【教學(xué)】第11章 線性離散控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與分析

第11章線性離散控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與分析吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院隨陽軼連續(xù)與離散控制系統(tǒng)整理課件主要內(nèi)容脈沖傳遞函數(shù)離散狀態(tài)空間描述連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析整理課件11.1脈沖傳遞函數(shù)11.1.1求脈沖傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的定義為:當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出的Z變換與輸入的Z變換之比叫脈沖傳遞函數(shù)(也叫Z傳遞函數(shù))。脈沖傳遞函數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的特性，與輸入序列無關(guān)。(1)由離散系統(tǒng)的差分方程，求脈沖傳遞函數(shù)整理課件求脈沖傳遞函數(shù)（Z變換法）對(duì)上式兩端取Z變換，利用Z變換實(shí)數(shù)平移定理，并考慮初始條件為零。脈沖傳遞函數(shù)寫為：例11.1已知差分方程如下，求脈沖傳遞函數(shù)解：整理課件求脈沖傳遞函數(shù)（其它方法）(2)已知離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(k)，脈沖傳遞函數(shù)G(z)=Z[h(k)](3)已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)，求脈沖傳遞函數(shù)，按如下三步進(jìn)行：①g(t)=L-1[G(s)]②將g(t)按采樣周期T離散化，求出g(0)，g(1)，…等的值；

③由Z變換的定義求離散的Z傳遞函數(shù)即整理課件G(s)求脈沖傳遞函數(shù)舉例例11.2已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，求對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解：整理課件11.1.2開閉環(huán)求脈沖傳遞函數(shù)1.采樣信號(hào)的拉氏變換時(shí)域采樣的拉氏變換就是Z變換整理課件采樣信號(hào)的拉氏變換的周期性若則證明：采樣后信號(hào)的譜是原信號(hào)的譜以采樣頻率為周期延拓并乘以1/T倍，即令n+k=n′則有整理課件星號(hào)的運(yùn)算證明：Y(s)=G(s)X*(s)拉氏變換之積可寫成卷積整理課件因?yàn)閦變換可視為星號(hào)拉氏變換的縮略表示符，故得證。此式在推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)和簡化離散時(shí)間控制系統(tǒng)框圖的過程中非常重要。整理課件串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)取U(s)和Y(s)的采樣形式將Y*(s)寫成Z變換的形式，則開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：(1)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)整理課件串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（續(xù)1）(2)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)結(jié)論：環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)的脈沖傳遞函數(shù)是連續(xù)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)乘積之后求Z

變換。整理課件串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（續(xù)2）特別強(qiáng)調(diào)：例11.3已知環(huán)節(jié)

，環(huán)節(jié)

分別求出環(huán)節(jié)間接入采樣開關(guān)和不接入采樣開關(guān)時(shí)開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。解：插/未插采樣開關(guān)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)整理課件插入零階保持器的脈沖傳遞函數(shù)零階保持器常與連續(xù)對(duì)象組合起來構(gòu)成廣義對(duì)象證明：其中：考慮因?yàn)閄1(s)為兩函數(shù)的拉氏變換之積，故改寫為卷積形式：整理課件零階保持器的脈沖傳遞函數(shù)證明其中：因此：由可得根據(jù)G(s)的表達(dá)式，可求出G(z)為：整理課件零階保持器的脈沖傳遞函數(shù)證明續(xù)上面證明：如果G(s)含有因子(1-e-Ts)，則求G(s)的z變換時(shí)，可以提取公因子1-e-Ts=1-z-1，這樣G(z)就等于剩余項(xiàng)z變換與(1-z-1)的乘積。整理課件求插入零階保持器后對(duì)象的例子例11.4已知被控對(duì)象為

，插入零階保持器

與被控對(duì)象組成廣義對(duì)象，試求開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。解：整理課件插入零階保持器的例子（續(xù)）整理課件零階保持器星號(hào)運(yùn)算舉例例11.5零階保持器如圖所示，證明Y*(s)=X*(s)證明:作帶星號(hào)拉氏變換使用z變換的符號(hào)使用帶星號(hào)拉氏變換符號(hào)，即證整理課件環(huán)節(jié)并聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)n個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，系統(tǒng)的總的脈沖傳遞函數(shù)是每個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之和。整理課件反饋連接的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(1)前向通道設(shè)有采樣開關(guān)由輸出端和誤差節(jié)點(diǎn)列寫方程：在誤差節(jié)點(diǎn)列寫方程：整理課件閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（續(xù)1）(2)在反饋回路設(shè)有采樣開關(guān)整理課件閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（續(xù)2）(3)前向通道(誤差處)不設(shè)采樣開關(guān)R(s)不能從G(s)R*(s)中獨(dú)立出來，誤差通道不設(shè)采樣開關(guān)，則只存在輸出的Z變換表達(dá)，而不存在脈沖傳遞函數(shù)。這是與連續(xù)系統(tǒng)的重要區(qū)別。

整理課件求脈沖傳遞函數(shù)總結(jié)采樣開關(guān)的位置與脈沖傳遞函數(shù)關(guān)系密切，特別是當(dāng)在誤差通道不設(shè)采樣開關(guān)時(shí)，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)不存在，只有輸出的Z變換表達(dá)式。對(duì)[G*(s)H*(s)]和[G*(s)H(s)]取Z變換，結(jié)果分別為G(z)H(z)和HG(z)或GH(z)，對(duì)[G*(s)H(s)]或[G(s)H*(s)]取Z變換，就是對(duì)[G(s)H(s)]*取Z變換。可以根據(jù)離散系統(tǒng)的梅森公式直接列寫離散系統(tǒng)輸出的Z變換表達(dá)式，注意將R(s)當(dāng)成一個(gè)環(huán)節(jié)畫在方框圖上，并且把凡是沒有被采樣開關(guān)作用的所有傳遞函數(shù)先乘積后當(dāng)成一個(gè)獨(dú)立環(huán)節(jié)。整理課件由脈沖傳遞函數(shù)求響應(yīng)離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖離散控制系統(tǒng)的框圖整理課件閉環(huán)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的計(jì)算步驟1.將脈沖傳遞函數(shù)改寫成輸出形式；2.將R(z)的具體輸入波形表達(dá)式(如單位階躍等輸入函數(shù))代入閉環(huán)系統(tǒng)的輸出式Y(jié)(z)中；3.將Y(z)部分分式展開求Z反變換；4.通過計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算(簡單的通過手算)y(k)響應(yīng)序列。整理課件11.2離散狀態(tài)空間描述線性常系數(shù)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為整理課件可控標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)系統(tǒng)的差分方程為對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)為整理課件可控標(biāo)準(zhǔn)型（續(xù)2）可控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)方程為輸出方程為整理課件可控標(biāo)準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)圖整理課件可觀標(biāo)準(zhǔn)型根據(jù)差分方程由差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖整理課件可觀標(biāo)準(zhǔn)型（續(xù)1）可觀標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)方程矩陣形式可觀標(biāo)準(zhǔn)型的輸出方程矩陣形式整理課件11.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化連續(xù)被控對(duì)象的狀態(tài)方程推導(dǎo)狀態(tài)方程解的一般形式方程兩端同乘e-At兩邊取t0→t的積分對(duì)此式積分的結(jié)果因此狀態(tài)解一般形式整理課件連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化連續(xù)被控對(duì)象的狀態(tài)方程的解進(jìn)行狀態(tài)解的離散化處理設(shè)整理課件狀態(tài)解的離散化處理（續(xù)1）令令則離散的狀態(tài)方程和輸出方程分別為：整理課件離散系統(tǒng)的脈沖傳遞矩陣W(z)：是離散系統(tǒng)的脈沖傳遞矩陣。整理課件離散系統(tǒng)的特征方程由于W(z)的極點(diǎn)就是的根，方程就是該系統(tǒng)的特征方程，特征方程的根對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的極點(diǎn)。極點(diǎn)的位置決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。整理課件離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解1.用迭代法求解狀態(tài)方程整理課件離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解（續(xù)1）2.用Z變換法求解狀態(tài)方程等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示由初始條件x(0)(此初始條件不一定為零，因?yàn)槭乔鬆顟B(tài)響應(yīng)而不是脈沖傳遞函數(shù))引起的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，第二項(xiàng)表示由輸入引起的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。整理課件狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和計(jì)算法由連續(xù)系統(tǒng)有例11.6A、B矩陣如下，求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和。并寫出離散的狀態(tài)方程。解：整理課件狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算舉例（續(xù)1）整理課件狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算舉例（續(xù)2）離散狀態(tài)方程為整理課件11.4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析當(dāng)系統(tǒng)中采用沖激采樣時(shí)，z=eTs，則當(dāng)只要極點(diǎn)分布在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。極點(diǎn)分布在單位圓上，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。極點(diǎn)分布在單位圓外，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。整理課件穩(wěn)定性判別1.直接求特征方程的根判別例11.7已知系統(tǒng)如圖所示，采樣周期T=1秒，被控對(duì)象傳遞函數(shù)，試判定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)整理課件求特征方程的根判別舉例（續(xù)1）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為極點(diǎn)分布在Z平面的單位圓內(nèi)，該系統(tǒng)穩(wěn)定整理課件離散系統(tǒng)的勞斯-霍爾維茨判據(jù)運(yùn)用離散系統(tǒng)的勞斯-霍爾維茨判據(jù)，先運(yùn)用z-w變換，將Z平面的閉環(huán)特征方程，變換到W平面，然后和連續(xù)系統(tǒng)的勞斯判據(jù)的過程一樣。Z平面到W平面的變換：證明兩種平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系成立。設(shè)整理課件離散系統(tǒng)勞斯判據(jù)舉例例11.8用離散系統(tǒng)的勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定k的取值范圍。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)Gp(s)和零階保持器求脈沖傳遞函數(shù)G(z)整理課件離散系統(tǒng)勞斯判據(jù)舉例（續(xù)1）設(shè)T=1秒，求特征方程令進(jìn)行z-w變換整理課件離散系統(tǒng)勞斯判據(jù)舉例（續(xù)2）令列勞斯表即0<k<5.8227，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。整理課件11.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析Z域的形式為：三種典型輸入信號(hào)：單位階躍單位速度單位加速度整理課件穩(wěn)態(tài)誤差分析（續(xù)1）終值定理法：基本方法系統(tǒng)型數(shù)法：離散域的積分環(huán)節(jié)為：注意，離散系統(tǒng)的“型”是看開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分母中(1-z-1)的個(gè)數(shù)整理課件穩(wěn)態(tài)誤差分析（續(xù)2）誤差系數(shù)法：實(shí)際系統(tǒng)有零階保持器時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期無關(guān)，故不能通過降低采樣周期來減少穩(wěn)態(tài)誤差