPAQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AP交射線CB交于點(diǎn)E,AQ交射線CD

交于點(diǎn)F,連接EF,M為EF的中點(diǎn)，連接BM.

(1)求證：AE=AF;

(2)寫出CF與BM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若BC=4,BE=2,直接寫出BM的長.

16.在矩形ABCD中，AB=2BC,點(diǎn)E是直線AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線BC上的一點(diǎn)，且滿足AE=2CF,連

接EF交AC于點(diǎn)G.

(1)tan/CAB=

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)F在線段BC的延長線上時(shí),

①求證：EG=FG;

②求證：CG=^BE；

4

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，AC與DF相交于點(diǎn)H,

①EG=FG這個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的結(jié)論：

②當(dāng)CF=1,BF=2時(shí)，請直接寫出GH的長.

17.

(1)證明推斷：如圖(1),在正方形ABCD中，點(diǎn)E,Q分別在邊BC,AB上，DQJ.AE于點(diǎn)0,點(diǎn)G,F分

別在邊CD,AB±,GF1AE.求證：FG=AE;

圖(1)

(2)類比探究：如圖(2),在矩形ABCD中，言=|將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處,

得到四邊形EFGP,EP交CD于點(diǎn)H,連接AE交GF于點(diǎn)0.試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

BEC

圖(2)

(3)拓展應(yīng)用：在(2)的條件下，連接CP,若需=GF=2V10,求CP的長.

Dr4

18.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第103頁的部分內(nèi)容.

已知：如圖①，在內(nèi)△ABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線.求證：CD=|AB.

M

圖①圖②

(1)請寫出完整的證明過程.

(2)結(jié)論應(yīng)用：如圖②，BE、CF是銳角AABC的兩條高，M、N分別是BC、EF的中點(diǎn)，判斷EF與MN的

位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)在(2)的條件下，若EF=6,BC=24,則MN的長為.

19.如圖，四邊形ABCD為矩形，G是對角線BD的中點(diǎn).連接GC并延長至F,使CF=GC,以DC、CF為鄰邊

作。DCFE,連接CE.

(1)若四邊形DCFE是菱形，判斷四邊形CEDG的形狀，并證明你的結(jié)論.

(2)在(1)條件下，連接DF,若BC=V5,求DF的長.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形0人8(2是矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)是(8,6),點(diǎn)M為0A邊上的一動點(diǎn)(不

與點(diǎn)0、A重合)，連接CM,過點(diǎn)M作直線1_LCM,交AB于點(diǎn)D,在直線1上取一點(diǎn)E(點(diǎn)E在點(diǎn)M右側(cè))，

使得器=9,過點(diǎn)E作EF〃AO,交B0于點(diǎn)F,連接BE,設(shè)0M=m(0<m<8).

(1)填空：點(diǎn)E的坐標(biāo)為(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)判斷線段EF的長度是否隨點(diǎn)M的位置的變化而變化？并說明理由；

(3)①當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形BCME的面積最小，請求出最小值；

②在x軸正半軸上存在點(diǎn)G,使得AGEF是等腰三角形，請直接寫出3個(gè)符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)(用含m的代

數(shù)式表示).

21.已知等腰RtZXABC和等腰RtZXAEF中，/ACB=/AFE=90°,AC=BC,AF=EF,連接

BE,點(diǎn)Q為線段BE的中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，連接CQ,若AC=8,EF=2a，求線

段CQ的長度.

(2)如圖2,B、A、E三點(diǎn)不在同一條直線上，連接CE,且點(diǎn)F正好落在線段CE上時(shí)，連接CQ、

FQ,求證：CQ=FQ.

(3)如圖3,AC=8,AE=4&，以BE為斜邊，在BE的右側(cè)作等腰RtABEP,在邊CB上取一

點(diǎn)M,使得MB=2,連接PM、PQ,當(dāng)PM的長最大時(shí)，請直接寫出此時(shí)PQ?的值.

22.請完成下面的幾何探究過程:

(1)觀察填空：如圖1,在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,點(diǎn)D為斜邊AB上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)

A,B重合)，把線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連DE,BE,貝I]

①NCBE的度數(shù)為;

②當(dāng)BE=時(shí)，四邊形CDBE為正方形.

(2)探究證明：如圖2,在RtZiABC中，ZC=90°,BC=2AC=4,點(diǎn)D為斜邊AB上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)

A,B重合)，把線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后并延長為原來的兩倍得到線段CE,連DE,BE貝I]：

①在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，請判斷NCBE與/A的大小關(guān)系，并證明；

②當(dāng)CDLAB時(shí)，求證：四邊形CDBE為矩形

(3)拓展延伸：如圖2,在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，若4BCD恰好為等腰三角形，請直接寫出此時(shí)AD的長.

23.探索與應(yīng)用：如圖

圖3

(1)問題解決：如圖1.在平行四邊形紙片ABCD(AD>AB)中，將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B

落在AD上的點(diǎn)B'處，折線AE交BC于點(diǎn)E,連接BE.求證：四邊形ABEB,是菱形.

(2)規(guī)律探索：如圖2,在平行四邊形紙片ABCD(AD>AB)中，將紙片沿過點(diǎn)P的直線折疊，點(diǎn)B

恰好落在AD上的點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，得到折痕FP,那么APEQ是等腰三角形嗎？請說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,在矩形紙片ABCD(AD>AB)中，將紙片沿過點(diǎn)P的直線折疊，得到折痕FP,

點(diǎn)B落在紙片ABCD內(nèi)部點(diǎn)B'處，點(diǎn)A落在紙片ABCD外部點(diǎn)A'處，A'B,與AD交于點(diǎn)M,且A'M

=B'M.已知：AB=4,AF=2,求BP的長.

24.定義：若一個(gè)三角形存在兩個(gè)內(nèi)角之差是第三個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱這個(gè)三角形為關(guān)于第三個(gè)內(nèi)角的“差

倍角三角形”.例如，在AABC中，ZA=100°,ZB=60°,ZC=20°,滿足NA—NB=2/C,所以

△ABC是關(guān)于NC的“差倍角三角形”.

A

Bi

BD

圖1圖2

(1)若等腰AABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的頂角/A的度數(shù);

(2)如圖1,AABC中，AB=3,AC=8,BC=9,小明發(fā)現(xiàn)這個(gè)AABC是關(guān)于/C的“差倍角三角形”.

他的證明方法如下：

證明：在BC上取點(diǎn)D,使得BD=1,連結(jié)AD,(請你完成接下去的證明)

(3)如圖2,五邊形ABCDE內(nèi)接于圓，連結(jié)AC,AD與BE相交于點(diǎn)F,G,AB=BC=DE,AABE是關(guān)于/AEB

的“差倍角三角形”.

①求證：四邊形CDEF是平行四邊形；

②若BF=1,設(shè)AB=x,y=s,D\求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

△AEG

25.如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直

角坐標(biāo)系，已知OA=8,OC=10,將矩形OABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0<a<180°)得到矩形

ODEF.

(1)當(dāng)點(diǎn)E恰好落在y軸上時(shí)，如圖1,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(2)連接AC,當(dāng)點(diǎn)D恰好落在對角線AC上時(shí)，如圖2,連接EC,EO,

①求證：△ECD@AODC;

②求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)M是直線OD與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)N是直線EF與直線BC的交點(diǎn)，若BM=

|BN,請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

26.如圖1,在RtZ^ABC中，/ABC=90°,D,E分別為邊BC,AC上的點(diǎn)，連接DE,過D作DF

_LDE交AC邊于點(diǎn)F(F不與點(diǎn)C重合)，點(diǎn)G為射線DF上一點(diǎn)，連接EG,使/BAC=/DEG=a.

B

B

D

A~CA

圖1G圖2G

(1)連接CG,求證：△DEFs^CGF;

(2)當(dāng)a=45°時(shí)，請?zhí)骄緼E,BD與CG三者滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖2,點(diǎn)M,N分別為EG和AC的中點(diǎn)，連接MN.若tana=2,BD=|CD,AC=10,請直

接寫出MN的最小值.

27.如圖

圖1圖2圖3

(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4.CD_LAB于點(diǎn)D,則CD的長為;

(2)問題探究

如圖2,矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)M、N分別在BD,BC±,求CM+MN的最小值；

(3)問題解決

有一度假山莊，它的平面圖為矩形ABCD,現(xiàn)在山莊管理人員想在山莊內(nèi)找到一點(diǎn)G(點(diǎn)G不在AB、

BC、AD±)與CD共同構(gòu)成一個(gè)三角形的綠化區(qū)，并且度假山莊大門E到點(diǎn)G的距離與到拐角B的距

離相等，如圖3,經(jīng)過測量得知AB=30m,BC=40m,BE=10m,請問綠化區(qū)AGCD的面積是否存

在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

28.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)是(3,3百).

點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿A。向點(diǎn)。運(yùn)動，速度為每秒舊個(gè)單位長度，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B

運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.將4AEF沿直線EF折疊，

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為G點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)點(diǎn)G落在線段OB上時(shí)，t=;當(dāng)點(diǎn)G落在線段CB上時(shí)，t=;

(2)在整個(gè)運(yùn)動過程中，求4EFG與△ABO重疊部分的面積S與t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范

圍；

(3)當(dāng)點(diǎn)G落在線段BC上時(shí)，是否在x軸上存在點(diǎn)N,直線EF上存在點(diǎn)M,使以M、N、F、G為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

29.正方形ABCD的邊長是5,點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，連接BM,將線段BM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到線段ME,在直線AB上取點(diǎn)F,使AF=AM,且點(diǎn)F與點(diǎn)E在AD同側(cè)，連接EF,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在DA延長線上時(shí)，求證：△ADF/^ABM;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，四邊形DFEM是否還是平行四邊形，說明理由；

(3)在(2)的條件下，線段AM與線段AD有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DFEM的面積最大？并求出這

個(gè)面積的最大值.

30.如圖1,正方形ABCD的邊長為5,點(diǎn)E為正方形CD邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BP1AE于點(diǎn)P,將^APB

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得^AP'D,延長BP交p'D于點(diǎn)F,連結(jié)CP.

(1)判斷四邊形的AP'FP的形狀，并說明理由；

(2)若DF=1,求SACPB；

(3)如圖2,若點(diǎn)E恰好為CD的中點(diǎn)時(shí)，請判斷CP與DF的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.

31.已知矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,O),點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)0(0,0),把矩形OABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

135°,得到矩形ODEF,點(diǎn)A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D,E,F.DE交y軸于點(diǎn)M.

圖①圖②

(1)如圖①，求/FOM的大小及OM的長；

(2)將矩形ODEF沿y軸向上平移，得到矩形o'D'E'F',點(diǎn)O,D,E,F的對應(yīng)點(diǎn)分別為

O',D'，E’，F(xiàn)’，設(shè)00'=t(0<t<2)-

①如圖②，直線D'E1與X軸交于點(diǎn)N,若CN〃BO,求t的值；

②若矩形O'D'E'F'與矩形OABC重疊部分面積為S,當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S,

并寫出t的取值范圍(直接寫出答案即可).

32.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2百)，將矩

形OABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到矩形OiABig,點(diǎn)O,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為01,Bi，g.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)5落在對角線OB上時(shí)，連接BCi，四邊形OACiB是何特殊的四邊形？并說明理由；

(3)連接BCi，當(dāng)BJ取得最小值和最大值時(shí)，分別求出點(diǎn)BI的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

33.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(9,0)、B(9,12),點(diǎn)M、N分別是線段OB、AB上的動點(diǎn)，

速度分別是每秒|個(gè)單位、2個(gè)單位，作MH1OA于H.現(xiàn)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)。、A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)

到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒(t>0).

(1)是否存在t的值，使四邊形BMHN為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

(2)是否存在t的值，使AOMH與以點(diǎn)A、N、H為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存

在，說明理由；

(3)是否存在t的值，使四邊形BMHN為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請?zhí)骄繉Ⅻc(diǎn)N的速度

改變?yōu)楹沃禃r(shí)(勻速運(yùn)動)，能使四邊形BMHN在某一時(shí)刻為菱形.

34.如圖所示，BAlx軸于點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,2),將AOAB沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，

平移后的圖形為4EDC.

（1）直接寫出點(diǎn)c和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿“AB-BC一CD”移動，移動到點(diǎn)D停止.若點(diǎn)P的速

度為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動時(shí)間為t秒，回答下列問題：

①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

②用含t的式子表示點(diǎn)P在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)（寫出過程）；

③當(dāng)5秒Vt<7秒時(shí)，四邊形ABCP的面積為4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

35.如圖（1）,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（-1,。），（3,0）,將線段AB先

向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到線段CD，連接AC,BD，構(gòu)成平行四

（3）如圖（2）,點(diǎn)P是線段BD上任意一個(gè)點(diǎn)（不與B、D重合），連接PC、PO,試探索/DCP、

ZCPO,NBOP之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

答案

1.(1)解：小華的判斷是正確的.

在矩形ABCD中，ADIIBC,ZHEF=ZEFC.

由折疊，得NHFE=/EFC,

.'.ZHFE=ZHEF

.-.HE=HF

??.△EFH是等腰三角形

(2)解：a?+b?=c2.

在矩形ABCD中，ZD=90°,

由折疊，得ND'=ZD=90°,D'E=DE=a,C‘D'=CD=b?C'F=CF=c,

由問題呈現(xiàn)，得C'E=C'F=c-

在RtZXc'D'E中，D'E2+c'D'=c'E2>

.,.a2+b2=c2.

(3)3V7

2.(1)證明：如圖①，過點(diǎn)A作AP//EF,交BC于P,過點(diǎn)B作BQ//GH,交CD于Q,BQ交AP

于T.

圖①

?.?四邊形ABCD是矩形，

」.AB//DC,ADIIBC.

四邊形AEFP、四邊形BGHQ都是平行四邊形,

.-.AP=EF,GH=BQ.

又,.?GH_LEF,

.-.AP1BQ,

.-.ZBAT+ZABT=90°.

?.?四邊形ABCD是矩形，

ZABP=ZC=90°,AD=BC,

ZABT+ZCBQ=90°,

ZBAP=ZCBQ,

」.△ABPS/SBCQ,

AP_AB

BQ-BC

EF_AB

GH-AD

(2)解：如圖②中，連接BD.

圖②

???四邊形ABCD是矩形，

??.NC=90°,AB=CD=2,

.*.BD=VBC2+CD2=V32+22=V13,

???D,B關(guān)于EF對稱，

/.BD1EF,

,EF_AB

**BD-AD'

?空_￡

**713—3，

3

(3)解：如圖③中，過點(diǎn)F作FH1EG于H,過點(diǎn)P作PJ1BF于J.

P

圖③

?.?四邊形ABCD是矩形，

.'.AB=CD=2,AD=BC=3,ZA=90°,

2而2

,?二=3，

DG3

?*DG=-\/10)

?,.AG=VDG2-AD2=V10-9=1,

由翻折可知：ED=EG,設(shè)ED=EG=x,

在RtZiAEG中，?/EG2=AE2+AG2,

/.x2=AG2+AE2,

.'.x2=(3-x)2+l,

??.DE=EG=|,

,/FH1EG,

ZFHG=ZHGP=ZGPF=90°,

???四邊形HGPF是矩形，

.,.FH=PG=CD=2,

??EH=^/FF2—FH2=J(^^)2—22=

52

/.GH=FP=CF=EG-EH=---=1,

33'

?e?PF//EG,EA//FB,

AZAEG=ZJPF,

VZA=ZFJP=90°,

/.△AEG^AJFP,

,AE_AG_EG

?由一百一加

PJ=|,

46

/.BJ=BC-FJ-CF=3-1-1=|,

在RtaBJP中，BP=JB『+PJ2=J(|)2+(§2=誓.

3.(1)證明：'.-PFIMP,

ZFPC+ZMPB=90",

?.?ZPMB+ZMPB=90°,

ZFPC=ZPMB,

???ZFCP=ZB,圖2

.?.△PFCsaMPB;

(2)解：①1②如圖2,連接MB，，CM,???M為AB的中點(diǎn)，.?.MB=MB，=2,；.MB，+CB，＞CM,

???當(dāng)點(diǎn)B，在線段CM上時(shí)，CB，有最小值，?.-CM=VBC2+BM2=V25T4=V29,「.CB，的最小值=聞

-2;

(3)解：存在，理由如下：

如圖4,設(shè)B：C重合點(diǎn)為N,連接PN,MN,NF,

AD

???點(diǎn)B,N關(guān)于MP對稱，點(diǎn)C,N關(guān)于PF對稱，

/.BP=PN,PC=PN,MN=BM=2,FN=CF,ZB=ZMNP=90°,ZC=ZPNF=90°,

??.點(diǎn)M,點(diǎn)N,點(diǎn)F三點(diǎn)共線，PB=PC=PN=1,

?/ZMPF=90°,

/.ZMPB+ZFPC=90°=ZMPB+ZBMP,

.*.ZBMP=ZFPC,

又???/B=NC=9(y,

/.△BMPc^ACPF,

BPBM

CFCP'

，CF=/=空，

28

2，41

??.MF=MN+NF=2+—.

88

4.(1)解：設(shè)AC=x,則BC=x-2,AB=x+2,

由勾股定理，得(x—2)2+x2=(x+2)2,解得x=8,或x=0(舍去)，

/.BC=6,AC=8,AB=10.

(2)解：設(shè)AN=a,則BM=3a,y=kx+b,「ED為AABC的中位線，.,.ED=^=5

mm士ZB,x=0,x=10-4arx=5—a

由題意，得｛y=&｛y=()，｛y=2，

把｛y=5，｛y=o，｛y=2代入y=kx+b,

5

b=5a=z

得｛k(10-4a)+b=0,解得｛b=5,，y=-5x+5

k(5—a)+b=2__Z_

=io

(3)解：①

1)當(dāng)PQ1BC時(shí),

四邊形ADPQ為平行四邊形，則DP=AQ,y=a+x,即一看x+5=]+x,

解得x=^；

2）當(dāng)PQ1AC時(shí)，

四邊形PQBE為平行四邊形，則PE=BQ,5-y=10-a—x,即5-（-景+5）=10->x,解得x=^

3）當(dāng)PQ1AB時(shí)（如圖1）,作DH1AB于H,

即5+x-(一9+5)=蔡，解得x=.

/iv0]]9

???當(dāng)*=畏，^，必時(shí)，pQ所在直線與4ABC的某一邊所在的直線垂直.

119119ng

(3)②如圖2,作PH1AB于點(diǎn)H,

AH=|+x-y=y+ADcosA=y+4x把丫=一景+5,代入，得

54

54

-+X++X-

75

(3)②如圖3,作PH1AB于點(diǎn)H,則QH=PH=EBsinB=3xi=y

AH=|+x+y=y+ADcosA=y+4x,把y=-(x+5,代入，得

5+x+9=一各+5+4x±解得x=邇

i5105ng

5.(1)證明：方法1.過點(diǎn)D作

則△ABCs^DMC,Z1=Z2,彳=工

DM_AB

CM=BC

??,BD為/ABC的平分線.?./1=/3

/_2=/_3DM=BM

ADBMDMAB口“ADAB

"CD-CM-CM-BC1CD-BC

方法2.過點(diǎn)C作CM//AB交BD的延長線于點(diǎn)M,通過相似可證.

方法3.過點(diǎn)D作BA,BC的垂線，通過兩個(gè)等高三角形面積比可證.

(2)解：①證明：由題意知，AE=BE=CE

\Z3=Z4,ZBAC=90°g|JAC1AB

又N1=N3,A'G=AB

??.Z1=Z4,AG//AC.".A/E//AB

四邊形AGA'F為平行四邊形

?:A'GlAB/.oAGA，F(xiàn)為矩形

②解：由題意，在RtaABC中，可設(shè)AB=3t,AC=4t,貝ljBC=5t

3,553

EF=-t,AE=-t,.'.AG=AF=-t--t=t

2222

在ABEG中由(1)可得：空=巴=三=三

GHBG3t+t8

「

,「AE為BC邊的中線，，SACEH=SBEH

.SKEH_S^BEH_EH_5

S^BEHS^BGHGH8

_5_5

?

??S^CEH=gSABGH=-S

6.(1)解：①如圖1中，

?「△ABC是等邊三角形，AD1BC,

/.ZCAD=|CAB=30°,

VAAEF是等邊三角形，

?,.AE=AF,ZEAF=60°,

AZEAM=ZFAM=30°,

?,.ME=MF.

②?「AE=AF,EM=MF,

/.AMIEF,

?/AM=AE*cos30°=2遮=3,

??.等邊三角形中AC=AB=8,

.\CM=AC-AM=5,

?「EM=MF=V3,

「.CE=VCM24-ME2=6+(g)2=2夕,

??,CN=NE,

/.MN=IEC=V7.

(2)吟

7.(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

???AB=AD,ZCAD=45°=ZACB,ZBAD=90°=ZCDA=ZB,

???ZBAM+ZMAD=90°,,:ZMAN=90°,

???ZMAD+ZDAN=90°,???ZBAM=ZDAN,

vAD=AB,ZABC=ZADN=90°,

??.△ABM=△ADN(ASA)

???AM=AN;

(2)證明：?.?AM=AN,ZMAN=90°/.ZMNA=45°,

vZCAD=2ZNAD=45°,?,?NNAD=22.5°,

???ZCAM=ZMAN-ZCAD-ZNAD=22.5°,

???ZCAM=ZNAD,ZACB=ZMNA=45°,

AMC?△AEN,

二皆二篇.-.AM-AN=AC-AE,

VAN=AM,AC=V2AB,

???AM2=V2AB-AE;

8.(1)解：由題意得，ZBAC=ZDAE=90°

??,zBAD+zCAD=zCAE+ZCAD

AZBAD=ZCAE

???線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AE

?,.AD=AE

又,「AB=AC,

/.△BAD^ACAE

/.BD=CE,ZB=ZACE=45°

/.ZECD=90°,BD1CE.

(2)解：由(1)得：Z\BAD組4CAE

/.BD=CE,ZB=ZACE=45°

?/CD=iBC,BD=2DC,即BD=：BC,

2

.-.BD=CE=1BC,

,."AD=AE

DE=VAD2+AE2=V2AD

.?.ZB=ZACB=45°

.-.ZBCE=ZACB+ZACE=90°

.-.CD2+CE2=DE2,即?BC)2+(|BC)2=2AD2,

(3)解：如圖，過點(diǎn)A作AM1BC交BC于點(diǎn)M

?/ZBAC=90°,AB=AC

.-.BM=CM=-BC

2

.,.AM=BM=CM—BC

2

.-.AM=|BC=i(BD-CD),DM=CM+CD=|BC+CD=|(BD+CD)

".,AM2+DM2=AD2

(BD-CD)]2+[|(BD+CD)]2=AD2

.-.BD2+CD2=2AD2.

9.(1)解：結(jié)論：ADHE是等腰直角三角形.

理由：如圖2中，

(圖2)

?.?四邊形ABCD是正方形，

.-,ZCDF=90°,NDCA=45°,

???點(diǎn)H是CF的中點(diǎn)，

.-.DH=DH=HF=|CF,

???ZCEF=90°,CH=HF,

.-.EH=CH=HF=|CF,

.-.DH=HE,

?.,DH=CH=HE,

ZHCD=ZHDC,ZHCE=ZHEC,

ZDHF=ZHDC+ZHCD,ZFHE=ZHCE+ZHEC,

ZDHE=2ZDCH+2ZHCE=2ZDCA=90°,

.?.△DHE是等腰直角三角形.

(2)解：如圖3中，結(jié)論成立.

理由：連接BH,過點(diǎn)H作HG_LAB于G.

(圖3)

?.?四邊形ABCD是正方形，/EAF=45°

??.A,F,A共線，

?.?CB=CD,ZBCH=ZDCH=45°,CH=CH,

/.△BCH^ADCH(SAS),

??.DH=BH,ZCDH=ZCBH,

?/ZFEA=ZHGA=ZCBA=90°,

AEF//GH//BC,

.BG_CH

**EG-HF，

???CH=HF,

??.GB=GE,

?/HG1BE,

/.HB=HE,

/.ZHBE=ZHEB,HE=HD,

?/ZCDA=ZCBA=90°,ZCDH=/ABH,

??.ZADH=ZABH=ZHEB,

?/ZHEB+ZAEH=180°,

/.ZADH+ZAEH=180°,

/.ZDHE+ZDAE=180°,

VZDAE=90°,

.-.ZDHE=90°,

.?.△DHE是等腰直角三角形.

⑶在

2

10.(1)解：VDE1AC,GN1DF,

ZGNE=ZMEN=90°,

?.-BG//DF,

ZMGN+ZGNE=180°,

.-.ZMGN=90°,

二.四邊形NEMG是矩形.

(2)解：???四邊形NEMG是矩形，GN=8,

ZAMB=ZAMG=90°,ME=GN=8,

?.?sinZCAB=卷，AB=26,

AB-sinZCAB=10,

-',AM=VAB2-MB2=24,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AB//CD,AB=CD,

ZCAB=ZACD,

ZBMA=ZDEC

在AABM和aCDE中，｛/CAB=/_ACD，

AB=CD

/.AABM^ACDE,

?,.CE=AM=24,

/.AC=AM+CE-ME=24+24-8=40.

11.(1)解：??.四邊形ABCD是正方形，

/.DC=DA,ZDCE=ZDAF=90°,

XVZCDE+ZADE=90°ADF+/ADE=90°,

ZCDE=ZADF,

/.△ECD=△FAD(ASA)

/.CE=AF.

(2)解：作EI〃AB,交AC于點(diǎn)I,連接DM,

?「△ECD會△FAD,DF1DE,

/.DF=DE,ZFDE=90°,

則4FDE為等腰直角三角形.

;AC為正方形對角線，ZIEC=ZB=90°,

AZEIC=ZECI=45°,

/.CE=IE,

又??FA=CE,

/.FA=EI,

,/EI//FA,

/.ZIEM=ZAFM,ZEIM=ZFAM,

/.△FAM=AEM(ASA),

??.FM=ME.

(3)解：不變

由(1),(2)可知4FDE為等腰直角三角形，F(xiàn)M=EM,

/.DM1FE,ZMDE=ZMDF=45°,

ZDNA=45°+/CDN=ZMDE+ZCDN=ZMDC,

又.「NDAN=ZDCM=45°,

/.△ANDCDM.

.AN_AD

?，CD-CM，

.*.NAMC=ADCD=4x4=16.

12.(1)證明：??,正方形ABCD沿著BE,BF將BC,AB翻折，使A,C兩點(diǎn)恰好落在點(diǎn)P.

「.△ABF々△PBF,ABPE^ABCE,

?,.AE=A'E,BE=B'E,ZPBF=、ABP,ZPBE=j/PBC,

??.ZEBF=ZPBF+ZPBE=j(/ABP+ZCBP)=|zCBA=45°

(2)解：①由折疊的性質(zhì)可得NBPE=/C=90。，

.\ZMPB+ZNPE=90°,

VMN//BC,正方形ABCD

四邊形MBCN為矩形，

/.ZPMB=ZENP=90°,BM=CN=5;

AZMPB+ZMBP=90°,

/.ZNPE=ZMBP,

/.△MBP^ANPE,

.PM_BM

??NE-PN'

/.PM-PN=BM-NE

,/BM=5,且MPPN=10,

/.NE=2,

/.CE=PE=3,

「?PN=VPE2-NE2=V32-22=V5,

APM=2V5

.'.MN=AD=3遍

正方形折紙的面積=AD2=45;

②由折疊可知/AFB=/BPE,AF=PF,

,/AD//MN

/.ZAFB=ZFQP,

/.ZBPE=ZFQP,

.-.PF=QP=jBC=AF,

.-.AF=FD=|BC,

設(shè)EC=x,則DE=DC-x=BC-x;PE=x,

.?,在直角三角形DEF中，EF2=DF2+DE2

.-.(lBC+x)2=(iBC)2+(BC-x)2,

—Be,

，PE=CE=]BC，

???EF=\BC,

?.-AD//MN

.-.△MBP^ANPE,

PNPE2

DFEF5'

?."AF=FD=|BC,

???PN=4BC,

113

MQ=MN-PQ-PN=BC-2BC-5BC=wBC?

?.-AD//MN

.-.△MBQooAABF,

.BM=MQ=^BC=3

?.AB—AF一掃C-5'

,AM_2

?'BM一3

13.(1)證明：??.四邊形ABCD是正方形,

?,.AB=DA,ZABE=90°=/DA