《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)報(bào)告

課程設(shè)計(jì)報(bào)告課程設(shè)計(jì)題目：牛頓迭代法求解非線(xiàn)性方程組學(xué)生姓名：專(zhuān)業(yè)：班級(jí)：指導(dǎo)教師：題目：在化學(xué)工程中常常研究在一個(gè)封閉系統(tǒng)中同時(shí)進(jìn)行的兩種可逆反應(yīng)其中A，B，C和D代表不同的物質(zhì)。反應(yīng)達(dá)到平衡是有如下的平衡關(guān)系：其中稱(chēng)為平衡常數(shù)，代表平衡狀態(tài)時(shí)該物質(zhì)的濃度。假定反應(yīng)開(kāi)始時(shí)各種物質(zhì)的濃度為：而且反應(yīng)達(dá)到平衡時(shí)，由第一和第二種反應(yīng)生成的C物質(zhì)濃度分別為，于是平衡時(shí)滿(mǎn)足的方程為：用數(shù)值方法求解上述方程。所涉及的知識(shí)——非線(xiàn)性方程組解法。一、摘要在matlab環(huán)境下運(yùn)用編程語(yǔ)言通過(guò)牛頓迭代法求解非線(xiàn)性方程組的理論基礎(chǔ)對(duì)非線(xiàn)性方程組求根，編寫(xiě)牛頓迭代法的程序，在運(yùn)行完程序后對(duì)運(yùn)行結(jié)果做出各方面的分析和比較，最后對(duì)此方法做出評(píng)估。二、設(shè)計(jì)目的用Matlab7.1軟件求出二元非線(xiàn)性方程組；了解如何用牛頓迭代法求解非線(xiàn)性方程組；掌握牛頓迭代法求解非線(xiàn)性方程組的原理；提高我們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件編程解決問(wèn)題的能力。三、理論基礎(chǔ)牛頓迭代法：非線(xiàn)性方程組寫(xiě)成向量形式F（x）=0,這里，。求解問(wèn)題，即是求，使?jié)M足F()=0，為了求F(x)=0的解，等價(jià)形式為，其中，的不動(dòng)點(diǎn)，就是F(x)=0的解。適當(dāng)選取初始向量，作迭代，若的每個(gè)分量對(duì)變量是連續(xù)的，則當(dāng)｛｝收斂時(shí)，其極限就是的不動(dòng)點(diǎn)。取，那么當(dāng)為非奇異矩陣，則與F(x)=0等價(jià)。當(dāng)取A(x)=A，detA0時(shí)，迭代。若充分接近，則迭代收斂于。取，其中為F(x)的Jacobi矩陣。此時(shí)，F(xiàn)(x)=0的等價(jià)形式為，而在F(x)=0的解x=處，有=0，只要充分接近，迭代收斂于，上述迭代式稱(chēng)為牛頓迭代法。四、程序代碼及運(yùn)算結(jié)果程序代碼：Jacobi矩陣：symsx1x2;y1=0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2;y2=0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1;y=[diff(y1,x1)diff(y1,x2);diff(y2,x1)diff(y2,x2)]運(yùn)行結(jié)果：y=[-1/625*(50-2*x1)*(20-x1)-1/2500*(50-2*x1)^2-1,-1][-1,-161/50+37/500*x2]主程序代碼：functiony=fc(x)y(1)=0.0004*(50-2*x(1))^2*(20-x(1))-5-x(1)-x(2);y(2)=0.037*(50-x(2))*(10-x(2))-5-x(2)-x(1);y=[y(1)y(2)];functiony=df2(x)y=[-1/625*(50-2*x(1))*(20-x(1))-1/2500*(50-2*x(1))^2-1-1;-1-161/50+37/500*x(2)];symsx1;x0=[12]x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0));n=1;while(norm(x1-x0)>=1.0e-4)&&(n<=1000)x0=x1;x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0));n=n+1;endx1n運(yùn)行結(jié)果：x1=3.68973.1615n=1x0=33x1=3.68973.1615n=3x0=12x1=3.68973.1615n=4用Matlab內(nèi)部函數(shù)編寫(xiě)程序：functionf=group(x)f=[0.0016*x(1)^3-0.112*x(1)^2+3.6*x(1)+x(2)-15;0.037*x(2)^2-3.22*x(2)-x(1)+13.5];[x,fval]=fsolve('group',[22])運(yùn)行結(jié)果：x=3.68973.1615fval=1.0e-009*-0.12190.0045用Matlab畫(huà)出非線(xiàn)性方程組解的圖形：ezplot('0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2')holdonezplot('0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1')text(0,-2,'0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2')text(-4,4,'0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1')title('非線(xiàn)性方程組的解')運(yùn)行結(jié)果：圖1非線(xiàn)性方程組解的圖形五、結(jié)果分析根據(jù)牛頓迭代法求非線(xiàn)性方程組的原理將所求的非線(xiàn)性方程組先化為一般的標(biāo)準(zhǔn)形式，求出它的Jacobi矩陣，然后再用牛頓迭代公式計(jì)算出我們所要求的函數(shù)值。牛頓迭代法是求解非線(xiàn)性方程組的一個(gè)重要的方法之一，其最大的有點(diǎn)是收斂速度快，具有平方收斂，常常能快速的求出其他方法求不出或很難求出的解。根據(jù)本文的分析，利用牛頓迭代法求解非線(xiàn)性方程組，代入接近精確解的初值，其每次收斂到精確解的次數(shù)都很少，可見(jiàn)其收斂速度較快。使用牛頓迭代法時(shí)要計(jì)算它的Jacobi矩陣，顯然有時(shí)候工作量會(huì)很大，并且要求它的Jacobi矩陣非奇異，如果奇異或者病態(tài)，會(huì)導(dǎo)致解非線(xiàn)性方程組失敗或產(chǎn)生的數(shù)值不穩(wěn)定。對(duì)于本文用的牛頓迭代法求解非線(xiàn)性方程組的過(guò)程，其迭代次數(shù)少，所求出的結(jié)果誤差也比較小。六、設(shè)計(jì)心得七、參考文獻(xiàn)[1]孫祥，徐流美，吳清.Matlabl7.0基礎(chǔ)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.[2]奚梅成.數(shù)值分析方法.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2003.[3]丁麗娟，程杞元.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：北