2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（含答案）

2020-2021中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象及其

性質(zhì)

一、選擇題

1.二次函數(shù)y=2/,y=—21,y=%的共同性質(zhì)是（）

A.其圖象開(kāi)口都向上

B.其圖象的對(duì)稱(chēng)軸都是y軸

C.其圖象都有最高點(diǎn)

D.y隨x的增大而增大

2.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a（x—〃）2的圖象可能是（）

3.要將拋物線+2x+3平移后得到拋物線,下列平移方法正確的是

（）

A.向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位

B.向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位

C.向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位

D.向右平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位

4.已知二次函數(shù)1的圖象與％軸有交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<5B.rn>2C.m<5D.m>2

5.（2020.綏化）將拋物線y=2（x—3>+2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到拋物線的解析式是（）

A.y=2（x—6）2B.y=2（x—6）2+4C.y=2x1D.y=2x2+4

6.已知拋物線^=加+云+。（。>。>0）與X軸最多有一個(gè)交點(diǎn).現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)

論：①該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；②關(guān)于X的方程以2+法+。+2=0無(wú)實(shí)數(shù)

根；③a—6+侖0；了二六的最小值為3.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.如圖，二次函數(shù)丫=2*2+6*+<:的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OA

b2-4acc

=OC.有下列結(jié)論：①abc<0；7：—>0；③ac—b+l=0；④OAQB=一1其中正確的結(jié)

aaa

論有（)

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

8.如圖，將函數(shù)尸於一2）2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，

其中點(diǎn)41,m），B（4,"）平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)4,次若曲線段掃過(guò)的面

積為9（圖中的陰影部分），則新圖象的函數(shù)解析式是（）

B.y=T(x—2)2+7

A.y=](x—2-一2

D.y=g(x—2>+4

C.-2)2-5

二、填空題

9.如果二次函數(shù)y=a（x—/爐+女的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,—3）,那么它的對(duì)稱(chēng)

軸為直線尤=，左的值為.

1

10.已知二次函數(shù)y=x-4x+k的圖象的頂點(diǎn)在x軸下方，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

是.

11.（2019?荊州）二次函數(shù)y=-2X2-4X+5的最大值是.

1

12.（2019?株洲）若二次函數(shù)y=ax+版的圖象開(kāi)口向下，則0（填“=”或

“>”或

13.12018?淮安】將二次函數(shù)y=f-l的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖

象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是.

14.若拋物線y=x1+hx+25的頂點(diǎn)在x軸上，則h的值為

15.已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,其部分圖象如圖所示，下

列說(shuō)法中：①8>0;②a-Z?+c<0;③b+2c>0;④當(dāng)-l<x<0時(shí)，y>0,正確的是

(填寫(xiě)序號(hào)).

16.已知函數(shù)^=0^+(?的圖象與函數(shù)y=-3X2—2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則。=

，c=.

三、解答題

17.畫(huà)出二次函數(shù)y=a—1)2的圖象，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:

(1)求當(dāng)一2人一1時(shí)，y的取值范圍；

(2)求當(dāng)0SE3時(shí)，y的取值范圍.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,A(l,0),

B(0,2),拋物線y=1x2+bx-2過(guò)點(diǎn)C.求拋物線的解析式.

19.已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,—3)和(4,5).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵將拋物線沿x軸翻折，得到圖象G,求圖象G的函數(shù)解析式;

(3)在(2)的條件下，當(dāng)一2Vx<2時(shí)，直線y=m與圖象G有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

20.如圖，四邊形0A8C是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).點(diǎn)。是線

段8c上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)3、C不重合)，過(guò)點(diǎn)。作直線丁=x+匕交折線048

于點(diǎn)E.

(1)記△。。后的面積為S,求S與。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段04上時(shí)，若矩形0ABe關(guān)于直線OE的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形

OiABG,試探究四邊形OIAIBICI與矩形0A3C的重疊部分的面積是否發(fā)生變

化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.正方形0A8C的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線相交于點(diǎn)P,拋物線L經(jīng)過(guò)0、P、A三點(diǎn)，

點(diǎn)￡是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

⑴建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，①直接寫(xiě)出0,P,A三點(diǎn)坐標(biāo)；②求拋物線L

的解析式；

(2)求^。45與^OCE面積之和的最大值.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-*+fcc+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)

4(一2,0),8(8,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，連接AC,設(shè)點(diǎn)P是拋物線上在第一象限

內(nèi)的點(diǎn)，PD±BC,垂足為點(diǎn)D

①是否存在點(diǎn)P,使線段尸。的長(zhǎng)度最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)△PDC與^COA相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2020-2021中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象及其

性質(zhì)-答案

一'選擇題

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D【解析】>?=￡+2%+3=(尤+1)2+2,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一1,

2),拋物線y=N的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),則平移的方法可以是：將拋物線丫=/+

2x+3向右移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得拋物線y=f.

4.【答案】A［解析］,拋物線y=x2—x+/n—1與x軸有交點(diǎn)，，b2—4acK),

BP(—I)2—4xlx(1m—1)>0,解得mS5.

5.【答案】【答案】C【解析】原拋物線的頂點(diǎn)是(3,2),平移后的頂點(diǎn)是(0,0),

因此平移后所得拋物線的解析式是y=2f.故選C.

6.【答案】D【解析】

序號(hào)逐項(xiàng)分析正誤

?.”>a〉0,...對(duì)稱(chēng)軸一/<0,即對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)

①q

???拋物線丁=加+6+c與1軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，且拋物線

1

②開(kāi)口向上，.\y=ax+bx+c>09.二方程加+區(qū)+0+2=0q

即ax1+bx+c=-2無(wú)實(shí)數(shù)根

③由②得〃犬+之0,???當(dāng)x=-1時(shí)，a—b+c>0q

=

④，??當(dāng)x=-2時(shí)，y4a—2b-\-c>0ya~\-b~\-c>^b-3a9aq

+b+c>3(b-a),,：b>a,：.方一>3

7.【答案】B［解析］?.?拋物線開(kāi)口向下，...aVO.

?.?拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，.,?b>0.

?.?拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，，c>0,

abc<0,故①正確.

?.?拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，...△=b2—4ac>0,

b2—4ac

而aVO,??.一;一VO,故②錯(cuò)誤.

VC(O,c),OA=OC,AA(-C,0).

把(一c,0)代入y=ax2+bx+c,得ac2—bc+c=O,

ac—b+1=0,故③正確.

設(shè)A(xi，0),B(X2，0),

??,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，

Axi和X2是方程ax2+bx+c=O的兩根，

?c

??「

XX2=d1

又?.”|<0,

.*.OAOB=—故④正確.故選B.

8.【答案】D［解析］如圖，連接AB,AB,則S^=S四娜ABBA，.由平移可知,

AA，=BB，，AA，〃BB，，所以四邊形ABBA，是平行四邊形.分別延長(zhǎng)NA,BB

交x軸于點(diǎn)M,N,因?yàn)锳(l,m),B(4,n),所以MN=4—1=3.因?yàn)镾陰影=AA~MN,

所以9=3AA，，解得AA，=3,即原拋物線沿y軸向上平移了3個(gè)單位長(zhǎng)度，所

以新圖象的函數(shù)解析式為y=；(x—2)2+4.

二、填空題

9.【答案】一1一3

10.【答案】k<4［解析了.?二次函數(shù)y=f-4x+Z的圖象的頂點(diǎn)在X軸下方，

...二次函數(shù)y=jr-4x+k的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

，b2-4ac>0,即(-4)2-4X1x%>0.解得

k<4.

H.【答案】7

【解析】j=-2x2-4x+5=-2(x+1)2+7,

即二次函數(shù)丫=-爐一以+5的最大值是7,

故答案為：7.

12.【答案】<

【解析】?.?二次函數(shù)、=辦2+版的圖象開(kāi)口向下，

av0.

故答案為：<.

13.【答案】y=x?+2［解析］二次函數(shù)y=x2—l的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,

平移后的縱坐標(biāo)增加3,即y=x2—l+3=x2+2.

14.【答案】±10

15.【答案】①③④［解析］根據(jù)圖象可得:a<0,OQ,對(duì)稱(chēng)軸:直線x=-^=\,：.b=-2a.

"."a<0,故①正確；

把x=-l代入)'=加+笈+。，Wy=a-b+c.

由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,且過(guò)點(diǎn)(3,0),可得當(dāng)x=-l時(shí)，>,=0,.,.a-b+c=0,

故②錯(cuò)誤;當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c>0.

b=-2a,.,.-：+/?+<?>(),即h+2c>0,故③正確；

由圖象可以直接看出④正確.故答案為:①③④.

16.【答案】32

三、解答題

17.【答案】

解：畫(huà)出二次函數(shù)y=(x-的圖象如圖所示:

⑴當(dāng)一235一1時(shí)，y的取值范圍是4WyW9.

⑵當(dāng)0<x<3時(shí)，y的取值范圍是0<y<4.

18.【答案】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD，x軸于點(diǎn)D,則/DAC+/DCA=90。.

又,.,/OBA+/OAB=90。，ZOAB+ZDAC=90°,

；.NOAB=/DCA,ZOBA=ZDAC.

XVAB=CA,/.△AOB^ACDA,

；.OA=CD=1,AD=OB=2,

，OD=OA+AD=3,，C(3,1).

?.?點(diǎn)C(3,1)在拋物線y=gx2+bx-2上，

1=^32+35=2,.,.b=一

拋物線的解析式為y=1x2-1x-2.

19.【答案】

4+2b+c=-3,

解:(1)根據(jù)題意得

16+4b+c=5,

b=-2,

解得

c=-3,

拋物線的函數(shù)解析式為y=x2—2x—3.

Vy=x2—2x—3=(x—1)2—4,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4).

(2)如圖,根據(jù)題意,得一y=x2—2x—3,

：?、=-x2+2x+3.

(3)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,即圖象G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

若0Wx<2,當(dāng)直線y=m過(guò)圖象G的頂點(diǎn)(1,4)時(shí)，直線y=m與圖象G有一個(gè)公共點(diǎn)，此

時(shí)y=4,

Am=4.

若一2VxV0,直線y=m與圖象G有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)y=m過(guò)圖象G上的點(diǎn)(0,3)時(shí)，y=3,

?二m=3；

當(dāng)y=m過(guò)圖象上G的點(diǎn)(一2,—5)時(shí)，y=—5,

=-5,-5<m<3.

綜上可知在一2VxV2范圍內(nèi)，當(dāng)直線y=m與圖象G有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m=4或一5Vmg3.

20.【答案】

⑴①如圖2,當(dāng)E在。A上時(shí)，由y可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(28,0),OE

2

=2b.止匕時(shí)S=SAODE=!oE.OC='x2bxl=6.

22

②如圖3,當(dāng)E在AB上時(shí)，把y=l代入y=可知，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(28—

2,1),CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入y=—；x+》可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

335

(3,6--),AE=b--,BE=--b.此時(shí)

222

S=SOABC-SAOAE-SABDE-S^OCD

=3--x30--)--(--Z?)(5-2/?)--xlx(2Z?-2)

^-b2+-b.

2

(2)如圖4,因?yàn)樗倪呅蜲\A\B\C\與矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)，因此DM=

DN,那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形。MEN是菱形.

作￡>”,04,垂足為由于CO=2A—2,0E=2b,所以E"=2.

設(shè)菱形。MEN的邊長(zhǎng)為〃z.在中，DH=\,NH=2-m,DN=m,所

以?+(2—加)2=機(jī)2.解得m=2.所以重疊部分菱形。MEN的面積為*.

44

圖2圖3圖4

考點(diǎn)伸展

把本題中的矩形QABC繞著它的對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形(如

圖5),那么這個(gè)菱形的最小面積為1,如圖6所示；最大面積為之，如圖7所示.

21.【答案］

(1)【思路分析】①建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)使正方形內(nèi)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)是正數(shù)，以點(diǎn)0

為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，即可表示出0、P、A三點(diǎn)的坐標(biāo)；②用待定

系數(shù)法即可求得拋物線的解析式.

解：如解圖，以0A所在的直線為橫軸，水平向右為正方向，以0C所在直線為

縱軸，垂直向上為正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.

①0(0,0),P(2,2),A(4,0)；(3分)

②設(shè)拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c,

將點(diǎn)O,P，A的坐標(biāo)分別代入y=ax?+bx+c,得

c=0

4a+2b+c=2,

16a+4b+c=0

解得彳

、c=0

拋物線L的解析式為y=-1x2+2x.(6分)

(2)【思路分析】用點(diǎn)E的橫坐標(biāo)表示4OAE與AOCE的面積之和，根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)即可確定最大值.

解：設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m.

?.?點(diǎn)E在正方形內(nèi)的拋物線上，

二點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為一gn?+2m,

/.SAOAE+SAOCE=24X(—^m2+2m)+X4Xm=-m2+6m=—(m-3)2+

9.(10分)

...當(dāng)m=3時(shí)，4OAE與AOCE的面積之和的值最大，最大值是9.(12分)

22.【答案】

⑴將A(—2,0),5(8,0)代入y=-*+/?x+c得，

,r3

—1-2b+c=0b=x

,,,解得2,

16+8/?+c=0[c=4

13

，拋物線的解析式為y=—不?+尹+4；

(2)由(1)知C(0,4),又?.?仇8,0),易知直線3C的解析式為y=—5+4.

①如解圖①，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G,PG交CB于點(diǎn)E,

解圖①

VOB=S,0C=4,

/.BC=^OB2+OC2=475.

在RtAPDE中，PD=PE-sinNPED=PE-sinNOCB=PE——=^PE,

BC5

當(dāng)線段PE最長(zhǎng)時(shí)，P。的長(zhǎng)度最大.

13

設(shè)P(f，—