數(shù)學(xué)分析復(fù)習(xí)總結(jié)-隱函數(shù)的幾何應(yīng)用和條件極值

《數(shù)學(xué)分析》(下)復(fù)習(xí)總結(jié)——幾何應(yīng)用、條件極值幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線設(shè)平面曲線由方程 (1)給出，它在點的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理條件，于是在附近所確定的連續(xù)可微隱函數(shù)和方程(1)在附近表示同一曲線，從而該曲線在點處存在切線和法線，其方程分別為與 (或)由于 (或)所以曲線(1)在點處的切線和法線方程為切線:法線： 例題例1：求曲線在點（1,1）處的切線方程和法線方程。解： 令 ，則 ，，所以該曲線在點(1,1)處的法向量為,于是求得切線和法線分別為切線方程：,法線方程：二、空間曲線的切線和法平面(一)空間曲線(光滑)L:設(shè)曲線某一點，這里的,并假定式中的三個函數(shù)在處可導(dǎo)，且 ，在曲線L上點附近選取一點，于是連接L上的點與的割線方程為：其中以除上式各分母，得當(dāng)時，，且即得曲線在處的切線和法平面方程為切線:法平面:如果空間曲線的方程為L：，則它在處的切線方程為法平面方程為例題例1:求曲線,,在點(1)；(2)處的切線及法平面方程. 解：(1)切線:即(嚴(yán)格表示)法平面：即 (2) 切線: 法平面:即例2:求曲線在點處切線及法平面方程.解:的參數(shù)方程將兩邊對求導(dǎo)即 (1)解方程組(1)得 切線:法平面:即三、空間曲面的切平面與法線曲面由方程給出，它在點處的切平面方程為：法線方程為：特別,當(dāng)光滑曲面的方程為顯式時,令則在點故當(dāng)函數(shù)在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時,曲面切平面方程為：法線方程為：例題例1：求旋轉(zhuǎn)拋物面在點P（2，1，4）的切平面，法線方程，關(guān)鍵法向量.解：設(shè)(隱顯)切平面:即法線:例2：求曲面平行于z=2x+2y的切平面方程.解：設(shè)，切點為，曲面在點處的法向量為，曲面在點處的切平面方程為曲面在點處的切平面方程為又與已知平面z=2x+2y平行，因此 切點坐標(biāo)為所求切平面方程為條件極值關(guān)于條件極值的求解問題一般是求函數(shù)的最大值與最小值問題。所以，通常的思路就是我們只需求出穩(wěn)定點，然后由實際問題來確定它所對應(yīng)的函數(shù)是否最值，是最大值還是最小值。以往所討論的極值問題，其極值點的搜索范圍是目標(biāo)函數(shù)的定義域，但是另外還有很多極值問題，其極值點的搜索范圍還會受到各自不同的條件的限制。例如，要設(shè)計一個容器為V的長方形開口水箱，當(dāng)水箱的長、寬、高各為多少時，其表面積最?。吭谶@個問題中，我們設(shè)水箱的長、寬、高分別為x,y,z，則所要求的表面積就為 S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy根據(jù)題意可知，表面積函數(shù)的自變量不僅要滿足定義域的要求（即x>0，y>0，z>0），而且還要滿足約束條件:水箱的體積為V,即 xyz=V像這類含有約束條件的極值問題稱為條件極值問題；而不帶約束條件的極值問題則稱為無條件極值問題。條件極值問題的一般形式：在條件組 ，k=1,2,…,m(m<n)（1）的限制下，求目標(biāo)函數(shù) （2）的極值。過去遇到這樣的極值問題時，通常是用消元法將條件極值問題化為無條件極值問題來求解。利用約束條件組，將變元帶入目標(biāo)函數(shù)，然后求出穩(wěn)定點，最后再判定在此穩(wěn)定點上目標(biāo)函數(shù)是有最大值還是最小值。但是，在一般情況下，當(dāng)有較多自變量時利用條件組（2）解出m個變元不總是可能的。所以在本節(jié)中，要介紹的拉格朗日乘數(shù)法就是一種不直接依賴消元來求解條件極值問題的很有效的方法。下面是拉格朗日乘數(shù)法的推導(dǎo)過程。我們先從,均為二元函數(shù)這一簡單情況入手。要求函數(shù)z=f(x,y) （3）的極值，其中（x,y）受條件C: （4）的限制。若把條件C看作(x,y)所滿足的曲線方程，并設(shè)C上的點為f在條件（4）下的極值點，且在點的某領(lǐng)域內(nèi)方程（4）能唯一確定可微的隱函數(shù)y=g(x),則必定也是z=f(x,g(x))=h(x)的極值點。所以由f在可微，g在可微，得到 (5)而當(dāng)滿足隱函數(shù)定理條件時 (6)將（6）帶入（5）后就可以得到 (7)在幾何意義上，關(guān)系式（7）表示曲面的等高線與曲線C在點處具有公共切線（如下圖）(b)從而存在某一常數(shù)，使得在處滿足 (8)如果引入輔助變量和輔助函數(shù) (9)則（8）中三式就為這樣條件極值問題（3），（4）就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)（9）的無條件極值問題。這種方法稱為拉格朗日乘數(shù)法。（9）中的函數(shù)L稱為拉格朗日函數(shù)，輔助變量稱為拉格朗日乘數(shù)。對于由（1），（2）兩式所表示一般條件極值問題的拉格朗日函數(shù)為 (10)其中為拉格朗日乘數(shù)，并有以下定理：定理設(shè)在條件（1）的限制下，求函數(shù)（2）的極值問題，其中f與在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏函數(shù)。若D是內(nèi)點是上述問題的極值點，且雅克比矩陣的秩為m，則存在m個常數(shù)，使得為拉格朗日函數(shù)（10）的穩(wěn)定點，即為下述n+m個方程：的解。例題例1：設(shè)計一個容量為V的長方形開口水箱，試問水箱的長、寬、高等于多少時，其表面積最?。拷猓涸O(shè)水箱的長、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy，其限制條件 為x>0,y>0,z>0,xyz=V。 (1)法1：（消元法）由條件(1)解出，并代入函數(shù)S(x,y,z)中，得 ，然后按，求出穩(wěn)定點x=y=，并有，最后判定在此穩(wěn)定點上取得最小面積。法2：（拉格朗日法）這時所求拉格朗日函數(shù)是：L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(xyz-V)，對L求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0：Lx=2z+y+λyz=0，Ly=2z+x+λxz=0， Lz=2(x+y)+λxy=0，Lλ=xyz-V=0， (2)求方程組(2)的解，得x=y=2z=，λ= (3)依題意，所求水箱的表面積S在限制條件(1)下確實存在最小值，由(3)知， 當(dāng)高為，長和 寬為高的2倍時，表面積S最小，最小值S=3。例2：拋物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一個橢圓，求這個橢圓到原點的最長與最短距離。解：這個問題實質(zhì)上是求函數(shù)f(x,y,z)=x2+y2+z2在條件x2+y2_z=0及x+y+z-1=0下的最大、最小值問題。應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)L(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-1)對L求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0，則Lx=2x+2xλ+μ=0，Ly=2y+2yλ+μ=0，Lz=2z-λ+μ=0，Lλ=x2+y2-z=0，Lμ=x+y+z-1=0，求得此方程組的解為：,, (1)就是拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,λ,μ)的穩(wěn)定點，且所求的條件極值點必在其中取 得，由 于所求問題存在最大值與最小值（因為函數(shù)f在有界閉集｛（x,y,x)|x2+y2=z,x+y+z=1｝上連續(xù)，從而必存在最大值與最小值），故由f(，，2)所求得的兩個