廣義ginzmann-landau方程的性質(zhì)

廣義ginzmann-landau方程的性質(zhì)

吉茲堡-呂瑟的廣義方程式如下所示。{du+(κux-γuxx-u)dt=(β|u|2u-δ|u|4u-μu2ˉux-ν(|u|2)ux)dt+u?dW(t)u(0?t)=u(1?t)=0x∈R1?t≥0u(x?t0)=u0(x)x∈R1(1)其中β=β1+iβ2,γ=γ1+iγ2,δ=δ1+iδ2,μ=μ1+iμ2,ν=ν1+iν2均為復數(shù),κ,βi,γi,δi,μi,νi(i=1,2)為實數(shù).我們假設γ1>0,δ1>0且δ1γ1>|μ|2+|ν|2.隨機函數(shù)W(t)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的雙邊實值Wiener-過程,其中Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0}.F是由Ω的緊-開拓撲誘導的波雷爾-sigma代數(shù),P是Wiener測度.廣義Ginzburg-Landau方程作為一個確定性的系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛地研究,確定性的情況可參考文獻,帶有可加白噪音的廣義Ginzburg-Landau方程的研究可參考文獻.首先,我們引入一些符號.記RDS為隨機動力系統(tǒng).記Η=L2(0?1)?V=Η10(0?1)?Au=-?2?x2u.∥?∥和(·)分別表示H中的范數(shù)和內(nèi)積,‖·‖V表示V中的范數(shù).算子A是從D(A)=V∩H2(0,1)到H上的同構(gòu)映射.設{en}是H的一組由特征向量構(gòu)成的正交基,其相應的特征值λn滿足λn>0,當n→∞時λn↗∞.對于λ1,有不等式λ1‖u‖2≤‖u‖2V.對方程(1)作變換v=αu,其中α(t)=e-W(t),則dα=-α。dW.方程(1)可改寫成如下形式(無隨機微分項出現(xiàn)):dvdt+κvx+γAv-v=βα2|v|2v-δα4|v|4v-μα2v2ˉvx-να2(|v|2)vx(2)v(0?t)=v(1?t)x∈R1(3)類似于參考文獻中定理2.6的證明,我們可知對于ω∈Ω幾乎處處成立如下結(jié)論:(ⅰ)對幾乎所有的t0∈R,v(t0)∈H,方程(2)和(3)存在唯一解v∈C([t0,T),H)∩L2([t0,T),H);(ⅱ)若v(t0)∈D(A),則v∈C([t0,T),V)∩L2([t0,T),D(A));(ⅲ)對于所有的t≥t0?v(t0)|→v(t)是H到H的連續(xù)映射.定理1如果存在一個隨機緊集吸收X中的任意一個有界集B,則RDSφ有一個隨機吸引子A(ω):A(ω)=ˉ∪B?XΛB(ω),其中ΛB(ω)=∩s≥0ˉ∪t≥sφ(t?θ-tω)B是B的ω-極限集.由定理1,我們可以得到以下主要結(jié)果:定理2與隨機Ginzburg-Landau方程(1)相關的RDS在L2(0,1)中有一個隨機吸引子A(ω).A(ω)是緊的不變集,且吸引L2(0,1)中的所有有界集.引理1假設v是方程(2)和(3)的解,則存在一個隨機半徑K1(ω)>0,使得對?ρ>0,存在t(ω,ρ)≤-1,對?u(t0)∈H,有‖u(t0)‖<ρ,t0≤t(ω,ρ),且對ω∈Ω幾乎處處成立:∥v(t?ω；t0?α(t0?ω)u0)∥≤Κ1(ω)?t∈[-1?0](4)B(0,K1(ω))是RDSφ在H中的一個隨機吸收集.證方程(2)和v作內(nèi)積再取實部,得12ddt∥v∥2+γ1∥vx∥2=∥v∥2+β1α4∥v∥44-δ1α4∥v∥66-1α2Re(μv2ˉvx?v)-1α2Re(νv2vx?v)(5)由H?lder不等式和Young不等式,得1α2Re(μv2ˉvx?v)≤|μ|α2∫10|v|3|vx|dx≤γ14∥vx∥2+|μ|2γ1α4∥v∥661α2Re(νv2vx?v)≤|ν|α2∫10|v|3|vx|dx≤γ14∥vx∥2+|ν|2γ1α4∥v∥66選取ε1=δ1-|μ|2+|ν|2γ1,則ε1>0(由δ1γ1>|μ|2+|ν|2可知),則有ddt∥v∥2+γ1∥vx∥2≤2(-ε1α4∥v∥66+β1α2∥v∥44+∥v∥2)(6)因為-ε1α4|v|6+β1α2|v|4+|v|2=-ε1α4(|v|3-α2(β1+1)2ε1|v|)2-1α2|v|4+((β1+1)24ε1+2)|v|2-|v|2≤-1α2|v|4+2C1|v|2-|v|2=-1α2(|v|2-C1α2)2+C21α2-|v|2≤C21α2-|v|2(7)其中C1=(β1+1)28ε1+1＞0,則由(5)式到(7)式,可得ddt∥v∥2+γ1∥vx∥2≤2C12α2-2∥v∥2(8)ddt∥v∥2+2∥v∥2≤2C12α2(9)對?t0≤t,t∈[-1,0],由Gronwall引理得∥v(t)∥2≤e2t(∥u(t0)∥2α2(t0)e2t0+C12∫-∞tα2(s)e2sds)?t≥t0(10)由文獻可知lims→-∞W(s)s=0,從而α2(t0)e2t0→0(t0→-∞).對?ρ>0,存在t1(ω,ρ)≤-1,若t0≤t1,有∥u(t0)∥2α2(t0?ω)e2t0≤ρ2α2(t0?ω)e2t0≤1對?ε>0,存在t2(ω,ρ)≤-1,若s≤t2,有|W(s)s|＜ε,因此α2<e-2εs.若t0≤t2,有C12∫-∞tα2(s)e2sds≤C12∫-∞0e2-2εsds≤γ1(ω)ε≤1取t(ω?ρ)=min{t1?t2}Κ12(ω)=e2[1+γ1(ω)]我們得到(6)式.最后,若t0≤t(ω,ρ),由φ(-t0,θt0ω)v0=v(0,ω;t0,α(t0,ω)u0)和(6)式,容易證明|φ(-t0,θt0ω)v0|≤K1(ω),從而表明B(0,K1(ω))為H中的隨機吸收集.引理2在引理1的假設下,對幾乎所有的ω∈Ω和t0≤t(w,ρ),存在隨機半徑K2(ω),有∫-10∥vx(s?ω；t0?α(t0?ω)u0)∥2ds≤Κ2(ω)證對(8)式作積分,可得∥v(0)∥2-∥v(-1)∥2+γ1∫-10∥vx∥2ds≤2C12∫-10α2(s)dsα(s)是連續(xù)函數(shù),因此∫-10α2(s)ds≤c,從而∫-10∥vx∥2ds≤2C12cγ1+1γ1Κ12(ω)=Κ2(ω)引理3存在隨機半徑K3(ω)滿足以下性質(zhì):對?ρ>0,存在t(ω,ρ)≤-1,當t0≤t(ω,ρ),u0∈H且‖u0‖<ρ時,對幾乎所有的ω∈Ω,有‖vx(0,ω;t0,α(t0,ω)u0)‖≤K3(ω).特別地,B(0,K3(ω))是V中的吸收集.證(2)式和-vxx作內(nèi)積,取實部,得12ddt∥vx∥2+γ1∥vxx∥2-∥vx∥2=-βα2(|v|2v?vxx)+δα4(|v|4v?vxx)+μα2(|v|2vxˉ?vxx)+να2(v2vx?vxx)(11)首先有∫01|v|2|vx|2dx≤‖v‖2∞‖vx‖2,由Agmon不等式:‖v‖4∞≤c1(‖v‖2+‖vx‖2)‖v‖2,我們有∫01|v|2|vx|2dx≤c1∥v∥2+∥vx∥2∥v∥∥vx∥2≤c2∥vx∥4∫01|v|4|vx|2dx≤∥v∥∞4∥vx∥2≤c1(∥v∥2+∥vx∥2)∥v∥2∥vx∥2=c1(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2由Young不等式有Re(-βα2|v|2v?vxx)≤|β|α2|(|v|2v?vxx)|≤3|β|α2∫01|v|2|vx|2dx≤c3α2∥vx∥4Re(δα4|v|4v?vxx)≤|δ|α4|(|v|4v?vxx)|≤|δ|α4|3∫01|v|4|vx|2dx+2∫01v2|v|2vxˉ2dx|≤5|δ|α4∫01|v|4|vx|2dx≤c4α4(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2(12)Re(μα2|v|2vxˉ?vxx)≤|μ|α2∥v2vxˉ∥∥vxx∥≤γ14∥vxx∥2+|μ|2γ1α4∥v2vxˉ∥≤γ14∥vxx∥2+c5α4(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2(13)Re(να2|v|2vx?vxx)≤γ14∥vxx∥2+c6α4(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2(14)選取適當?shù)腃,我們得到ddt∥vx∥2+γ1∥vxx∥2≤(2+Cα4∥v∥4+Cα2∥vx∥2+Cα4∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2令g(τ)=2+Cα4(τ)∥v∥4+Cα2(τ)∥vx∥2+Cα4(τ)∥v∥2∥vx∥2在[s,0]?[-1,0]上使用Gronwall引理,得‖vx(0)‖2≤‖vx(s)‖2e∫0sg(τ)dτ,再對此式從-1到0關于s作積分,有∥vx(0)∥2≤e∫-10g(τ)dτ(∫-10∥vx(s)∥2ds)令K32(ω)=K2(ω)eK(ω)與Κ(ω)=2+Csup-1