2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題講次20 證明題專項(xiàng)訓(xùn)練（教師版）

專題20證明題專項(xiàng)訓(xùn)練

典例剖析

1.（2018?上海中考真題）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BE_LAPUDF_LAP,

垂足分別是點(diǎn)EOF

□1）求證：EF=AEDBED

A/?DF

□2）聯(lián)結(jié)BF,如果——=——.求證：EF=EPU

BFAD

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得AB=ADH/BAD=90。,根據(jù)等角的余角相等得到N1=N3,

則可判斷AABE絲4DAF,則BE=AF,然后利用等線段代換可得到結(jié)論；

NFDFBEBF

吃）利用——=——和AF=BE得至U——=——，則可判定RtABEFsRt/iDFA,所以N4=/3,

BFADDFAD

再證明/4=/5,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP

【詳解】1???四邊形ABCD為正方形,

.\AB=ADZBAD=90°VBE±APDF_LAP/.ZBEA=ZAFD=90°

Zl+Z2=90°nZ2+Z3=90°DZ1=N3匚

在AABE和ADAF中

NBEA=NAFD

，N1=N2

\AB=DA

，AABE^ADAFDABE=AFJEF=AEAF=AEBE

AFDF

2）如圖，*而AF=BE

BFAD

BEDFBEBF

————=——L.1.RtABEF^RtADFA；.Z4=Z3

BFADDFAD

而Z4=Z1Q

VZ5=Z1/.Z4=Z5

即BE平分/FBP」

而B(niǎo)E±EPD.,.EF=EPn

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),

熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)E在Z8延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)NC,

DE,OE分別交8C,4c于點(diǎn)F,G,S.CD-AE=AC-AG.

求證：（1）口ABCs口4GE；

（2）AB2=GDDE

AC

【分析】（1）只要證明一=—,又/BAC=NGAE,即可證明ABCS^AGE；

AGAE

（2）只要證明」ADGS/XEDA,可得黑=寫(xiě)，推出AD2=DE?DG即可證明；

CDAC

【詳解】證明：(1)CDAE=ACAG,□—=——

AGAE

四邊形ABCD是菱形，AB=CD,

AR

——=——,ABAC=ZGAE,

AGAE

(2)△ABCS^AGE,NACB=NE,

四邊形。是菱形，AB=AD,BCIIAD,

ZACB=ZCAD=ZE,

ZADG=ZADE,^ADG^^EDA,—=—

DEAD

AD2=DE-DG，

AB2=DEDG.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

3.(2020?上海九年級(jí)三模)已知：如圖，點(diǎn)E為對(duì)角線ZC上的一點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段

8E的延長(zhǎng)線上，且EF=BE,線段E/與邊CO相交于點(diǎn)G.

(1)求證：DF//AC；

(2)如果DG=CG,聯(lián)結(jié)。以CF,求證：四邊形。EC尸是矩形.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BO=DO,根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB〃CD,由平行線的性質(zhì)得到NBAE=NGCE,求得

ZGEC=ZGCE,得至IJGE=CG,推出四邊形DECF是平行四邊形，得到DG=CG=FG=GE,

于是得到結(jié)論.

【詳解】證明：（1）?.?四邊形ABC力是平行四邊形，30=00.

?.?呼=3石，是口5。尸的中位線.0E//DF,即。f7/AC.

（2）-.AB=BE':.NBAE=NBEA.

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，NBAE=NGCE.

又NBEA=NGEC,NGEC=NGCE.GE=CG.

DGFG

?：DFHAC,.?.△DFGs/XCEG,：.——=—.

CGGE

?：DG=CG,:.FG=GE.，四邊形DEC/是平行四邊形.

,:DG=CG,FG=GE,GE=CG.:.DG=CG=FG=GE.

DC=EF..?.四邊形。ECF是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理,

相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模）己知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,

AB=DC,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線DE,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

E

求證：

(1)AABC^ADCB；

(2)DEDC=AEBD.

【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定條件找到相應(yīng)的條件：AC=DB,AB=DC,BC=CB,

即可證明:

（2）根據(jù)題意證明△ADEsaCBD,對(duì)應(yīng)邊成比即可求證.

【詳解】證明：（1）???四邊形ABCD是等腰梯形，.\AC=DB,

VAB=DC,BC=CB,AAABC^ABCD,

（2）VAABC^ABCD,；./ACB=ZDBC,NABC=NDCB,

：AD〃BC,.,.ZDAC=ZACB,ZEAD=ZABC,

：ED〃AC,；./EDA=/DAC,AZEDA=ZDBC,/EAD=NDCB,

AAADE^ACBD,/.DE：BD=AE：CD,ADEDC=AEBD.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定定理，相似三角形的證明及性質(zhì).

5.（2020?上海九年級(jí)二模）已知：如圖，在平行四邊形"BCD中，對(duì)角線/C與8。交于點(diǎn)

。，點(diǎn)￡是。8延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且無(wú)1=EC,分別延長(zhǎng)N。、EC交于點(diǎn)、F.

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）如果求證：EC'CF=AF-AD.

【分析】（1）由四邊形力88是平行四邊形知O4=0C,結(jié)合E/=EC知EO_L/C,從而得

證；

（2）先由NAEB=NCEB=gZAEC,平行四邊形ABCD為菱形得NCQF=ZDAC+ZDCA

=ZAEF,據(jù)此可證△尸CDs△科￡得生=C￡,結(jié)合CZ）=N￡>,4E=CE可得答案.

FAAE

【詳解】（1）???四邊形N8C。是平行四邊形，.?.04=OC,

又?：EA=EC,:?EOLAC,J四邊形4&CD是菱形;

(2)?；NAEB=NCEB=gNAEC,平行四邊形力8co為菱形，

,ZAEB=NCEB=NBAC=ZBCA=ZDAC=/DCA,

ZCDF=/DAC+/DCA=/AEF,

J△尸CDs△物￡1,

FAAE

FCAD

VCD=AD,AE=CE,；.-=—,B|JEC<F=AF?AD.

FACE

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是掌握判定定理.

6.(2020?上海九年級(jí)二模)如圖，在平行四邊形ABCD中，BE、DF分別是平行四邊形的

兩個(gè)外角的平分線，/EAF=：NBAD,邊AE、AF分別交兩條角平分線于點(diǎn)E、F.

(1)求證：△ABESAFDA；

(2)聯(lián)結(jié)BD、EF,如果DF2=AD?AB,求證：BD=EF.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得到/HDF=g/HDC.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到

AB〃CD.求得NBAD=NCDH.等量代換得到NBAE=NF,同理NDAF=/E,于是得

到結(jié)論；

(2)作AP平分NDAB交CD于點(diǎn)P,由角平分線的定義得到NDAP=gNBAD,求得NHDF

=NDAP,推H|DF〃AP,同理BE〃AP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=DF,根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)vZEAF=yZBAD,，/DAF+NBAE=:/BAD,

；DF平分NHDC,.,.ZHDF=—ZHDC,

2

又；四邊形ABCD是平行四邊形，；.AB〃CD,.?.NBAD=NCDH,

；./HDF=NEAF,AZHDF=ZDAF+ZBAE,

又,；/HDF=/DAF+NF,/BAE=/F,

同理：NDAF=NE,.,.△ABE^AFDA；

(2)作AP平分/DAB交CD于點(diǎn)P,

ZDAP=-ZBAD,

2

VZHDF=-ZCDH,且NBAD=NCDH；.NHDF=NDAP,；.DF〃AP,

2

同理：BE〃AP,；.DF〃BE,

ADDF

?/△AABE^AFDA,；.——=——，n即nBE?DF=AD?AB,

BEAB

XVDF2=AD?AB,；.BE=DF,二四邊形DFEB是平行四邊形，ABD=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2020?上海楊浦?九年級(jí)二模）如圖，已知在正方形48CZ）中，對(duì)角線NC與2。交于點(diǎn)

。，點(diǎn)M在線段上，聯(lián)結(jié)4M并延長(zhǎng)交邊Z)C于點(diǎn)E,點(diǎn)N在線段0c上，且ON=OM,

聯(lián)結(jié)。N與線段ZE交于點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EMMN.

(1)如果EN〃BD,求證：四邊形QMNE是菱形;

(2)如果EV_LZ)C,求證：AN2=NC'AC.

【分析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)及ON=OM,求出MN〃CD,進(jìn)而得出四邊形DMNE是平行

四邊形，在證明出△AOMg^DON即可得到平行四邊形DMNE是菱形；

(2)根據(jù)MN〃CD得到網(wǎng)=斗幺，再由EN_LDC得到ENACDC

——=——，冉由

NCMEANDE

AI\4AfiANAC

AB"DC,得到——=—,即可得到一=——，即為所求.

MEDENCAN

【詳解】證明：(1)如圖1,

:四邊形ABCD是正方形，.\OA=OB=OC=OD,AC1BD,

.ONOM

VON=OM,；.MN〃CD,

~OC~~OD

又YENaBD,.?.四邊形DMNE是平行四邊形，

在△AOM和△DON中，

,.,ZAOM=ZDON=90°,OA=OD,OM=ON,

.,.△AOM^ADON(SAS),AZOMA=ZOND,

；/OAM+NOMA=90°,NOAM+/OND=90”

AZAHN=90°.ADN1ME,二平行四邊形DMNE是菱形;

(2)如圖2,

.ANAM

：MN〃CD,

"~NC~ME

?.,四邊形ABCD是正方形，.\AB〃DC,AB=DC,ZADC=90°,，AD_LDC,

.ACDC

又，〃

?.?EN_LDC,ENAD''~AN~~DE'

.AM_AB.ANAC

VAB/7DC,.?.AN2=NC?AC.

"~ME~~DE"NC~AN

【點(diǎn)睛】此題考查正方形相關(guān)知識(shí)，主要是利用平行線分線段成比例求解，難度較大.

壓軸精練

L

1.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖，在aABC中，AB=AC,點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD,以

AD為一邊作AADE,滿足AD=AE,ZDAE=ZBAC,聯(lián)結(jié)EC.

(1)求證：CA平分NDCE；

(2)如果AB2=BD?BC,求證：四邊形ABDE是平行四邊形.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/B=/ACB,證明aABD絲4ACE,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得到NB=NACE,根據(jù)角平分線的定義證明結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ABDsaCBA,得到NBAD=NACB,分別證明

AE〃BD,AB//DE,根據(jù)平行四邊形的判定定理證明.

【詳解】(1)證明：：AB=AC,.*.NB=/ACB,

VZDAE=ZBAC,AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAD=NCAE,

在AABD和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD^AE

.,.△ABD^AACE(SAS),.,.ZB=ZACE,AZACB=ZACE,

，CA平分NDCE；

(2)證明：：AB2=BD?BC,...包=處，

BCAB

又/B=/B,.?.△ABDs^CBA,二NBAD=/ACB,

VAABD^AACE,/.ZBAD=ZCAE,AZCAE=ZACB,，AE〃BD,

VAB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC,AZACB=ZADE,

；./BAD=NADE,；.AB〃DE,：AE〃BD,AB〃DE,四邊形ABDE是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的

判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?上海九年級(jí)二模）已知：如圖，在梯形中，CD〃AB,ZDAB=90°,對(duì)角

線/C、8。相交于點(diǎn)￡,ACLBC,垂足為點(diǎn)C,且=

（1）求證：AD=DE；

（2）過(guò)點(diǎn)。作NC的垂線，交AC于點(diǎn)、F,求證：CE1=AE*AF.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△SCEs/vlcs,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

NCBE=NCAB,根據(jù)等角的余角相等得到根據(jù)等腰三角形的判定定理證

明；

（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到§3=裝，器=笑,得到g=空，整理得

EFDEDECEEFCE

到CE2根據(jù)等腰三角形的三線合一得到證明結(jié)論.

BCCA

【詳解】證明：（I）?；BC2=CE-C4,；.一=一，乂NECB=NBC4,

CEBC

：./\BCEs/\ACB,:.NCBE=NCAB,

'JACLBC,NDAB=90°,：.NBEC+NCBE=90°,NDAE+NCAB=90°,：.NBEC=NDAE,

；NBEC=NDE4,:.NDAE=NDEA,；.4D=DE：

（2）過(guò)點(diǎn)。作/C的垂線，交4c于點(diǎn)凡如圖,

?：DF1AC,ACLBC,:.NDFE=NBCA=9Q0,

CEBE

C.DF//BC,

EF-DE

.BEAECEAE2

■:DC//AB,?■,—=——，:.CE=AE,EF,

DECEEFCE

*：AD=DE,DFLAC,：.AF=EF,：.CE1=AE'AF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定

定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?上海九年級(jí)二模)已知：如圖，四邊形488是平行四邊形，延長(zhǎng)A4至點(diǎn)E,使

得4E=AB,聯(lián)結(jié)。E、NC.點(diǎn)尸在線段。E上，聯(lián)結(jié)8尸，分別交ZC、ZO于點(diǎn)G、H.

(1)求證：BG=GF；

(2)如果ZC=2/5,點(diǎn)尸是。E的中點(diǎn)，求證：AH2=GH>BH.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得ABCD,可證四邊形/CCE是平行

四邊形，可得孕="=1,可得結(jié)論；

GFAE

(2)由"&4S'可證BEFUDEA,可得EBF=EDA,通過(guò)證明AHGBHA,可得結(jié)論.

【詳解】證明：(1)口四邊形N8CD是平行四邊形，匚4B=CD,ABJCD,

AB=AE,AE=CD,四邊形為COE是平行四邊形,

BGAB

ACDE,----....=1,BG=GF；

GFAE

(2)^AB=AE,UBE=2AE,

QAC^2AB,UBE=AC,

□四邊形ZCDE1是平行四邊形，口/。=。。UDE=BE,

點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，DE=2E產(chǎn),AE=EF,

DE=BE,CE=UE,AE=EF,JQBEFQQDEA(SAS),DaEBF=QEDA,

DACDE,□GAH=EDA.EBF=GAH.

AHGH”

AHG=BHA,AHGBHA,——=——.AkP^GH-BH.

BHAH

【點(diǎn)睛】本題考查/相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性

質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

4.(2020?上海九年級(jí)二模)如圖，已知AB、AC是00的兩條弦，且AO平分NBAC.點(diǎn)

M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM=CN.

(1)求證：AB=AC；

……MNOM

(2)聯(lián)結(jié)OM、ON、MN,求證：——=——.

ABOA

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)O作ODLAB于點(diǎn)D,OELAC于點(diǎn)E,利用角平分線的性質(zhì)和垂徑定

理即可得出答案；

(2)聯(lián)結(jié)OB,OM,ON,MN,首先證明口BOMRAON,然后再證明口NOM口口

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】證明：（1）過(guò)點(diǎn)0作ODLAB點(diǎn)D,OE_LAC于點(diǎn)E,如圖所示:

YAO平分NBAC..\OD=OE.

ACr=AO2-OD\AE2=AO2-OE2，AD=AE.

-.-OD±AB,OE±AC,：.AB=2AD,AC=2AE,AAB=AC；

(2)聯(lián)結(jié)OB,OM,ON,MN,如圖所示，

VAM=CN,AB=AC；.BM=AN.

：OA=OB,/.ZB=ZBAO.

VZBAO=ZOAN,AZB=ZOAN,/.△BOM^AAON（SAS）,

AZBOM=ZAON,OM=ON,AZAOB=ZMON,AANOM^ABOA,

.MN_OM

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì),

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖，已知四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)產(chǎn)

在邊CO上（點(diǎn)尸與點(diǎn)C、。不重合），BEYEF,且/48￡+/。所=45°.

(1)求證：四邊形ABCO是正方形；

(2)聯(lián)結(jié)8。，交E尸于點(diǎn)。，求證：DQBC=CEDF.

【答案】(1)四邊形ABCO是正方形(過(guò)程見(jiàn)詳解)

(2)DQBC=CEDF(過(guò)程見(jiàn)詳解)

【分析】(1)本題借助輔助線利用NA5E+NCEF=45。，NFEM+NCEF=45。,找出

/DAC=45。得至I」DA=DC,即可證明，

(2)本題在(1)的條件下證明△CBE~aDFQ,即可求證.

【詳解】(1)

分別作EP_LBC,EM±CD,:四邊形ABCD為矩形，AZABE=ZBEP,

又BEJ_EF,AZBEP+ZFEP=ZFEP+ZFEM=90°,AZBEP=ZFEM,

NABE+NCEF=45°,:.NBEP+NCEF=45°,NFEM+NCEF=45°,

即/CEM=45。，.,.ZDAC=45°,ADA=DC,矩形ABCD為正方形.

⑵

D

由(1)得：ZQDF=ZBCE=45°,ZABE+ZEBQ=45°,

ZABE+ZCEF=45°,:.NCEF=ZEBQ,:.ZCEF+45°=NEBQ+45°,

即NEBC=NDFQ(三角形外角等于與其不相鄰兩內(nèi)角和)，

DFDQ

.?.△ACBE~△DFQ,——,.-.DFxEC=DQxBC,

BCEC

即DQBC=CEDF.

【點(diǎn)睛】此題從特殊四邊形下手，涵蓋知識(shí)點(diǎn)包括相似三角形的證明及性質(zhì).

6.（2020?上海九年級(jí)二模）已知：AABC,AB=AC,/A4C=90。，點(diǎn)。是邊8C的中點(diǎn)，點(diǎn)

￡在邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)4、8重合），點(diǎn)F在邊4C上，聯(lián)結(jié)DF.

（1）如圖1,當(dāng)尸=90。時(shí)，求證：BE=AF；

BE

~CF

【分析】（1）連接AD,證4BDE/Z\ADF（ASA）,即可得出結(jié)論;

iBEBDDE-BEBDDE.

(2)證明△BDEsAACFD.得出-----,得出---------—(),由BD=CD,

CDCFDFCDCFDF

即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）連接/3，如圖I所示:

在Rta/8C中，'：AB=AC,ZBAC=90°,:.NB=NC=45。*

???點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，：.AD^-BC=BD,AD1BC,ZBAD=ZCAD=45°,

2

：.NB=NCAD.

'：NEZ)尸=90°,，ZADF+ZADE=90°

,：NBDE+NADE=90。,：.NBDE=NADF,

NB=NCAD

在△8DE和△力。尸中，＜80=A。，

NBDE=ZADF

：.△8Z)￡絲△4QF(ASA),：.BE=AF；

(2),:NBDF=NBDE十NEDF,NBDF=NC+NCFD,

：.NBDE+NEDF=NC+NCFD.

又???/C=NEO尸=45。，/.NBDE=4CFD,：.ABDEs^CFD,

.BE_BD_DEBEBDDE

二五K=(而)2’

"CD_CF-DF

DE?BE

又?：BD=CD,：.——-----.

DF2CF

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角二角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)

鍵.

7.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖，已知四邊形ABC。菱形，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，

DH1AB,垂足為點(diǎn)〃，交AC于點(diǎn)￡,連接H。并延長(zhǎng)交CO于點(diǎn)G.

(1)求證：NDHO=-NBCD；

2

(2)求證：HGD4E=20E[TG

【分析】(1)(1)先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD=OB,AB〃CD,BD1AC,則利用DH_LAB得

到DH_LCD,/DHB=90°,所以O(shè)H為RtADHB的斜邊DB上的中線，得到OH=OD=OB,

利用等腰三角形的性質(zhì)得N1=/DHO,然后利用等角的余角相等證明結(jié)論；

(2)根據(jù)AB//CO,推出OH=OG=』HG,再證A4E￡>SACGO,即可推出

2

OG?AE=CG-DE,即可證出結(jié)論.

【詳解】(1)???四邊形ABCO是菱形，

ABIICD,AB=CD,AC±BD,DO=BO,ZACD=-NBCD,

2

DHLAB,：.NDHA=4DHB=90°,

vABIICD.:.NDHA=NHDC=90°,:.NBDH+NBDC=90°,

-,-ZCOD=90°,：.ZACD+ZBDC=90°,..ZDHB=90°,DO=BO,

：.OD=OH,：.ZBDH=ZDHO,ZDHO=-ZBCD.

2

HCOR1

（2）-AB//CD,—=—=:.OH=OG=-HG,

OGOD2

AD=CD,ZDCA=ZDAC,

?/ZAED=ZHDC+ZDCA,ZHGC=NHDC+NDHG,

又YNDHOMNDCA,："AED=NHGC,:.MED\CGO,

：.OG*AE^CG'DE,HG*AE=DE*CG,

DEAE2

:.HGME=2DEQG.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟記個(gè)性

質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?上海九年級(jí)二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCO中，對(duì)角線AC與8。相交

于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)E作4C的垂線交邊8C于點(diǎn)尸，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,且

ABAM=AEAC.

求證：（1）四邊形ABC。是矩形；

（2）DE2=EFEM.

ABAE

【分析】（1）由=AE-AC可得一=——，又/CAB=/EAM,從而推出

ACAM

△ABC^AAEM,繼而推出/ABC=/AEM=90°,從而可得出結(jié)論；

EBEF

（2）先證明△EFBsaEBM,從而推出——=——，得出EB2=EF.EM，乂DE=BE,

EMEB

從而可得出結(jié)果.

【詳解】證明：（1）VABAM=AEAC,：.—=——，

ACAM

又/CAB=NEAM,/.AABC^AAEM,AZABC=ZAEM=90",

又四邊形ABCD為平行四邊形，.?.四邊形ABCD為矩形：

（2）:四邊形ABCD為矩形，，AE=BE=DE=CE,

ZEAB=ZEBA,XZEAB+ZM=90",ZEBA+ZEBF=90°.\ZM=ZEBF,

rEBEF

乂/FEB=NBEM,/.AEFB^AEBM,------=——，

EMEB

EB2=EF-EM，DE-=EF-EM.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等

知識(shí)，綜合運(yùn)用基本性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖，區(qū)F分別是正方形ABCD的邊。C、的中點(diǎn)，以AE

為邊作正方形AE/7G,HE與BC交于點(diǎn)聯(lián)結(jié)AQ、DF.

(1)求證：AEYDF-,

(2)設(shè)SACEQ=S|，,Sqj&jQ=S3,,求證5]+52=§3.

【分析】（1）先說(shuō)明AADE9ADCF,然后再利用同角的余角相等以及垂直的定義即可證明;

OFCFDF1

（2）先證ZkADEs/\ECQ,得出￡=====—,進(jìn)而可得△AEQsaADEs^ECQ,

AEALDAD2

然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明.

【詳解】（1）證明：?.?四邊形ABCD是正方形

，AD=DC,ZADE=ZDCF=90°

SAADE和ADCF中

AD=DC

<ZADE=ZDCF

DE=CF

.,.△ADE^ADCF(SAS)AZEAD=ZCDF

,/NAED+/EAD=90°；.ZAED+ZCDF=90°/.AE±DF；

(2)VZADE=ZC,ZCEQ=ZEAD,AAADE^AECQ

QECEDEI

：E是CD的中點(diǎn).I

~AE~AD~AD~2

"：ZADE=ZC=90°.\AAEQ^AADE^AECQ

設(shè)CE=DE=a,則AD=2a,AE=&a

S.1S,4

?,3=7ST=5'AS'+SLs.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等.角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用全等

三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

10.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖，已知C是線段48上的一點(diǎn)，分別以4C、8c為邊在線

段同側(cè)作正方形/CDE和正方形C8GF,點(diǎn)F在CD上，聯(lián)結(jié)4尸、BD,BD與FG交于

點(diǎn)點(diǎn)N是邊/C上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EN交4F與點(diǎn)H.

(1)求證：AF=BD；

，…，eANGM

(2)如果一=——，求證：AFLEN.

ACGF

【分析】(1)根據(jù)SAS證明△ACFgZ\DCB即可得到結(jié)論;

⑵根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AE=AC,GF=GB,由第=器證得A=N篙G得M到

△EANsaBGM,再證明△MBGs^BDC,由aBDC四△FAC,得到△EANs^ACF,推

出NCAF+NANE=90。，即可得到結(jié)論.

【詳解】

(1)在正方形4cOE和正方形C8GE中，AC=CD,CF=CB,ZACD=ZBCD=90°,

/.△ACF^ADCB,???AF=BD；

(2)在正方形/COE和正方形C8G/中，AE=AC,GF=GB,

ANGM.ANGM

?^AC~~GF9^~AE~~GB9

VZEAN=ZG=90°,AAEAN^ABGM,

?.?CD〃BG,??.NCDB=NMBG,

VZDCB=ZG=90°,??.△MBG^ABDC,

VABDC^AFAC,/.AEAN^AACF,ZAEN=ZCAF,

VZAEN+ZANE=90°,AZCAF+ZANE=90°,AZAHN=90°,AAF.LEN.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì).

11.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖，已知在平行四邊形/8CO中,/EL8C,垂足為E,CE=AB,

點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段CD上,聯(lián)結(jié)。F,交/G于點(diǎn)",交EG于點(diǎn)N,且NDFC=NEGC.

（1）求證：CG=DG；

（2）求證：CG^=GMAG.

【分析】（1）首先證明△ECG嶺△OCF,貝D有CG=CF,因?yàn)閎=，CE,則有CG=，C￡）

22

則結(jié)論可證；

（2）延長(zhǎng)4G、BC交于點(diǎn)H,首先證明絲ZV/CG,則有/G=HG然后根據(jù)直角三

角形斜邊中線有4G=4G=EG,進(jìn)而得出NCOF=NDN，，進(jìn)一步可證△4DGSZ\OA/G,則

有震=痛，即力又因?yàn)镃G=OG即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：（1）???四邊形/8CD是平行四邊形，CE=AB,

：.AB=CD=EC.

XVZDFC=ZEGC,ZFCD=ZGCE,；.△ECG絲△DCF,：.CG=CF.

:點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，：.CF=-CE,：.CG=-CD,即：CG=DG.

22

（2）延長(zhǎng)4G、8c交于點(diǎn)H.

AD

,:△ECGWXDCF,：.ZCEG=ZCDFDG=CG.

:四邊形力8c。是平行四邊形，

:.NDAH=NH,ZADC=ZDCH.:.XADGmXHCG,：.AG=HG.

'：AE±BC,：.ZAEC=90°,：.AG=HG=EG.:"CEG=ZH,：.ZCDF=ADAH.

,又"：乙AGD=LDGM、：.AADGsADMG.=,.*.DG2=GM-AG

DGAG

又LCG=DG,CG2=GMAG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角

形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2020?上海九年級(jí)一模）已知：如圖，A25c中,N4CB=90。，每在斜邊Z8上，DEL4C,

DFLBC,垂足分別為E,F.

（1）當(dāng)NZCZ）=N8C￡＞時(shí)，求證：四邊形。ECF是正方形;

（2）當(dāng)時(shí)，求證：一=——

CAAD

【分析】（1）由垂直的定義可得出DEC=DFC,結(jié)合ECF=90?？傻贸鏊倪呅?。EC/為

矩形，由山18=口58可得出8平分IZCB,利用角平分線的性質(zhì)可得出。再

利用“鄰邊相等的矩形是正方形“可證出四邊形DECF是正方形；

(2)由BCD+ACD=ACB=90°,BCD=/可得出/+ACD^90°,利用三角形內(nèi)

角和定理可求出口/。。=90。，由口。6=匚4□。/。=口4。。=90?？勺C出口。尸口【/。＞,

再利用相似三角形的性質(zhì)可證出—.

【詳解】證明：(1)DEAC,DFBC,1「QEC=「］￡＞尸C=90°,

又□□ECF=90。，□四邊形DEC尸為矩形.

口」ZC￡)=L8C。，UC。平分LMC8,」DE=DF,

例邊形Z)￡CF是正方形.

(2)BCD+UACD=UACB=90°,BCD=A,A+ACD=90°,

□/OC=180°-90°=90°.

CDCF

,DCF=LA,DDFC=nADC=90°,LLCDFDJACD,□——=——.

CAAD

【點(diǎn)睛】本題考查/相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是：(1)利用

“鄰邊相等的矩形是正方形”，證出四邊形。EC尸是正方形；(2)利用“兩角對(duì)應(yīng)相等兩

三角形相似”證出△口□尸

13.(2020?上海)如圖，在口ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、BC上，AE與CD交于

點(diǎn)尸，若AE平分NBAC,ABAF=ACAE.

(1)求證：ZAFD=ZAEC；

(2)若EG//CO,交邊AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：CDCG=FCBD.

E

G

【分析】(1)先證△BAEs/XCAF,推出NAEB=NAFC,由等角的補(bǔ)角相等可得出結(jié)論:

(2)先后證明NDCB=NCEG,NG=NACF=/B,推出△BDCsaGCE,由相似三角形

的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：?.?AB?AF=AC?AE,—=—,

AEAF

：AE平分NBAC,.\ZBAE=ZCAE,AABAE^ACAF,

；./AEB=NAFC,/.180°-ZAEB=180°-ZAFC,NAEC=NAFD；

(2)證明：VZCFE=ZAFD=ZCEF,，CE=CF,

：DC〃EG,，NDCB=/CEG,NG=NACF=/B,

BDGCGC

.,.△BDC^AGCE,；.——=——=——，.-.CD?CG=FC?BD.

DCCECF

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用相似三角形的判定

與性質(zhì).

14.(2020?上海九年級(jí)一模)如圖，在RtZ\/18C中，NZC8=90°,點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn),

聯(lián)結(jié)/D.過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)

(1)求證：BD2=DE*AD；

(2)如果NZ8C=NOCE,求證：BD，CE=BE?DE.

【分析】(1)證明推出一=一，可得⑦二力?以即可解決問(wèn)題.

ADCD

ACEC

(2)利用相似三角形的性質(zhì)首先證明/C=BE,再證明△ZCEs^CDE,可得一=—

CDDE

BEEC

可得===即可解決問(wèn)題?

BDDE

【詳解】解:

(1)證明：如圖1中,

圖1

'：CE±AD,：.ZCED=ZACD=90°,

CDDE,

VZCDE=ZADC,:.△CDEs^ADC：.——=——，：.0^=DE'DA,

ADCD

,：DB=CD,.,.BD2=DE-DA.

(2)解:如圖2中,

圖2

.BDDA

,:BA=DE,DA,

'DE~BD

：NCDE=NADB,：.^BDE^/\ADB,:./DEB=NABC,

'：ZABD=ZECD,：.NBED=NBCE,

BEBD

,:NEBD=NCBE,:.△EBDs^CBE,：.——.：.BE1=BD'BC,

CBBE

\'CD=BD,：.BE2=2CD2,

ZDCE+ZACE=90°,ZCAD+ZACE=90°,NCAD=NECD=ZABC,

ACCD

VZACD=ZBCA,：./A\ACD^/^BCA,：.—

BCAC

:.A0=CD?CB=2CD2,:.AC=BE,

ACECBEEC

,:XAACEs{A\CDE,：.——=————=——，:.BD-CE=BE?DE.

CDDEBDDE

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

15.(2020?上海九年級(jí)一模)如圖，在△/BC中，點(diǎn)。、E分別在邊48、BC上,AE與CD

交于點(diǎn)尸，若4E平分NBAC,AB?AF=ACME.

(1)求證：ZAFD=ZAEC；

(2)若EG〃CD,交邊NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：CD*CG=FC?BD.

【分析】(1)先證尸，推出由等角的補(bǔ)角相等可得出結(jié)論；

(2)先證明/DC8=NCEG,/G=N4CF=NB,推出△8DCs/\GCE,由相似三角形的

性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：；AB?AF=AC?AE,：.——=——

AEAF

平分N8/C,：.ZBAE=ZCAE,：./\BAE^/\CAF,:.NAEB=NAFC,

.?.180°-N4EB=180°-ZAFC,:.NAEC=NAFD；

(2)證明：:NCFE=/AFD=NCEF,:.CE=CF,

'：DC//EG,:.NDCB=NCEG,NG=NACF=NB,：./\BDC^/XGCE,

BDGCGC

------------------,.?CD,CG—FC,BD.

DCCECF

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用相似三角形的判定

與性質(zhì).

16.（2020?上海九年級(jí)一模）己知：如圖，在△4BC中，點(diǎn)。在邊8c上，AE//BC,BE與

AD./C分別相交于點(diǎn)F、G,AF2=FGFE.

(1)求證：/\CADs/\CBG；

(2)聯(lián)結(jié)。G,求證：DGAE=ABAG.

【分析】（1）由AF?=FGFE及乙4FG=NEE4,證得△HGs△尸瓦4,結(jié)合4￡〃BC,證

得NEBC=NE4G,從證得結(jié)論；

⑵由（1）的結(jié)論得到—,證得△C￡?Gs^CAB,結(jié)合AE//BC,證得型=%,

CBCGAECB

繼而證得結(jié)論.

【詳解】（1）,: