2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的對(duì)稱與平移

2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的對(duì)稱與平移

一、選擇題（共5小題）

1.（2021?通遼）如圖，已知A￡>//BC,ABVBC,/W=3,點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接小，將AABE

沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)屈處，過點(diǎn)夕作4）的垂線，分別交A￡>,BC于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)夕為線段M/V的

三等分點(diǎn)時(shí)，3E的長(zhǎng)為（）

2.（2021?綏化）已知在RtAACB中，ZC=90°.ZABC=15°,43=5,點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)下為

邊他上的動(dòng)點(diǎn)，則線段莊+￡B的最小值是（）

4.（2021?江西）如圖是用七巧板拼接成的一個(gè)軸對(duì)稱圖形（忽略拼接線）小亮改變①的位置，將①分別擺

放在圖中左，下，右的位置（擺放時(shí)無縫隙不重疊），還能拼接成不同軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為（）

C.4D.5

5.（2021?丹東）如圖，在矩形MC￡＞中，連接5。，將ABCD沿對(duì)角線比＞折疊得到AfiDE,BE交AD于

點(diǎn)O,3E恰好平分若AB=2上,則點(diǎn)。到區(qū)＞的距離為（）

A.6B.2C.-73D.3

2

二、填空題（共5小題）

6.（2021?重慶）如圖，AABC中，點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn)，連接AD,將A40C沿直線4）翻折至AABC所在

平面內(nèi)，得AMC,連接CC,分別與邊他交于點(diǎn)E,與AD交于點(diǎn)O.若AE=BE,BC'=2,則AD的

長(zhǎng)為—.

7.（2021?宜昌）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（-l,2）向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)8,則點(diǎn)8關(guān)于x

軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是

8.（2021?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形。3C的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸

上，B,。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為8（Y,6）,￡）（0,4）,線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持￡F=3,當(dāng)四邊形83防的

9.（2021?海南）如圖，在矩形中，AB=6,A￡>=8,將此矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。落

在點(diǎn)。處，折痕為印，則47的長(zhǎng)為,的長(zhǎng)為.

10.（2021?鄂爾多斯）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)F是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接CF,DF,且

NADR=N￡）CF,點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接￡?,EF,則E8+EF長(zhǎng)度的最小值為____.

三、解答題（共6小題）

11.（2021?云南）如圖，四邊形是矩形，E、F分別是線段AD、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)O是EF與比?的

交點(diǎn).若將沿直線8。折疊，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合.

（1）求證：四邊形3EDF是菱形；

(2)若ED=2AE,ABAD=3y/3,求所包。的值.

12.（2021?深圳）如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位.

（1）過直線機(jī)作四邊形A8CD的對(duì)稱圖形；

（2）求四邊形的面積.

13.（2021?青海）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要

作60。，30。，15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：對(duì)折矩形紙片/W8,使AZ）與8c重合，得到折痕￡F,把紙片展開（如圖1）.

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在ER上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)8,得到折痕同時(shí)得到線段8N（如

圖2）.

猜想論證：

（1）若延長(zhǎng)MN交3c于點(diǎn)P,如圖3所示，試判定ABMP的形狀，并證明你的結(jié)論.

拓展探究：

（2）在圖3中，若AB=a,BC=b,當(dāng)a,〃滿足什么關(guān)系時(shí);才能在矩形紙片A5CD中剪出符合（1）

中結(jié)論的三角形紙片助WP?

圖1圖2圖3

14.（2021?哈爾濱）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，AA8c的頂點(diǎn)和線段DE■的端

點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在方格紙中將A4BC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到&VWP（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

是點(diǎn)M,點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N,點(diǎn)、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P），請(qǐng)畫出AMNP：

（2）在方格紙中畫出以DE為斜邊的等腰直角三角形D￡F（點(diǎn)F在小正方形的頂點(diǎn)上）.連接陽(yáng)，請(qǐng)直

接寫出線段用的長(zhǎng).

16.（2021?大慶）如圖，在平行四邊形A8C。中，AB=3,點(diǎn)E為線段A3的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,點(diǎn)尸

為線段C￡＞的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C）,且將ABCE沿CE對(duì)折，BC邊與4）邊交于點(diǎn)G,且

DC=DG.

（1）證明：四邊形板尸為矩形;

（2）求四邊形AECG的面積.

Bf

2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的對(duì)稱與平移

參考答案與試題解析

一、選擇題（共5小題）

1.（2021?通遼）如圖，已知AD//3C,AB±BC,45=3,點(diǎn)E為射線3C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將AABE

沿AE折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)￡處，過點(diǎn)月作4）的垂線，分別交45,3c于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)￡為線段的

三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為（）

A.-B.-V2C.?；?夜D.我或衿

2222

【答案】D

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問題）

【專題】操作型；等腰三角形與直角三角形：應(yīng)用意識(shí)

【分析】分類畫出圖形，設(shè)BE=x,由折疊的性質(zhì)表示出相關(guān)線段，再用勾股定理列方程即可解得座的

長(zhǎng).

如圖:

RtAAMB'中，AB'=AB=3,MB'=-AB=1,

3

AM=dAB'?-MB'?=2V2,

-.?AD//BC,ABYBC,MNLAD,

四邊形AaVM是矩形，

:.BN=AM=20,MN=AB=3,

設(shè)BE=x,則8'E=x,EN=2-/2-x,

RtAB'EN中,B'N=MN—MB'=2,EN2+B'N2=B'E2,

(2^-X)2+22=X2,

.〔BE的長(zhǎng)為工；

2

②當(dāng)M5'=!MN時(shí)，如圖:

3

:.MB=2,

設(shè)BE=y,

同①可得丫=乎，

.〔BE的長(zhǎng)為05,

5

綜上所述，3E的長(zhǎng)為逑或地.

25

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類畫出圖形，用勾股定理列方程解決問題.

2.（2021?綏化）已知在RtAACB中，ZC=90°.ZABC=15°,AB=5,點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為

邊43上的動(dòng)點(diǎn)，則線段FE+EB的最小值是（）

A.—B.-C.75D.&

22

【答案】B

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；解直角三角形

【專題】幾何變換；推理能力

【分析】作尸關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F',延長(zhǎng)AT、BC交于點(diǎn)B',當(dāng)3、E、尸共線且與A3'垂直時(shí)，即求

8。的長(zhǎng)即可.

【解答】解：作尸關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F,延長(zhǎng)AF、8C交于點(diǎn)B',

ZBAB1=30°,EF=EF',

.-.FE+EB=BE+EF',

.,.當(dāng)B、E、F共線且與AB'垂直時(shí)，BE+EF'長(zhǎng)度最小,即求處的長(zhǎng)，

即作B￡>_LA〃于。，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱的知識(shí)，將8E+￡F轉(zhuǎn)化為求線段3。是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?陜西）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀

【分析】利用軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行解答即可.

【解答】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

4.（2021?江西）如圖是用七巧板拼接成的一個(gè)軸對(duì)稱圖形（忽略拼接線）小亮改變①的位置，將①分別擺

放在圖中左，下，右的位置（擺放時(shí)無縫隙不重疊），還能拼接成不同軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為（）

下

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【考點(diǎn)】七巧板；利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀

【分析】能拼接為等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判斷.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，屬于中考常考題型.

5.（2021?丹東）如圖，在矩形A38中，連接3￡＞,將ABC￡＞沿對(duì)角線比）折疊得到,BE交AD于

點(diǎn)O,仍恰好平分若AB=2后,則點(diǎn)O到的距離為（）

a

A.73B.2C.-73D.3

2

【答案】B

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱;

運(yùn)算能力；推理能力

【分析】如圖，作O尸于點(diǎn)尸，則OF的長(zhǎng)為點(diǎn)O到的距離，由矩形的性質(zhì)可得NA=NABC=90。，

由折疊的性質(zhì)可得NE8D=NC8D,由角平分線定義可得NA3O=NE8O,即可得HlNABO=30。，根據(jù)角

平分線的性質(zhì)可得。4=0-，利用Z4BO的正切值求出。4的值即可得到答案.

【解答】解：如圖，作“處于點(diǎn)F,則O尸的長(zhǎng)為點(diǎn)。到處的距離.

?四邊形ABCD為矩形，

:.ZA=ZABC=90°,

將ABCD沿對(duì)角線比＞折疊得到ABDE,

;.ZEBD=NCBD,

?;BE平分ZABD,

ZABO=NEBD,OA=OF,

ZEBD=ZCBD=ZABO,

:.ZABO^30°,

AB=25

，OF=OA=48口1130。=2員J=2,

3

故選：B.

A

BC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，圖形折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，

熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共5小題）

6.（2021?重慶）如圖，A4BC中，點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，連接AD,將A4￡>C沿直線4）翻折至AABC所在

平面內(nèi)，得A4DC,連接CC,分別與邊回交于點(diǎn)E,與AD交于點(diǎn)O.若AE=BE,BC'=2,則AD的

長(zhǎng)為3.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）

【專題】圖形的全等；應(yīng)用意識(shí)；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱：三角形；推理能力

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形的中位線可以得到8的長(zhǎng)，然后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可以得到

AO的長(zhǎng)，從而可以求得45的長(zhǎng).

【解答】解：由題意可得，

ADCA=^DC'A,OC=OC,NCOD=NCOD=90。，

.?.點(diǎn)。為cc的中點(diǎn)，

?.?點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，

.?.OD是MCC的中位線，

:.OD=-BC',OD//BC.

2

/.ZCOD=ZECB=90°,

?;AE=BE,BC=2,

.-.OD=1,

在△EC8和AEQ4中，

'NEC'B=NEOA

?NC'EB=N0E4,

BE=AE

△EC'B=AEOA(AAS),

:.BC=AO,

"0=2,

:.AD=AO+OD=2+1=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、三角形的中位線、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出和AO

的長(zhǎng)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

7.(2021?宜昌)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)4-1,2)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)3,則點(diǎn)5關(guān)于x

軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是

【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出8點(diǎn)坐標(biāo)，再利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互

為相反數(shù)，即可得出答案.

【解答】解：；將點(diǎn)4-1,2)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B,

，8(1,2),

則點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,-2).

故答案為:(1,-2).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)的平移以及關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

8.(2021?聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形。4BC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸

上，B,。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為8(T,6),0(0,4),線段瓦1在邊Q4上移動(dòng)，保持EF=3,當(dāng)四邊形瓦)防的

周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問題；矩形的性質(zhì)

【專題】推理能力；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；一次函數(shù)及其應(yīng)用；矩形菱形正方形

【分析】在8C上截取8"=3,可證四邊形8”E廠是平行四邊形，可得BF=EH,由對(duì)稱性可得=

則四邊形雙湖的周長(zhǎng)=即+印+應(yīng))+所，由砂和是定值，則當(dāng)硝+DE有最小值時(shí)，四邊形

友死產(chǎn)的周長(zhǎng)有最小值，即當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)，，點(diǎn)。'共線時(shí)，EH+D'E有最小值，利用待定系數(shù)法可求MD'解

析式，即可求解.

【解答】解：在BC上截取5〃=3,作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D,連接交AO于點(diǎn)E,

四邊形5g■是平行四邊形,

；.BF=EH,

?.?點(diǎn)。與點(diǎn)3'關(guān)于x軸對(duì)稱，

.?.DE=OE,點(diǎn)。'坐標(biāo)為(0,-4),

四邊形BDEF的周長(zhǎng)=EF+8尸+BD+DE,

四邊形8￡)￡F的周長(zhǎng)=m+ED+8D+,

?.?斯和是定值，

當(dāng)N+DE有最小值時(shí)，四邊形助D￡F的周長(zhǎng)有最小值,

:.當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)H,點(diǎn)。'共線時(shí)，EH+DE有最小值，

點(diǎn)B(T,6),

.,.點(diǎn)//(—1,6)，

設(shè)直線D'H的解析式為y=kx+b>

n,[6=-k+b

則，4'

[b=-4

k=70

解得:

b=-4

：.直線OH的解析式為y=-10x-4,

.,.當(dāng)y=0時(shí)，x=——，

5

2

.?.點(diǎn)E(-丁0),

2

故答案為：(-—,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等

知識(shí)，確定點(diǎn)后的位置是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?海南)如圖，在矩形ABCZ)中，AB=6,A0=8,將此矩形折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。落

在點(diǎn)。處，折痕為所，則的長(zhǎng)為6，的長(zhǎng)為.

5

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題)

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；圖形的相似；推理能力

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得47=8=6；連接AC,根據(jù)勾股定理求得AC=10,證得

lyAF(AAS),DF=BE,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE的方程，解方程求得3E的長(zhǎng)，即可求得空=工，

AE25

然后通過證得空=工，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得。。.

AE25

【解答】解：?.?四邊形是矩形，

,\CD=AB=6,

?,AD=CD,

/.AZy=6;

連接AC,

???A6=6,BC=AD=8,ZABC=90°,

AC=y/AB2+BC2=7624-82=10,

-.?ZBAF=ZZ7AE=90°,

:.ZBAE=ZDAFf

在ABAE1和中

ZBAE=ZDfAF

<NB=ZADT=90°,

AB=AD,

:.^BAE=△LyAF(AAS),

:.DF=BE,ZAEB=ZAFD,

:.ZAEC=ZDFD,

由題意知：AE=EC；

設(shè)B￡=x,則AE=EC=8—x,

由勾股定理得：

(8-x)2=62+x2,

解得：X」，

4

7725

:.BE=~,AE=8——=——，

444

BE1

一'AE~251

.DfF_7

…TAE-25,

-.-ZAJ7F=ZZ7AF=90°,

；,DF/IAE,

:DF//EC,

D'F7

..-----=—,

AE25

.DP1D(F7

^\C~^\E~25f

714

；.DD'=—xlO=—

故答案為6,

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)、相似

三角形的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來解題.

10.（2021?鄂爾多斯）如圖，已知正方形MCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接CF,DF,且

Z4D尸=NZQ,點(diǎn)E是4）邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接￡B,EF,則EB+所長(zhǎng)度的最小值為_39-3

【答案】3V13-3.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問題

【專題】矩形菱形正方形；應(yīng)用意識(shí)

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NADC=90。，推出NW「C=90。，得到點(diǎn)尸在以ZX：為直徑的半圓上移動(dòng),

如圖，設(shè)。C的中點(diǎn)為O,作正方形關(guān)于直線45對(duì)稱的正方形AB'C'D,則點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是8',連

接3'。交4）于E,交OO于尸，則線段8N的長(zhǎng)即為￡8+￡尸的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：

?.?四邊形A8CD是正方形，

.■.ZADC=90°,

.■.ZADF+ZFDC=90°,

?;ZADF=NFCD,

：.ZFDC+ZFDC=90°,

.-.Z￡）FC=90°,

.?.點(diǎn)尸在以DC為直徑的半圓上移動(dòng)，

如圖，設(shè)DC的中點(diǎn)為O,作正方形ABCD關(guān)于直線4）對(duì)稱的正方形AB'C'。，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是8’,

連接交AD于E,交半圓O于F,則線段夕廠的長(zhǎng)即為砥+所的長(zhǎng)度最小值，OF=3,

ZC'=90°,ec=C'D=CD=6,

:.OC'=9,

B'O=^B'C'2+OC'2=V62+92=3而，

：.EP=3yf\3-3,

:.FD+FE的長(zhǎng)度最小值為3g-3,

故答案為：3瓦-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用.凡是涉及最短距離的

問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

三、解答題（共6小題）

11.（2021?云南）如圖，四邊形AfiCZ）是矩形，E、P分別是線段AD、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)O是所與處的

交點(diǎn).若將AfiEO沿直線折疊，則點(diǎn)E與點(diǎn)尸重合.

(1)求證：四邊形阻加是菱形；

(2)若即=2隹，ABAD=3』,求EFQ的值.

【答案】(1)詳見解答過程；

(2)EF-BD=46.

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【專題】矩形菱形正方形；推理能力

【分析】(1)證明=得到O/=OE即可得出結(jié)論.

(2)由ED=2M，ABAD=3y/3,可得出菱形3EDF的面積，進(jìn)而可得出防?比)的值.

【解答】解：(1)證明：將沿3,。折疊，使E,F重合，

:.OB=OD,EFA.BD,

?.?四邊形ABC。是矩形，

/.ZC=90°,AD//BC,

:.ZODE=ZOBF,

在AOBE和△8E中，

ZOBF=NODE

<OB=OD,

ZBOF=ZDOE

:.^OBF=AODE(ASA),

:.OE=OF,

?;OB=OD,

：.四邊形9DE是平行四邊形，

.EFYBD,

四邊形8ADE是菱形.

(2)如圖，ABAD=3>/3,

百,

\ED=2AE,

:.ED=-AD

3f

…Sg［）E*SgBD=2,3，

SmDE=，

.-.菱形BEDF的面積=gEF?80=2sAM=20，

：.EF-BD=A6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?深圳）如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位.

（1）過直線機(jī)作四邊形ABCD的對(duì)稱圖形；

（2）求四邊形ABC。的面積.

【答案】（1）見解答過程;

（2）8.

【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；作圖題；幾何直觀

【分析】（1）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出四邊形A8CD各頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接各頂點(diǎn)即可:

（2）依據(jù)四邊形ABCD的面積=5兇即+548c。進(jìn)行計(jì)算，即可得到四邊形ABCZ）的面積.

【解答】解：（1）如圖所示，四邊形AB'CD即為所求;

m

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，解決問題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到對(duì)稱點(diǎn)的位置.

13.（2021?青海）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要

作60。，30。，15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD,使與3c重合，得到折痕￡尸，把紙片展開（如圖1）.

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在所上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)3,得到折痕8M,同時(shí)得到線段（如

圖2）.

猜想論證:

（1）若延長(zhǎng)交3c于點(diǎn)P,如圖3所示,試判定ABMP的形狀，并證明你的結(jié)論.

拓展探究:

（2）在圖3中，若=BC=b,當(dāng)a,人滿足什么關(guān)系時(shí)，才能在矩形紙片A8CD中剪出符合（1）

中結(jié)論的三角形紙片BMP?

【答案】（1）ABMP是等邊三角形,理由見解析過程;

（2）b..-.-----a.

3

【考點(diǎn)】剪紙問題；翻折變換（折疊問題）

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得EFA.AB,AB=BN,ZABM=ZNBM,ZBAM=ZBNM=驕，

可證AABN是等邊三角形，可求ZABM=ZNBM=3U="BN,可得NBMN=ZBPM=60。,可得結(jié)論;

（2）由銳角三角函數(shù)可求BP=BM=2?a,由題意可得8c..8P,即可求解.

3

【解答】解：（1）AftV滬是等邊三角形，

理由如下：如圖3,連接4V,

圖3

由折疊的性質(zhì)可得AE=BE,EFLAB,AB=BN,ZABM=ZNBM,ZBAM=ZBNM=90°,

：.AN=BN,

:.AN=BN=AB,

/SABN是等邊三角形，

.?.ZABN=60。，

ZABM=ZNBM=30°=ZPBN,

/.ZBMN=ZBPM=60°，

;.MMP是等邊三角形;

（2）-.AB=a,ZABM=30°,

.,AB

/.BnM=---------=------a,

cos3003

?.?MMP是等邊三角形,

：.BP=BM=—a,

3

?.?在矩形紙片/WCD中剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP,

..2小

..b...-----CL.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，求出

ZABM=ZFBM=30°=NP8F是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?哈爾濱）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，AABC的頂點(diǎn)和線段DE的端

點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在方格紙中將AABC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到&VWP（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

是點(diǎn)用，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P）,請(qǐng)畫出AMVP;

（2）在方格紙中畫出以。E為斜邊的等腰直角三角形DEF（點(diǎn)尸在小正方形的頂點(diǎn)上）.連接fP,請(qǐng)直

接寫出線段尸尸的長(zhǎng).

(2)FP=45.

【考點(diǎn)】勾股定理；作圖-平移變換；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形

【專題】作圖題：幾何直觀

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和平移的性質(zhì)畫出A、3、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；

（2）先把DE繞E點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EQ,則tsDEQ為等腰直角三角形，然后取。。的中點(diǎn)尸，則ADEF

滿足條件，最后利用勾股定理計(jì)算PF.

【解答】解：（1）如圖，為所作；

（2）如圖，ADEF為所作;

FP=jF+2'=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-平移變換：作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方

向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

15.（2021?廣東）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形舫8中，點(diǎn)E為4）的中點(diǎn).連接BE,將AABE沿BE折疊

得到AF3E,BF交AC于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).

【答案】

7

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）

【專題】矩形菱形正方形；推理能力

【分析】延長(zhǎng)所交8于H,連接&7.證明推出空=里=J.,推出。〃=_L,CH=',

ABEA244

由C”//AB,推出空=里=3,可得結(jié)論.

GAAB4

【解答】解：延長(zhǎng)即交CO于〃，連接由.

???四邊形ABCO是正方形，

:.AB//CD,ZD=ZDAB=90°，AD=CD=AB=1,

/.AC=yjAD2+CD2=V12+12=72,

由翻折的性質(zhì)可知，AE=EF,/EAB=/EFB=90°,ZAEB=/FEB,

???點(diǎn)七是4）的中點(diǎn)，

;.AE=DE=EF,

???ZD=NEFH=90。,

在RtAEHD和RtAEHF中，

[EH=EH

[ED=EF'

/.RtAEHD=RtAEHF（HL）,

:.ZDEH=ZFEH,

:.ZHEB=90°,

???NDEF+ZAEF=180。,

??.2ZDEH+2ZAEB=180°,

../DEH+ZAEB=90。，

ZAEB+ZABE=90°,

:.ZDEH=ZABE,

EDDH1

..--------——，

ABEA2

13

:,DH=-,CH=—，

44

?;CH//AB,

CGCH3

二.---=---=—，

GAAB4

.”_330

77

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是求出CH,利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

16.（2021?大慶）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=3,點(diǎn)E為線段他的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,點(diǎn)F

為線段Q的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C）,且CELA8.將ABCE沿CE對(duì)折，8c邊與AD邊交于點(diǎn)G,且

DC=DG.

（1）證明：四邊形板產(chǎn)為矩形;

（2）求四邊形AECG的面積.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)：翻折變換（折疊問題）

【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀

【分析】（1）由已知可得,CF=-CD,能得到AEUCF,再由CE_LA8,即可證

33

明四邊形A￡CF為矩形；

（2）由折疊可知？E=5E=2,求得A9=l,先證明NB'=NB'G4,能得到AE=AG=1,再由AB'//C￡>,

得到四=任即一些一=」，得到3'G=1,能得到A4G?是等邊三角形，所求四邊形A￡CG的面積等于

CGDG4-B'G3

直角三角形於C與等邊三角形AG8'的和.

【解答】（1）證明：?.?/WCD是平行四邊形，

:.AB//CD,AB=CD,

?.?點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,

:.AE=-AB,

3

?.?點(diǎn)產(chǎn)為線段8的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C）,

.-.CF=-CD,

3

:.AE=CF,

又,：AEiICF,

：.四邊形AECF為平行四邊形，

?.CEA.AB,

四邊形AECF為矩形；

（2）-.-AB=3,

:.AE=CF=l,BE=2,

將ABCE沿CE對(duì)折得到AECF,

:.BE=BE=2,

-.-DC=DG=3,

:.ZDGC=ZDCG,

?.?BB7/CD,

..ZDCG=N3',

ZB1=ZB'GA,

/.AB'=AG=\,

:.DA=BC=B'C=4,

.AB'//CD,

,B'G_AG

~CG~^G'

,B'G1

"4-B'G^3，

BG=1,

是等邊三角形，

在RtABCE中，BC=4,BE=2,

r.EC=26,

?<c

,,?四邊形AECC=S_AEB'C_J_gxc/xr/yAj—5Ix1、.x邪J#4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定；利用平行線的性質(zhì)，確定A4GU是等邊三角形是解本

題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到X軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)

軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?/p>

號(hào).

2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問題

的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題.

2.七巧板

（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊

中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形.

（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體

的人物形象，或者動(dòng)物或者是一些中、英文字符號(hào).

（3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格.②再?gòu)淖笊辖堑接蚁陆?/p>

畫一條線.③在上面的中間連一條線到右面的中間.④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可

以停了.⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可

停.⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了.

3.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

4.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，VC

在/A08的平分線上，CDLOA,CE±OB：.CD=CE

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是mb,斜邊長(zhǎng)為c,那么次+必=°2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式。2+必=,2的變形有：a=J2卜2,b=j2/及,=\//=2.

vc-bvc-ava+b

(4)由于/+廿=°2>/,所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

6.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)mb,c滿足/+必=J,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的

和等于最大邊的平方才能做出判斷.

(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來

解決問題.

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和

與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

7.等腰直角三角形

(1)兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所

有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊

上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°,高又垂直

于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑/?=揚(yáng)1,所以r：R=l：V2+1.

8.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等.

②角：平行四邊形的對(duì)角相等.

③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

9.菱形的判定與性質(zhì)

（1）依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形

的形狀始終是平行四邊形.

（2）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形（對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形，對(duì)角線相等的四邊形的

中點(diǎn)四邊形定為菱形.）―（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特

殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的

判定方法.

（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形.

10.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱

中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

11.矩形的判定與性質(zhì)

（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研

究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線相等.同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有.

在處理許多幾何問題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡(jiǎn)捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題.

（2）下面的結(jié)論對(duì)于證題也是有用的：①△0A8、△OBC都是等腰三角形；②/。45=/。區(qū)4,NOCB=

NOBC；③點(diǎn)。到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.

12.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正