河南省鄭州市管城區(qū)紫荊中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市管城區(qū)紫荊中學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每小題3分，共30分）1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝02．下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形 B．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 C．一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形3．關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說(shuō)法不正確的是（）A．四條邊相等 B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線相等 D．是軸對(duì)稱圖形4．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5．在一只暗箱里放有a個(gè)除顏色外其他完全相同的球，這a個(gè)球中紅球只有3個(gè)，每次將球攪拌均勻后，任意摸出1個(gè)球記下顏色再放回暗箱．通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，那么可以推算a大約是（）A．15 B．12 C．9 D．46．已知關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣2，則另一個(gè)根為（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣57．歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：畫(huà)Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝．則該方程的一個(gè)正根是（）A．AC的長(zhǎng) B．AD的長(zhǎng) C．BC的長(zhǎng) D．CD的長(zhǎng)8．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加．2017年至2019年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元．設(shè)我國(guó)2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A．5000（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75009．盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個(gè)小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，1，2，從中隨機(jī)取出一個(gè)，其上的數(shù)字記為k，放回后再取一次，其上的數(shù)記為b，則函數(shù)y＝kx+b是增函數(shù)的概率為（）A． B． C． D．10．如圖，在矩形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，DM．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AM，垂足為E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，則BM的長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．關(guān)于x的方程mx2﹣2x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是．12．三張外觀相同的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，從中隨機(jī)一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是．13．如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．14．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接EC，DF，點(diǎn)G、H分別是EC、DF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE＝2，點(diǎn)F在AD上，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．解下列方程：（1）2x（x+1）＝x+1；（2）（x+3）（x+7）＝﹣2．17．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0求證：（1）方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若等腰△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．求△ABC的周長(zhǎng)．18．為了解某校落實(shí)新課改精神的情況，現(xiàn)以該校某班的同學(xué)參加課外活動(dòng)的情況為樣本，對(duì)其參加“球類”“繪畫(huà)類”“舞蹈類”“音樂(lè)類”“棋類”活動(dòng)的情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．（1）參加音樂(lè)類活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為人，參加球類活動(dòng)的人數(shù)的百分比為；（2）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若該校學(xué)生共1600人，那么參加棋類活動(dòng)的大約有多少人？（4）該班參加舞蹈類活動(dòng)4位同學(xué)中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分別F，G，H表示），現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取兩名同學(xué)組成舞伴，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀的方法求恰好選中一男一女的概率．19．“疫情”期間，李晨在家制作一種工藝品，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行線上銷售．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)是40元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出3件，設(shè)該商品的售價(jià)為x元/件（20≤x≤40）．（1）請(qǐng)用含售價(jià)x（元/件）的代數(shù)式表示每天能售出該工藝品的件數(shù)；（2）已知每件工藝品需要20元成本，每天銷售該工藝品的純利潤(rùn)為900元．①求該商品的售價(jià)；②為了支持“抗疫”行動(dòng)，李晨決定每銷售一件該工藝品便通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)自動(dòng)向某救助基金會(huì)捐款0.5元，求李晨每天通過(guò)銷售該工藝品捐款的數(shù)額．20．如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．21．如圖，把一個(gè)矩形ABCD劃分成三個(gè)全等的小矩形．（1）若原矩形ABCD的長(zhǎng)AB＝6，寬BC＝4．問(wèn)：每個(gè)小矩形與原矩形相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若原矩形的長(zhǎng)AB＝a，寬BC＝b，且每個(gè)小矩形與原矩形相似，求矩形長(zhǎng)a與寬b應(yīng)滿足的關(guān)系式．22．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4cm，∠ACB＝90°，動(dòng)點(diǎn)F在BC的垂直平分線DG上從D點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向左勻速移動(dòng)，DG交BC于D，交AB于E，連接CE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t＝6s時(shí)，求證：△ACE≌△EFA．（2）填空：①當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形ACDF為矩形；②在（1）的條件下，當(dāng)∠B＝時(shí)，四邊形ACEF是菱形．23．如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）證明：不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE＝CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，探討四邊形AECF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最小）值．

參考答案一、單選題（每小題3分，共30分）1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．解：A、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故A錯(cuò)誤；B、ax2+bx+c＝0，a＝0時(shí)是一元一次方程，故B錯(cuò)誤；C、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故C正確；D、+﹣2＝0是分式方程，故D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．2．下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形 B．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 C．一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形【分析】A、根據(jù)正方形的判定方法進(jìn)行判斷；B、根據(jù)平行四邊形的判定方法判斷即可；C、根據(jù)平行四邊形的判定方法判斷即可；D、根據(jù)菱形的判定方法進(jìn)行判斷．解：A、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、當(dāng)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等時(shí)，該四邊形可能為等腰梯形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．C、由一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等可得另一組對(duì)邊平行，所以是平行四邊形，故C選項(xiàng)正確．D、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形、菱形、正方形的判定，注意間接條件的應(yīng)用．在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形、菱形和正方形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．3．關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說(shuō)法不正確的是（）A．四條邊相等 B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線相等 D．是軸對(duì)稱圖形【分析】由菱形的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：A．菱形的四條邊相等，故選項(xiàng)A不符合題意，B．菱形的對(duì)角線互相垂直，故選項(xiàng)B不符合題意，C．菱形的對(duì)角線不一定相等，故選項(xiàng)C符合題意，D．菱形是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．解：∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴＝，∴DE＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．5．在一只暗箱里放有a個(gè)除顏色外其他完全相同的球，這a個(gè)球中紅球只有3個(gè)，每次將球攪拌均勻后，任意摸出1個(gè)球記下顏色再放回暗箱．通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，那么可以推算a大約是（）A．15 B．12 C．9 D．4【分析】紅球的個(gè)數(shù)為3，而摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，據(jù)此即可求得a的值．解：根據(jù)題意，球的總個(gè)數(shù)a約為3÷20%＝15（個(gè)），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．6．已知關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣2，則另一個(gè)根為（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣2，可以設(shè)出另一個(gè)根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求得另一個(gè)根的值，本題得以解決．解：∵關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣2，設(shè)另一個(gè)根為m，∴﹣2+m＝，解得，m＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)比值的相反數(shù)．7．歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：畫(huà)Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝．則該方程的一個(gè)正根是（）A．AC的長(zhǎng) B．AD的長(zhǎng) C．BC的長(zhǎng) D．CD的長(zhǎng)【分析】表示出AD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．解：畫(huà)Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝，設(shè)AD＝x，根據(jù)勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），∵Δ＝a2+4b2＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根之積為﹣b2＜0，即方程的根一正一負(fù)，則該方程的一個(gè)正根是AD的長(zhǎng)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．8．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加．2017年至2019年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元．設(shè)我國(guó)2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A．5000（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2017年的快遞業(yè)務(wù)量×（1+增長(zhǎng)率）2＝2019年的快遞業(yè)務(wù)量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．解：設(shè)我國(guó)2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：5000（1+x）2＝7500，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．9．盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個(gè)小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，1，2，從中隨機(jī)取出一個(gè)，其上的數(shù)字記為k，放回后再取一次，其上的數(shù)記為b，則函數(shù)y＝kx+b是增函數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及滿足k＞0的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中滿足k＞0的結(jié)果有：（1，﹣1），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），共6種，∴函數(shù)y＝kx+b是增函數(shù)的概率為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在矩形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，DM．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AM，垂足為E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，則BM的長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．【分析】由AAS證明△ABM≌△DEA，得出AM＝AD，證出BC＝AD＝3EM，連接DM，由HL證明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM＝CM，因此BC＝3CM，設(shè)EM＝CM＝x，則BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠AMB＝∠DAE，∵DE＝DC，∴AB＝DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝3EM，在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM＝CM，∴BC＝3CM，設(shè)EM＝CM＝x，則BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，解得：x＝，∴BM＝；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．關(guān)于x的方程mx2﹣2x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是m＜且m≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式的意義可得Δ＝4﹣12m＞0且m≠0，求出m的取值范圍即可．解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＞0且m≠0，∴4﹣12m＞0且m≠0，∴m＜且m≠0，故答案為：m＜且m≠0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．12．三張外觀相同的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，從中隨機(jī)一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是．【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的情況，再利用概率公式即可求得答案．解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3有2種情況，∴兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3概率＝．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．解題的關(guān)鍵是要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．【分析】利用平行線分線段成比例定理求解．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．14．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接EC，DF，點(diǎn)G、H分別是EC、DF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為．【分析】連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF＝2，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．解：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴AE＝CF＝4＝2，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，在△PDH和△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝2，∴AP＝AD﹣PD＝2，∴PE＝＝2，∵點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，∴GH＝EP＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE＝2，點(diǎn)F在AD上，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為4或4．【分析】①當(dāng)AF＜AD時(shí)，由折疊的性質(zhì)得到A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，過(guò)E作EH⊥MN于H，由矩形的性質(zhì)得到MH＝AE＝2，根據(jù)勾股定理得到A′H＝＝，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；②當(dāng)AF＞AD時(shí)，由折疊的性質(zhì)得到A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，過(guò)A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DH＝AG，HG＝AD＝6，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：①當(dāng)AF＜AD時(shí)，如圖1，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上，則A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，設(shè)MN是BC的垂直平分線，則AM＝AD＝3，過(guò)E作EH⊥MN于H，則四邊形AEHM是矩形，∴MH＝AE＝2，∵A′H＝＝，∴A′M＝，∵M(jìn)F2+A′M2＝A′F2，∴（3﹣AF）2+（）2＝AF2，∴AF＝2，∴EF＝＝4；②當(dāng)AF＞AD時(shí)，如圖2，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上，則A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，設(shè)MN是BC的垂直平分線，過(guò)A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，則四邊形AGHD是矩形，∴DH＝AG，HG＝AD＝6，∴A′H＝A′G＝HG＝3，∴EG＝＝，∴DH＝AG＝AE+EG＝3，∴A′D＝＝6，∴A′D＝A′F，此時(shí)D與F重合，∴EF＝＝4，綜上所述，折痕EF的長(zhǎng)為4或4，故答案為：4或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換﹣折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．解下列方程：（1）2x（x+1）＝x+1；（2）（x+3）（x+7）＝﹣2．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先整理成一般式，再利用配方法求解即可得．解：（1）∵2x（x+1）＝x+1，∴2x（x+1）﹣（x+1）＝0，∴（x+1）（2x﹣1）＝0，則x+1＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝0.5；（2）方程整理，得：x2+10x+23＝0，∴x2+10x＝﹣23，則x2+10x+25＝﹣23+25，即（x+5）2＝2，∴x+5＝±，∴x1＝﹣5+，x2＝﹣5﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．17．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0求證：（1）方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若等腰△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用求根公式求出x1＝k+1，x2＝k，討論：當(dāng)k+1＝5，解得k＝4，三角形三邊為5、5、4，當(dāng)k＝5，三角形三邊為5、5、6，然后分別計(jì)算三角形的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）x＝，所以x1＝k+1，x2＝k，當(dāng)k+1＝5，解得k＝4，三角形三邊為5、5、4，則三角形的周長(zhǎng)為5+5+4＝14；當(dāng)k＝5，三角形三邊為5、5、6，則三角形的周長(zhǎng)為5+5+6＝16；綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為14或16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系．18．為了解某校落實(shí)新課改精神的情況，現(xiàn)以該校某班的同學(xué)參加課外活動(dòng)的情況為樣本，對(duì)其參加“球類”“繪畫(huà)類”“舞蹈類”“音樂(lè)類”“棋類”活動(dòng)的情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．（1）參加音樂(lè)類活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為7人，參加球類活動(dòng)的人數(shù)的百分比為30%；（2）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若該校學(xué)生共1600人，那么參加棋類活動(dòng)的大約有多少人？（4）該班參加舞蹈類活動(dòng)4位同學(xué)中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分別F，G，H表示），現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取兩名同學(xué)組成舞伴，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀的方法求恰好選中一男一女的概率．【分析】（1）先由繪畫(huà)類人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以音樂(lè)類對(duì)應(yīng)百分比求出其人數(shù)，用球類人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得其所占百分比；（2）根據(jù)以上所求結(jié)果可補(bǔ)全圖形；（3）總?cè)藬?shù)乘以參棋類活動(dòng)的人數(shù)所占比例即可得；（4）利用樹(shù)狀圖法列舉出所有可能的結(jié)果，然后利用概率公式即可求解．解：（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為10÷25%＝40（人），∴參加音樂(lè)類活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為40×17.5%＝7人，參加球類活動(dòng)的人數(shù)的百分比為×100%＝30%，故答案為：7、30%；（2）補(bǔ)全條形圖如下：（3）該校學(xué)生共1600人，則參加棋類活動(dòng)的人數(shù)約為1600×＝280，故答案為：280；（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種情況，選中一男一女的有6種，則P（選中一男一女）＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?9．“疫情”期間，李晨在家制作一種工藝品，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行線上銷售．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)是40元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出3件，設(shè)該商品的售價(jià)為x元/件（20≤x≤40）．（1）請(qǐng)用含售價(jià)x（元/件）的代數(shù)式表示每天能售出該工藝品的件數(shù)；（2）已知每件工藝品需要20元成本，每天銷售該工藝品的純利潤(rùn)為900元．①求該商品的售價(jià)；②為了支持“抗疫”行動(dòng)，李晨決定每銷售一件該工藝品便通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)自動(dòng)向某救助基金會(huì)捐款0.5元，求李晨每天通過(guò)銷售該工藝品捐款的數(shù)額．【分析】（1）由該商品的售價(jià)結(jié)合售價(jià)每降低1元就會(huì)多售出3件，即可得出每天售出該工藝品的件數(shù)；（2）①根據(jù)總利潤(rùn)＝每件工藝品的利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；②根據(jù)每天通過(guò)銷售該工藝品面捐款的數(shù)額＝0.5×每天銷售的數(shù)量，即可得出結(jié)論．解：（1）∵該商品的售價(jià)為x元/件（20≤x≤40），且當(dāng)售價(jià)是40元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出3件，∴每天能售出該工藝品的件數(shù)為60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．（2）①依題意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50（不合題意，舍去）．答：該商品的售價(jià)為30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通過(guò)銷售該工藝品捐款的數(shù)額為45元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)直線l4、l5被平行線l1，l2，l3所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例進(jìn)行解答．【解答】證明：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴BC＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能正確根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．21．如圖，把一個(gè)矩形ABCD劃分成三個(gè)全等的小矩形．（1）若原矩形ABCD的長(zhǎng)AB＝6，寬BC＝4．問(wèn)：每個(gè)小矩形與原矩形相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若原矩形的長(zhǎng)AB＝a，寬BC＝b，且每個(gè)小矩形與原矩形相似，求矩形長(zhǎng)a與寬b應(yīng)滿足的關(guān)系式．【分析】（1）根據(jù)劃分后小矩形的長(zhǎng)為AD＝4，寬為AE＝2，可得，進(jìn)而可判斷結(jié)論；（2）根據(jù)劃分后小矩形的長(zhǎng)為AD＝b，寬為，再根據(jù)每個(gè)小矩形與原矩形相似，可得，從而可得a與b的關(guān)系式．解：（1）不相似．理由如下：∵原矩形ABCD的長(zhǎng)AB＝6，寬BC＝4，∴劃分后小矩形的長(zhǎng)為AD＝4，寬為AE＝6÷3＝2，又∵，即原矩形與每個(gè)小矩形的邊不成比例，∴每個(gè)小矩形與原矩形不相似．（2）∵原矩形的長(zhǎng)AB＝a，寬BC＝b，∴劃分后小矩形的長(zhǎng)為AD＝b，寬為，又∵每個(gè)小矩形與原矩形相似，∴∴，即a2＝3b2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩矩形相似得到比例式．22．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4cm，∠ACB＝90°，動(dòng)點(diǎn)F在BC的垂直平分線DG上從D點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向左勻速移動(dòng)，DG交BC于D，交AB于E，連接CE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t＝6s時(shí)，求證：△ACE≌△EFA．（2）填空：①當(dāng)t＝4s時(shí)，四邊形ACDF為矩形；②在（1）的條件下，當(dāng)∠B＝30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)找出∠BDE＝∠BCA＝90°，進(jìn)而得出DE∥AC，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得出DE的長(zhǎng)度，根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系可得出EF＝A