《圓的極坐標方程》教學設計(部級優(yōu)課)-數(shù)學教案

4.2圓的極坐標方程如皋市搬經(jīng)中學章杰【教學目標】1.了解直角坐標方程與極坐標方程的聯(lián)系與區(qū)別，掌握求曲線極坐標方程的步驟；2.掌握求圓的極坐標方程的方法；3.會進行圓的直角坐標方程和極坐標方程的相互轉(zhuǎn)化.4.讓學生體會類比的思想，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法【教學重點】圓的極坐標方程的求法和直角坐標方程與極坐標方程的互相轉(zhuǎn)化.【教學難點】在極坐標系中求圓的極坐標方程.【教學方式】啟發(fā)式、探究式【教學設計】活動一、復習引入（創(chuàng)設情境）引導學生回憶在直角坐標系下，曲線方程的定義師：在平面直角坐標系下，曲線方程可以用表示，曲線的方程是如何定義的？生：（1）曲線上的點的坐標都是方程（2）以方程的解為坐標的點都在曲線上，那么這條曲線叫做方程的曲線，這個方程叫做曲線的方程.師：求曲線的方程的基本步驟是什么？生：建系---設點---列式----化簡-----檢驗作答活動二、概念引入（探索發(fā)現(xiàn)）師：在直角坐標系中，垂直于軸和軸的直線可以用方程（為常數(shù)）表示，那么，在極坐標系中，以極點為圓心，1為半徑的圓可以用什么方程來表示呢？生1：可以用生2：極坐標系任意一點的坐標可以用表示，也可以用表示，所以也可以用來表示.思考：1.滿足方程的所有的點都在圓上嗎？2.圓上所有的點的極坐標都滿足方程嗎？生：第一點滿足，但第二點不滿足，比如說點在圓上，但不滿足方程.師：通過以上問題的討論，類比直角坐標系下曲線方程的定義，同學們能總結(jié)出在極坐標系下曲線方程的定義嗎？生：一般地，在極坐標系下，如果平面曲線上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程，并且坐標適合方程的點都在曲線上，那么方程叫做曲線的極坐標方程.師：極坐標系下曲線方程的定義和直角坐標系下曲線方程的定義有什么區(qū)別和聯(lián)系？生：直角坐標系下點的坐標和方程的解是一一對應的關(guān)系，在極坐標系下點的坐標與方程的解不是一一對應的關(guān)系.師：說得非常準確，但我們讓極坐標系中的點滿足“”就滿足一一對應的關(guān)系了，為了研究的方便，以后我們寫點的極坐標方程時就滿足.設計意圖：通過這個環(huán)節(jié)讓學生理解直角坐標系和極坐標中曲線方程的區(qū)別和聯(lián)系.讓學生體會類比的思想.活動三、求圓的極坐標方程例1：在極坐標系中,半徑為a的圓的圓心坐標為C(a,0)(a>0),求圓C的極坐標方程.解：如圖，圓經(jīng)過極點設圓與極軸的另一個交點為則有設為圓上除點以外的任意一點，則在中，即經(jīng)檢驗，點滿足方程所以，所求圓的極坐標方程為(）討論：1.圓心為半徑為1，求圓的極坐標方程；()2.圓心為，半徑為1，求圓的極坐標方程；()3.圓心為，半徑為1，求圓的極坐標方程；()完成上述3個問題，小組討論1、2、3題對應的方程與的關(guān)系，以及它們圖像之間的關(guān)系思考：1.2.3個問題中的方程和曲線有什么關(guān)系？生：由繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)（為負角時順時針旋轉(zhuǎn)）得到.圓心為,半徑為，求圓的極坐標方程.學生板演，并講解解題思路.解：在圓上任取一點，連接,在中所以，由余弦定理得即小結(jié)：1.如何求圓的極坐標方程生：在極坐標系下求圓的極坐標方程就是確定和的等量關(guān)系，涉及到角度和長度的問題，其本質(zhì)是尋找三角形中的邊角關(guān)系，轉(zhuǎn)化成解直角或斜三角形的問題.2.求曲線的極坐標方程的基本步驟（1）建立適當?shù)臉O坐標系；（2）在曲線上任取一點（3）根據(jù)曲線上的點滿足的條件寫出等式；（4）用極坐標表示上述等式，并化簡得到極坐標方程；（5）證明所得的方程是曲線的極坐標方程.練習1：按下列要求寫出圓的極坐標方程:（1）以為圓心，半徑為的圓；（2）以為圓心，且過極點的圓；（3）以極點與點連接的線段為直徑的圓；（4）圓心在極軸上，且過極點與點的圓.前三題口答，第四題請兩位同學板演，展示兩種方法，一種在極坐標系下運用幾何性質(zhì)求解，另一種先求出圓的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化成極坐標方程.活動四、圓的極坐標方程和直角坐標方程的互相轉(zhuǎn)化例2：將化成直角坐標方程.解：等式兩邊同時乘以，得到因為所以，即例3：將方程化成極坐標方程，并指出圓心和半徑.解：因為所以即或經(jīng)檢驗練習2：已知一個圓的極坐標方程是，