2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》分類訓(xùn)練七：與特殊平行四邊形相關(guān)壓軸題

2021中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》分類訓(xùn)練七：

與特殊平行四邊形相關(guān)的壓軸題(附答案)

方法提煉：

1、特殊四邊形的探究問題解題方法步驟如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立；(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求

邊長.(類型一方法指導(dǎo))：(3)建立關(guān)系式，并計算。若四邊形的四個頂點(diǎn)位置已確定，則

直接利用四邊形邊的性質(zhì)進(jìn)行計算；若四邊形的四個頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論。

2、探究菱形:①已知三個定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)；②已知兩個定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo).一般會用

到菱形的對角線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式。

3、探究正方形:利用正方形對角線互相平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計算，一般是分別計算出兩

條對角線的長度，令其相等，得到方程再求解。

4、探究矩形:利用矩形對邊相等、對角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾

股定理列關(guān)系式求解。

典例引領(lǐng)：

例：已知二次函數(shù))，=—+版+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)與B(3,0).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)若該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為。，點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，將該二次函數(shù)圖象繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)

180°得到新拋物線的頂點(diǎn)記為E,與x軸的交點(diǎn)記為八G(點(diǎn)尸在點(diǎn)G的左側(cè))，若四

邊形力8E/是矩形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若拋物線與)，軸交于點(diǎn)C,現(xiàn)將拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C,

在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以4、8、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

若存在，請寫出平移方式；若不存在，請說明理由.

分析：(1)把4、8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，建立二元一次方程組，便可求得解析式；

(2)設(shè)PC,0),根據(jù)矩形的性質(zhì)得P為DE的中點(diǎn)，從而得E的坐標(biāo)，因旋轉(zhuǎn)前后的

拋物線的解析式中二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，便可寫出旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析，進(jìn)而求得尸

點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得OE=B凡列出，的方程，求得/的值便可；

(3)由題意知，平移后的拋物線的解析式中二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)沒變化，只是一次項(xiàng)系

數(shù)發(fā)生了變化，可設(shè)出平移后拋物線的解析式，分三種情況：分別以BC、AB,4c為對

角線構(gòu)成平行四邊形，由平移知識求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再把M點(diǎn)坐標(biāo)分別代入平移后的解

析式，求得新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由原拋物線與新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，便可得各種情

形下的平移方式.

解：(1)?.?二次函數(shù)y=o?+W+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)與B(3,0).

.(a-b+3=0

19a+3b+3=0

.??尸，

lb=2

...此二次函數(shù)的解析式：y=-/+2x+3；

(2)Vy=-f+2x+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4),

設(shè)0),則E(2f-1,-4),如圖1,

令y=0,得（x-2f+l）2-4=0,

解得，x=2t-1±2,

：.F(2L3,0),

：.BF=6-2r,

??,四邊形。血尸是矩形，

:.DE=BF,

A7(2-2t)2+64=6-2t,

:.t=-2,

：.P(-2,0)；

(3)?..拋物線y=-/+2x+3與y軸交于點(diǎn)C,

：.C(0,3),

；將拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C,

二可設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-7+〃a+3,

?.?以A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

.?.存在三種情況：

①如圖2,當(dāng)四邊形A8MC為平行四邊形時，則CM〃4B,且CM=A8,M在第一象限

內(nèi)，則M(4,3),

M(4,3)代入y=-f+蛆+3中，得〃?=4,

此時，平移后拋物線的解析式為y=-f+4x+3=-(x-2)2+7,

...平移后拋物線的頂點(diǎn)為(2,7),

?.?原拋物線的頂點(diǎn)為(1,4),

故原拋物線向右平移I個單位，再向上平移3個單位，在平移后的拋物線上是就存在點(diǎn)

M,使得以A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形;

②如圖3,當(dāng)四邊形AMCB為平行四邊形時，則CM〃/18,且CM=A8,M在第二象限

內(nèi)，則M(-4,3),

M(-4,3)代入y—-7+，巾+3中，得m--4,

此時，平移后拋物線的解析式為y=-4x+3=-(x+2)2+7,

...平移后拋物線的頂點(diǎn)為(-2,7),

?.?原拋物線的頂點(diǎn)為(1,4),

故原拋物線向左平移3個單位，再向上平移3個單位，在平移后的拋物線上是就存在點(diǎn)

M,使得以A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

③如圖4,當(dāng)四邊形ACBM為平行四邊形時，則AC〃8M,且AC=8M,M在第四象限

內(nèi)，則M(2,-3),

M（2,-3）代入y=-』+加計3中，得m=-1,

此時，平移后拋物線的解析式為y=-f-x+3=_（x+/yq_,

...平移后拋物線的頂點(diǎn)為（」，迫），

24

?.?原拋物線的頂點(diǎn)為（1,4）,

故原拋物線向右平移3個單位，再向下平移個3單位，在平移后的拋物線上是就存在點(diǎn)

24

M,使得以A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

綜上，存在點(diǎn)使得以A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，平移方式有三種：

向右平移1個單位，再向上平移3個單位；原拋物線向左平移3個單位，再向上平移3

個單位；原拋物線向右平移旦個單位，再向下平移個旦單位.

24

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，圖形變換：平移與旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，考查了矩形與平行四邊形的存在性問題的探究，難度較大，是中考的壓軸題，第（2）

小題關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的解析式的異同，以矩形的對角線相等列方程是突破難點(diǎn)的

方法；第（3）小題分情況討論是一個難點(diǎn)，往往考慮不全面而失分.

跟蹤訓(xùn)練：

1.如圖，拋物線^二/+萬田4(“W0)與x軸交于4(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEJ_尤軸于點(diǎn)E,交

BC于點(diǎn)D,連接PC.(1)求拋物線的解析式；

(2)將沿直線CP翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為Q.試問四邊形C￡?P0是否能為菱形？

如果能，請求出此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由.

2.綜合與探究

如圖，拋物線y=f+bx+c與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，。4=2,OC=6,

連接AC和BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△AC。的周長最小時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

(3)點(diǎn)E是第四象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，連接CE和BE.求△BCE面積的最大值及此

時點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)M是y軸上的動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、C、M、N為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

VV

(備用圖)

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=o?+bx-?的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),C(2,

0),與y軸交于點(diǎn)B,其對稱軸與x軸交于點(diǎn)。.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若P為y軸上的一個動點(diǎn)，連接尸D,求■尸B+尸。的最小值；

(3)M(x,t)為拋物線對稱軸上一個動點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A、B、M、N

為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有個.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有拋物線y=a(工-2)2-2和、=。(x-/?)2,拋物線

(x-2)2-2經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)4,與其對稱軸交于點(diǎn)8；點(diǎn)尸是拋物線y

=a(x-2)2-2上一動點(diǎn)，且點(diǎn)「在入軸下方，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線y=a(x

-/?)2于點(diǎn)￡),過點(diǎn)。作尸。的垂線交拋物線y=a(x-〃)2于點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合),

連接P。'，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，":

(1)①直接寫出a的值；②直接寫出拋物線y="(x-2)2-2的函數(shù)表達(dá)式的一般式;

(2)當(dāng)拋物線y=a(x-/z)2經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)△「￡>￡)'與△OAB重疊部分圖形周長為L：

①求群一的值；②直接寫出乙與機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)〃為何值時，存在點(diǎn)尸，使以點(diǎn)。、A、D、D'為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？直接寫

出h的值.

5.已知拋物線以y=-工X2-標(biāo)+§與x軸交于A，B兩點(diǎn)，(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，頂點(diǎn)

2x2

為D點(diǎn).

(1)直接寫出A,B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)M(m,0)x軸上一點(diǎn)，將拋物線L繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線心.

①當(dāng)拋物線L1經(jīng)過原點(diǎn)時，直接寫出膽的值；

②若C為第一象限內(nèi)拋物線L上一點(diǎn)，E為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，問是否存在以8。為邊,

以B,D,C,E為頂點(diǎn)的正方形，若存在，請求出此時拋物線心的表達(dá)式；若不存在,

請說明理由.

6.如圖，拋物線4與x軸交于A,B(A在B的左側(cè))，與)，軸交于點(diǎn)C,拋物

線上的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3,過點(diǎn)E作直線軸.

(1)點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，且在直線AC的下方，點(diǎn)M,N分別為x軸，直線八上的

動點(diǎn)，且MNLx軸，當(dāng)△APC面積最大時，求尸M+MN+返￡N的最小值；

2

(2)過(1)中的點(diǎn)P作尸OLAC,垂足為F,且直線PO與y軸交于點(diǎn)￡),把

繞頂點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)45°,得到△￡>'人?,再把△￡>'■7沿直線P。平移至△￡)"F'C",在平

面上是否存在點(diǎn)K,使得以O(shè),C",D",K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在直接寫出

點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

圖①圖②

7.如圖，己知拋物線)，=-“+溫-4與x軸交于月、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),

33

與y軸交于點(diǎn)C.

(1)連接BC,尸是線段8c上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHLBC于點(diǎn)H,當(dāng)PH

長度最大時，在△AP8內(nèi)部有一點(diǎn)M,連接AM、BM、PM,求AJW+FBM+PM的最小

值.

(2)若點(diǎn)。是0C的中點(diǎn)，將拋物線丫=-3阻-4沿射線AD方向平移行個單

33

位得到新拋物線曠，C是拋物線y'上與C對應(yīng)的點(diǎn)，拋物線y的對稱軸上有一動點(diǎn)

N,在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S,使得C'、N、B、S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？

若存在，請直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

8.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)尸(x,y)的縱坐標(biāo))'與其橫坐標(biāo)x的差y-x

稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特

征值”

(1)點(diǎn)A(2,6)的“坐標(biāo)差”為；(2)求拋物線丫=-7+5x+4的“特征值”:

(3)某二次函數(shù)y=-/+fev+c(cWO)的“特征值”為-1,點(diǎn)B與點(diǎn)C分別是此二次

函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解

析式；

(4)二次函數(shù)丫=-W+px+q的圖象的頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四

邊形。EF。是矩形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(7,3),點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上，點(diǎn)尸在

y軸上，當(dāng)二次函數(shù)y=-W+px+q的圖象與矩形的邊只有三個交點(diǎn)時，求此二次函數(shù)的

解析式及特征值.

9.已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上的三個點(diǎn)，且。A=

1,。8=3,OC=4,

(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形

為菱形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

10.如圖，已知拋物線y=a/+c過點(diǎn)(-2,2),(4,5),過定點(diǎn)F(0,2)的直線/：y=

fcr+2與拋物線交于A、

8兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),過點(diǎn)8作x軸的垂線，垂足為C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動時，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系(>、V、=),

并證明你的判斷;

(3)P為y軸上一點(diǎn)，以8、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)P(0,切)，求自

然數(shù)機(jī)的值；

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=a(x+3)(x-1)(a>0)

與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若。=工，點(diǎn)M是拋物線上一動點(diǎn)，若滿足NMA。不大于45°,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)

3

m的取值范圍.

(3)經(jīng)過點(diǎn)B的直線l：y=kx+b與y軸正半軸交于點(diǎn)C.與拋物線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)D,

且CD=4BC.若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，點(diǎn)。在拋物線上，以點(diǎn)8,D,P,。為頂點(diǎn)

的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a?+Zzx+c與x軸交于A(-2,0),B(8,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2O4,拋物線的對稱軸x軸交于點(diǎn)。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為㈤

且5ACDP=—求m的值；

20

(3)K是拋物線上一個動點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H,使8、C、K、，為頂

點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

(備用圖1)

13.已知平面直角坐標(biāo)系X。），（如圖1,一次函數(shù)＞=-1^+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)

M在正比例函數(shù)尸苧的圖象上，且MO=MA.二次函數(shù)y=f+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、

M.

(1)求線段4M的長;

(2)求這個二次函數(shù)的解析式;

(3)如果點(diǎn)3在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)。在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)。在一

次函數(shù)），=[x+3的圖象上，且四邊形A8CD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

環(huán)

7-

6■

5-

4-

3-

2-

1-

123456；

參考答案

1.分析：（1）利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q落在），軸上時，四邊形CZJPQ是菱形，根據(jù)翻折的性質(zhì)知：CD=

CQ,PQ=PD,NPCQ=NPCC,又知。落在y軸上時，則CQ〃/V）,由四邊相等：CD

=DP=PQ=QC,得四邊形CDPQ是菱形，表示P（n,-n2+3n+4）,則D（〃，-〃+4）,

G（0,-〃+4）,利用勾股定理表示PD和CD的長并列式可得結(jié)論.

解：（1）將A（-1,0）、B（4,0）兩點(diǎn)代入y=or2+Zzr+4,得：

[a-b+4=0

\16a+4b+4=0

解得：卜=T,

lb=3

二拋物線解析式為y=-/+3x+4；

（2）存在這樣的。點(diǎn)，使得四邊形SPQ是菱形，如圖1,

當(dāng)點(diǎn)。落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，

理由是：由軸對稱的性質(zhì)知：CD=CQ,PQ=PD,NPCQ=NPCD,

當(dāng)點(diǎn)。落在y軸上時，CQ//PD,

：.ZPCQ=ZCPD,

:.NPCD=NCPD,

：.CD=PD,

：.CD=DP=PQ=QC,

四邊形CAP。是菱形，

過。作。GJ_y軸于點(diǎn)G,

設(shè)P(”，-〃2+3〃+4),則。-”+4),G(0,-a+4),

在RtZ\CGO中，CD2^CG2+GD2^[4-(-n+4)]2+n2=2??2,

而|尸。|=|(-w2+3n+4)-(-n+4)|=|-n2+4n|,

,:PD=CD,

-〃2+4"="y^"①，

-ir+4n--②，

解方程①得：〃=4-圾或0(不符合條件，舍去)，

解方程②得：〃=4+我或0(不符合條件，舍去)，

當(dāng)〃=4-加時，P(4-圾，5&-2),如圖1,

當(dāng)〃=4+亞時，P(4+近，-572-2)，如圖2,

此時點(diǎn)P在第四象限，此情況舍去.

綜上所述，存在這樣的。點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4-料,

572-2).

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)

和判定，此類問題要熟練掌握利用解析式表示線段的長，并利用勾股定理列方程解決問

題.

2.分析：(1)由。4=2,0C=6得至UA(-2,0),C(0,-6),用待定系數(shù)法即求得拋

物線解析式.

(2)由點(diǎn)。在拋物線對稱軸上運(yùn)動且A、B關(guān)于對稱軸對稱可得，AD=BD,所以當(dāng)點(diǎn)

C、。、8在同一直線上時，△△(?￡)周長最小.求直線BC解析式，把對稱軸的橫坐標(biāo)代

入即求得點(diǎn)?？v坐標(biāo).

(3)過點(diǎn)E作EGLx軸于點(diǎn)G,交直線BC與點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)E橫坐標(biāo)為f,則能用t表示

7

E尸的長.ABCE面積拆分為△BEF與△CE/的和，以EF為公共底計算可得SABCE=」

2

EF-OB,把含r的式子代入計算即得到SABCE關(guān)于/的二次函數(shù)，配方即求得最大值和r

的值，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo).

(4)以AC為菱形的邊和菱形的對角線進(jìn)行分類畫圖，根據(jù)菱形鄰邊相等、對邊平行的

性質(zhì)確定點(diǎn)N在坐標(biāo).

解：⑴VOA=2,OC=6

；.A(-2,0),C(0,-6)

?.?拋物線)，=/+bx+c過點(diǎn)A、C

.*-2b+c=0解得：fb=-l

I0+0+c=_6Ic=_6

，拋物線解析式為y=7-x-6

(2),當(dāng)y=0時，x1-x-6=0,解得：x\--2,X2—3

：.B(3,0),拋物線對稱軸為直線

22

:點(diǎn)。在直線》=工上，點(diǎn)A、B關(guān)于直線》=」對稱

22

.'.XD——,AD—BD

2

當(dāng)點(diǎn)8、D、C在同一直線上時，CMCO=AC+A￡>+C￡)=AC+BO+CD=AC+BC最小

設(shè)直線BC解析式為)=丘-6

：.3k-6=Q,解得:k=2

直線2C：y=2x-6

.".VD=2XA-6=-5

2

：.D(―,-5)

2

故答案為：(［，-5)

2

(3)過點(diǎn)E作EGJ_x軸于點(diǎn)G,交直線BC與點(diǎn)廠

設(shè)E(t,?-r-6)(0<r<3),則F(f,2r-6)

；.EF=2t-6-(P-r-6)=-p+3r

:?SABCE=S&BEF+SACEF=工EF.BG+\EF?OG=工EF(BG+OG)=_1E-O8=2X3(

22222

P+3/)=-3(z-2)2+ZL

228

.?.當(dāng)f=3時，ABCE面積最大

2

；.yE=(—)2-—-6=--

224

...點(diǎn)E坐標(biāo)為(旦，-2L)時，ABCE面積最大，最大值為22.

248

(4)存在點(diǎn)M使以點(diǎn)A、C、仞、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

VA(-2,0),C(0,-6)

?■"AC=V22+62=2V10

①若AC為菱形的邊長，如圖3,

則MN〃4C且，MN=AC=2A/75

:N(-2,2V7^)，M(-2,-2A/IO)-M(2,0)

②若AC為菱形的對角線，如圖4,則AN4〃CM4,AN4=CNA

設(shè)N4(-2,n)

■〃="22+(n+6)2

解得：〃=-獨(dú)

3

：.N4(-2,-—)

3

綜上所述，點(diǎn)N坐標(biāo)為（-2,2/而），（-2,-2萬），（2,0）,（-2,工.

3

圖1

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對稱求最短路徑，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

一次方程(組)的解法，菱形的性質(zhì)，勾股定理.第(4)題對菱形頂點(diǎn)存在性的判斷,

以確定的邊4c進(jìn)行分類，再畫圖討論計算.

3.分析：(1)將A、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=o?+法利用待定系數(shù)法即可求出二次函

數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而得到其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)連接AB,作于H,交0B于P,止匕時最小.最小值就是線段DH,

2

求出。〃即可.

(3)當(dāng)以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，分三種情況：①以A為圓心AB為

半徑畫弧與對稱軸有兩個交點(diǎn)，此時AM=AB；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸

有兩個交點(diǎn)，此時8M=48；③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點(diǎn)，此時

BM.由M點(diǎn)的個數(shù)則可得出點(diǎn)N的個數(shù)有5個.

(1)???二次函數(shù)＞=0?+云-遍的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-L0)C(2,0),

.fa-b-V3=0

I4a+2b-V3=0

a-

2

解得：

返'

b=-

2

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y1■X2耳?x-F，

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(!*)；

2

(2)如圖，連接AB,作。H_LA2于H,交OB于P,此時』PB+P。最小.

2

理由：'：OA=1,OB=?,

；.tanNA8O=如皿?,

OB3

，NABO=30°,

：.PH=^PB,

2

：.^PB+PD=PH+PD=DH,

2

，此時2PB+PO最短(垂線段最短).

2

在RtZ\A￡>H中，VZAHD=90°,AD=^-,ZHAD=60°,

2

.\sin60o=膽，

AD

:.DH=^^,

4

：.lpB+PD的最小值為3返；

24

(3)①以A為圓心A8為半徑畫弧，因?yàn)锳8>4。，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點(diǎn)，

且AM=AB,即M點(diǎn)存在兩個，所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個；

②以8為圓心AB為半徑畫弧，因?yàn)锳B〉/,故此時圓弧與對稱軸有兩個交點(diǎn)，且

=A2,即M點(diǎn)有兩個，所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個；

③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點(diǎn)，此時因?yàn)镸點(diǎn)有一個，所以

滿足條件的N點(diǎn)有一個；

則滿足條件的N點(diǎn)共有5個，

故答案為：5.

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，菱形

的判定，銳角三角函數(shù)定義，垂線段最短的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法

確定函數(shù)解析式，學(xué)會利用垂線段最短解決實(shí)際問題中的最短問題，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合

解決問題.

4.分析：⑴)①將x=0,y=0代入y=a(x-2)2中計算即可；②y=/x2-2x.

(2)將(0,0)代入y=a(x-h)之中，可求得待定系數(shù)法求OB、

AB的解析式，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為根，即可表示出相應(yīng)線段求解；

(3)以點(diǎn)0、A、D、D'為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，DD1=。4,可知點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2,

再由40=04=4即可求出h的值.

解：(1)①將x=0,y=0代入y=a(x-2)2-2得：(0-2)2-2,解得：a

=工

21

②產(chǎn)/x?-您.

(2)???拋物線y=“(X-//)2經(jīng)過原點(diǎn)，0=1;

.".y=—%2,

-2

：.A(4,0),B(2,-2),

易得：直線解析式為：y=-x,直線A8解析式為：y=x-4

如圖1>P(m,/1n2-2機(jī))，D(m,ECm,0),F(w,-m),D'(-m,

2

①PO=/m2-(-^m-2,M)=2m,DD'=2m

?PD_2m_?

7

*'DD—五一

②如圖1,當(dāng)0<機(jī)<2時，L=OE+EF+OF=m+m+y/2m=(2+&)m,

當(dāng)2<根<4時，如圖2,設(shè)交x軸于G,交AB于H,PD交x軸于E,交4B于凡

貝UP(/*,—-Im},DCm,—TT,2),EGn,0),F{m,m-4),D'(,-m,—m2),

222

22

PF=(w-4)-(Am-2m)---m+3w-4,FH=PH^^-PF^

2224m2

-2五，PG=2血2+2行”

■:DD'//EG

里，即：EG?PD=PE?DD',得：EG<2m)=(2w-XM2)?2/M

DD'PD2

：.EG=2m-^m2,EF=4-m(也可以利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論)

2

2+12

L=EG+EF+FH+GH=EG+EF+PG=2m-A,?+4-/?+(^2a然)=~^m

222

+(2^/2+1)m+4

(2W^)m(0<m42)

:.L=11^2+(2\/^+])?4(2^m<C4)

(3)如圖3,設(shè)。尸交x軸于N.

圖3

,JOADD1為菱形

：.AD=AO=DD,=4,

:.PN=2,

NA22

=VAD-PD=V42-22=2a

：.h=2+273.

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，拋物線

的平移等，解題時要注意考慮分段函數(shù)表示方法.

5.分析：(1)令)，=0解方程即求得點(diǎn)A、8的坐標(biāo)；把拋物線解析式配方即得到頂點(diǎn)。的

坐標(biāo).

(2)由于拋物線經(jīng)過180。旋轉(zhuǎn)后開口大小不變(方向相反)，拋物線心頂點(diǎn)為P與。

關(guān)于點(diǎn)M中心對稱，即A/為中點(diǎn)，則利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用，〃表示點(diǎn)01坐標(biāo)，進(jìn)

而用頂點(diǎn)式寫出拋物線L1的表達(dá)式.①當(dāng)拋物線人經(jīng)過原點(diǎn)，即把x=0、y=0代入拋

物線L\的表達(dá)式得到關(guān)于m的方程，解方程即求得m的值.

②利用構(gòu)造弦圖的全等三角形，求出以8。為邊，另外兩點(diǎn)M、N也在第一象限內(nèi)的正

方形BDMN中，點(diǎn)、M、N坐標(biāo).分類計算當(dāng)點(diǎn)M或點(diǎn)N為C在拋物線Li上，列得關(guān)于

m的方程，解得m的值代入拋物線L\的表達(dá)式即可.

解：(1)；y=0時，->1/-"+互=0

22

解得：xi=-5,%2=1

AA(-5,0),B(1,0)

：y=-2？-2x+5=-2(x+2)2+9

2222

：.D(-2,—)

2

(2)?.?將拋物線L繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線Li

.??拋物線L1開口大小與拋物線L相同，開口方向相反，即。=工

2

設(shè)拋物線L\頂點(diǎn)為Di,則。?與。(-2,?)關(guān)于點(diǎn)M中心對稱

2

：.M(m,0)為DD1中點(diǎn)

.xD+xDVD+VD］八

..------Lt=tn,-------=0

22

：.Di(2m+2,一9)

2

，拋物線Li的頂點(diǎn)式為尸/(x-2m-2)2-￡

①：?拋物線L1經(jīng)過原點(diǎn)

.?」(0-2/n-2)2-旦=0

22

解得：m\=--,m2=—

22

的值為-”或工

22

②存在以8。為邊，以8,D,C,E為頂點(diǎn)的正方形.

如圖，假設(shè)點(diǎn)”、N在第一象限內(nèi)，且四邊形為正方形

過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)P,作QRLy軸，過點(diǎn)M作MRLOR于點(diǎn)R,過點(diǎn)N作NQLx

軸于點(diǎn)Q

：.BP=\-(-2)=3,0P=搟，NDPB=NDRM=NBQN=90。

；四邊形BDMN是正方形

：.NMDB=/DBN=90°,DM=DB=BN

：.ZPDB+ZPBD=NPBD+NQBN=9Q°

：.ZPDB=ZQBN

在△P8O與△QVB中

，ZDPB=ZBQN

-ZPDB=ZQBN

BD=NB

.,.△PBDBAQNB(A4S)

：.BQ=PD^^,QN=PB=3

.?.XN=1+9」^,即N』，3）

222

同理可證：4PBD9ARMD

Q

：.DR=PD=—RM=PB=3

2f

：.M（互，工）

22

i）若點(diǎn)C在點(diǎn)M位置且在拋物線Li上，則上（5-2,"-2）2-2=①

2222

解得：,"1=工+捉，m2=--^6

44

.?.尸工（X-276-—）2-9或/=」（X+2V6-—）2-—

222222

〃?）若點(diǎn)C在點(diǎn)N位置且在拋物線Li上，則」（11-2m-2）2-1-3

222

...y=《（X-V15-—）2-旦或y=-l（x+萬一￥）2-2

222222

綜上所述，此時拋物線L\的表達(dá)式為y=l（x-2捉-互）2-9或y=l（x+2遙-

22tit

2-9或產(chǎn)工（x-V15-—）2-9或產(chǎn)工（X+萬一孕）2-2

2222222

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元二次方程，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公

式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).解題關(guān)鍵是在無圖的情況下運(yùn)用函數(shù)圖

象和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解題，抓住拋物線在旋轉(zhuǎn)過程中特殊點(diǎn)(頂點(diǎn))的變換特點(diǎn).

6.分析：(1)根據(jù)題意求得點(diǎn)4、B、C、E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線/1和直線AC解析式.過

點(diǎn)尸作x軸垂線PG交AC于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為f,即能用f表示尸、，的坐標(biāo)進(jìn)而

表示尸〃的長.由5/^。=5/^>"+5?9=工?""6+2出7?。6=工2小04=2?，得到關(guān)

222

于f的二次函數(shù)，即求得f為何值時△APC面積最大，求得此時點(diǎn)P坐標(biāo).把點(diǎn)P向上

平移MN的長，易證四邊形PMNP是平行四邊形，故有PM=P'N.在直線1\的上方以

EN為斜邊作等腰RtANEQ,則有NQ=?EN.所以PM+MN+顯EN=PN+MN+NQ,

22

其中MN的長為定值，易得當(dāng)點(diǎn)P\N、Q在同一直線上時，線段和的值最小.又點(diǎn)N

是動點(diǎn),NQLEQ,由垂線段最短可知過點(diǎn)P作EQ的垂線段P7?時,PN+NQ=P7?最短.求

直線EQ、P7?解析式，聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)R坐標(biāo)，進(jìn)而求得P'R的長.

(2)先求得C,D,F的坐標(biāo)，可得△CDF是等腰直角三角形，當(dāng)繞F逆時針旋

轉(zhuǎn)45°再沿直線尸。平移可得△「'C"D",根據(jù)以O(shè),C",D",K為頂點(diǎn)的四邊形

為菱形，可得。K〃C"D",PDVC"D",OKLPD,0K=2,即可求得K的坐標(biāo)，當(dāng)

△CCF繞尸順時針旋轉(zhuǎn)45°再沿直線尸。平移可得C"ZT,根據(jù)以0,C"，

K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，可得0KJ_P。，0K=2揚(yáng)2,即可求得K的坐標(biāo).

解：(1)如圖1,過點(diǎn)P作PG_Lx軸于點(diǎn)G,交4C于點(diǎn)H,在PG上截取尸產(chǎn)=MN,

連接PW,

以NE為斜邊在直線NE上方作等腰Rt/XNEQ,過點(diǎn)P作P,RLEQ于點(diǎn)R

".'x=0時，y=—x2+x-4=-4

2

：.C(0,-4)

,.,y=0時，■^■X2+X-4=0

解得：xi=-4,xi—2

(-4,0),B(2,0)

直線AC解析式為y=-x-4

?：拋物線上的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3

.,.yE=—X32+3-4=—

22

：.E(3,工)，直線/|：y=Z

22

?.?點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在直線/i上，MNLx軸

:.PP=MN=M

2

設(shè)拋物線上的點(diǎn)尸(f,—?+?-4)(-4<f<0)

2

：.HCt,-t-4)

：.PH=-r-4-(A/2+r-4)=-A？-2/

22

AS^APC^S^APH+S^CPH^—PH'AG+^PH-OG^—PH-0A^2PH^-i2-4t

222

當(dāng)―-――-2時，S&&PC最大

-2

.".yp——t1+t-4=2-2-4—-4,yp'-yp+—=^-

222

：.P(-2,-4),P(-2,-』)

2

,:PP'=MN,PP,//MN

四邊形PMN尸是平行四邊形

：.PM=P'N

?.,等腰RtZSNEQ中，NE為斜邊

：.4NEQ=NENQ=45°,NQLEQ

:.NQ=XEN

2

PM+MN+^-EN=P'N+PP'+NQ=—+P'N+NQ

22'

?當(dāng)點(diǎn)P、N、。在同一直線上時,P'N+NQ=PR最小

/.PM+MN+返硒=1+PR

22

設(shè)直線EQ解析式為y=-x+“

-3+a——解得：

22

，直線EQy=-x+券

設(shè)直線PR解析式為y^x+b

：.-2+b=-A解得：b=3

22

直線PR：y=x+1-

.y=-x下

?解得：J

3

y=x+7,y=4

：.R(24)

2

("|"+2)2+(4T)2=2^

PM+MN+返EN最小值為

22

(2)'：PD1.AC,P(-2,-4),

直線尸。解析式為：y=x-2,

：.D(0,-2),F(-1,-3),

.,?CD=2,DF=CF=y/2>△(?￡>尸是等腰直角三角形，

如圖2,把△￡）下（？繞頂點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到△OFC,（&-1，-3）,D

（-1,圾-3）

把△〃人?沿直線尸。平移至△￡)"F'C",連接。'D",CC"

則直線C'C"解析式為y=x-2-&,直線O'D"解析式為y=》+血-2,顯然OC"

》血+1>2=。"D"

...以O(shè),C",D",K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，0C"不可能為邊，只能以0D"、C"D"

為鄰邊構(gòu)成菱形

AOD"=C"D"=0K=2,

■：OK//C"D",PD1.C"D"

：.OKA.PD

(我，-料)，

如圖3,把△OFC繞頂點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)45°,得到△Z7FC,.,.C'(-1,-3-\歷),

D'(V2-1)-V2-3)

把△￡>'■7沿直線PO平移至△?'F'C",連接D",CC",

顯然，C"D"http://PD,OC"2M+1>C"D",0D"2b+1>C"D",

.?.以0,C"，D",K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，C"D"只能為對角線，

Ki(2+A/2,-2-y[0).

綜上所述，點(diǎn)K的坐標(biāo)為：Ki(J5，-J5),K2(2+J5，-2-J5).

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)最值應(yīng)用，線段和最小值問題，待

定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換，等腰直角三角形性質(zhì)，菱形性質(zhì)等知

識點(diǎn)，涉及知識面較廣，綜合性很強(qiáng)，難度較大，是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合題、壓軸

題，要求學(xué)生能夠掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題.

7.分析：（1）待定系數(shù)法求直線BC解析式，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為處用含，"的代數(shù)式表示P。,

再根據(jù)PH與PQ的關(guān)系得到PH最大時，m的值，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°得

△PM'B,連接MM',過點(diǎn)P作P'R_Lx軸于點(diǎn)R,線段AP'即為例+P歷

的最小值.

（2）C、N、B、S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形可以根據(jù)C'B分別作為矩形對角線或邊分

類進(jìn)行討論：①當(dāng)C'8為矩形對角線；②當(dāng)C'8為矩形的邊，CB±CN時：③

當(dāng)C'B為矩形的邊，CBLBN時.先求出點(diǎn)N坐標(biāo)后再根據(jù)平移規(guī)律求S坐標(biāo).

解：（1）在拋物線>>=-上/+笆3x-4中，令x=0,得y=-4,；.C（0,-4）

33

令y=0,得=-:+鉉x-4=0,解得：X\=?,X2=W^,(5/3-0)，B(4?,

33

0),

?■?fiC=VoB2-K)C2=8

如圖1,過點(diǎn)。作PQJ_x軸于點(diǎn)E交SC于點(diǎn)。則尸?！▂軸,

：.ZPQH=ZBCO

'：PHLBC

：.NPHQ=NBOC=90°

：./\PQH^/\BCO

.PH_BO_W3_Vs

"PQBC"1-V

設(shè)直線2C解析式為y=心+6將B（4“，0）,C（0,-4）代入得l/k+bn。，解得

lb=-4

b=-4

二.直線BC解析式為>=零》-%

設(shè)p（辦,m2+-^返機(jī)-4），Q（機(jī)，返機(jī)-4）,則PQ=J^m2+W3/n

33333

?<0'0<m<4M

.??當(dāng)，〃=2加時，PQ有最大值，此時P”=^PQ有最大值，，P（2加，2）,

將△PM8繞點(diǎn)3順時針旋轉(zhuǎn)120°得△〃M'B,連接MA/',過點(diǎn)P'作P'R_Lx軸

于點(diǎn)R,

：tan/PBE=^=—^==返，：.ZPBE^30°

BE2733

：.ZP'BR=180°-120°-30°=30°,P'B=PB=4

則P'（6?,2）,AP'=，AR2+P，R2=M，

AM+4?>BM+PM=AM+MM'+PM^AP'=5/79；

（2）存在.如圖2,設(shè)N（心旦，〃），

2

,-D（0,-2）,.,MD=^OA2<）D2=V7

???拋物線y=-工