第五屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽試卷(小中組筆試一)_第1頁
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第1頁(共1頁)第五屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽試卷(小中組筆試一)一、填空題(每題8分,共32分)1.(8分)在我國長度計(jì)量單位中,1米=3尺.1丈=10尺,1千米=2里,那么1里=丈.2.(8分)六個(gè)等腰三角形如圖擺放,那么四個(gè)空白三角形的面積和是兩個(gè)陰影三角形的面積和的倍.3.(8分)足球隊(duì)中,每隊(duì)共11人上場(chǎng),其中1人是守門員,不參與后衛(wèi)、中場(chǎng)、前鋒的隊(duì)形排列.已知后衛(wèi)人數(shù)在3﹣5人之間,中場(chǎng)人數(shù)在3﹣6人之間,前鋒人數(shù)在1﹣3人之間.那么,按照后衛(wèi)、中場(chǎng)、前鋒人數(shù)來說,有種陣型.4.(8分)一艘輪船,從上游A地開往下游B地,需要1小時(shí),原路返程時(shí),將船速提高到原來的2倍,也需要1小時(shí).那么,如果游輪從A地出發(fā)時(shí)也采用2倍船速,需要分鐘可以到達(dá)B地.二、填空題Ⅱ(每題10分,共40分)5.(10分)桌面上放有10張卡片,編號(hào)分別是1、1、2、2、3、3、4、4、5、5,現(xiàn)在將這10張卡片打亂,并從左至右排成一排,然后數(shù)出夾在兩個(gè)1之間的卡片數(shù)、兩個(gè)2之間的卡片數(shù)、兩個(gè)3之間的卡片數(shù)、兩個(gè)4之間的卡片數(shù)和兩個(gè)5之間的卡片數(shù),這5個(gè)數(shù)總和的最大值是.6.(10分)如圖,在5×5表格的每個(gè)格子中都填上一個(gè)自然數(shù)(自然數(shù)包括0),使得每個(gè)2×2方格所填四個(gè)數(shù)的平均數(shù)都是100,那么,整個(gè)5×5表格所填25個(gè)自然數(shù)的平均數(shù)的最小值是.7.(10分)在每個(gè)方框中填入一個(gè)數(shù)字,使得乘法豎式成立.則算式中的兩個(gè)乘數(shù)的和是.8.(10分)老師共買了53支鉛筆,分給了A、B、C、D四個(gè)同學(xué),分到最多的與最少的鉛筆數(shù)相差不到5支,如果B把分到的鉛筆全部給A,那么A的鉛筆數(shù)是C的2倍,如果B把分到的鉛筆全部給C,那么C的鉛筆數(shù)是D的2倍.由此可知,B分到支鉛筆.三、填空題Ⅲ(每題12分,共48分)9.(12分)四只貓、四只狗和四只老鼠分別關(guān)在12個(gè)籠子內(nèi).如果貓和老鼠在同一列,貓就會(huì)喵個(gè)不停;如果老鼠左右被兩只貓夾著,老鼠就會(huì)吱個(gè)不停;如果狗兩側(cè)被貓和老鼠夾著,狗就會(huì)汪個(gè)不停.其它情況下動(dòng)物都不叫.某天,編號(hào)是3、4、6、7、8、9這6個(gè)籠子很吵鬧,其它籠子很安靜,那么四只狗所在籠子的編號(hào)之和是.10.(12分)如圖,從A點(diǎn)出發(fā),要求每條路都必須經(jīng)過,但都恰好只走一次,最后回到A點(diǎn).那么,滿足條件的走法有種.11.(12分)商店有編號(hào)為1~89的89個(gè)金幣等待銷售,每個(gè)售價(jià)30元,其中只有1個(gè)是“幸運(yùn)幣”.菲菲每次可以選擇其中一些編號(hào)向誠實(shí)的營業(yè)員提問:“幸運(yùn)幣的編號(hào)在其中嗎?”.如果得到的答案是“在”,那么菲菲需要支付20元錢咨詢費(fèi),如果得到的答案是“不在”,那么菲菲需要支付10元錢咨詢費(fèi),當(dāng)然,她也可以什么都不問,直接選擇一些金幣買走.菲菲至少需要支付元才可以保證自己一定能得到幸運(yùn)幣.

第五屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽試卷(小中組筆試一)參考答案與試題解析一、填空題(每題8分,共32分)1.(8分)在我國長度計(jì)量單位中,1米=3尺.1丈=10尺,1千米=2里,那么1里=150丈.【分析】根據(jù)給出1米=3尺.1丈=10尺,可知:1千米=1000米=3000尺=300丈;而1千米=2里,所以1里=300丈÷2=150丈.【解答】解:1千米=1000米=3000尺=300丈;所以:1里=300丈÷2=150丈.故答案為:150.【點(diǎn)評(píng)】解決本題關(guān)鍵是通過中間的數(shù)量找出里與丈之間的關(guān)系,從而求解.2.(8分)六個(gè)等腰三角形如圖擺放,那么四個(gè)空白三角形的面積和是兩個(gè)陰影三角形的面積和的6倍.【分析】三角形之間的關(guān)系是相鄰的2個(gè)三角形中一個(gè)的斜邊恰是另一個(gè)的直角邊.根據(jù)這個(gè)關(guān)系設(shè)定最上面的(最?。┤切蔚倪厼閱挝弧?”,即可表示出所有三角形的面積單位數(shù).也就知道了四個(gè)空白三角形的面積和是兩個(gè)陰影三角形的面積和的幾倍了.【解答】解:設(shè)最上面的三角形的邊為單位“1”.則:面積是1×1÷2=.它鄰著的面積是×÷2=1依此類推得:2、4、8、16(1+2+8+16)÷(+4)=6(倍)故:四個(gè)空白三角形的面積和是兩個(gè)陰影三角形的面積和的6倍.【點(diǎn)評(píng)】只要看出相鄰三角形之間的關(guān)系,注意用好單位“1”,就OK了.3.(8分)足球隊(duì)中,每隊(duì)共11人上場(chǎng),其中1人是守門員,不參與后衛(wèi)、中場(chǎng)、前鋒的隊(duì)形排列.已知后衛(wèi)人數(shù)在3﹣5人之間,中場(chǎng)人數(shù)在3﹣6人之間,前鋒人數(shù)在1﹣3人之間.那么,按照后衛(wèi)、中場(chǎng)、前鋒人數(shù)來說,有8種陣型.【分析】后衛(wèi)人數(shù)在3﹣5人之間,可以根據(jù)后衛(wèi)的人數(shù)進(jìn)行分類討論,列舉出所有的可能,從而解決問題.【解答】解:陣形一般按照后衛(wèi)人數(shù)、中場(chǎng)人數(shù)、前鋒人數(shù)的順序進(jìn)行排列后衛(wèi)人數(shù)是3人時(shí),陣形可以是:343,352,361,3種;后衛(wèi)人數(shù)是4人時(shí),陣形可以是:433,442,451,3種;后衛(wèi)人數(shù)是5人時(shí),陣形可以是:532,541,2種;3+3+2=8(種)答:有8種陣型.故答案為:8.【點(diǎn)評(píng)】解決本題運(yùn)用枚舉的方法進(jìn)行求解,注意:每隊(duì)的11人中要去掉1名守門員.4.(8分)一艘輪船,從上游A地開往下游B地,需要1小時(shí),原路返程時(shí),將船速提高到原來的2倍,也需要1小時(shí).那么,如果游輪從A地出發(fā)時(shí)也采用2倍船速,需要36分鐘可以到達(dá)B地.【分析】根據(jù)題意可知返回時(shí)將船速提高到原來的2倍,需要的時(shí)間和原來從上游到下下游用的時(shí)間相同都是1小時(shí),可知提速后逆水速度=原順?biāo)俣?,即原船速?水速=原船速×2﹣水速,從而可得出原船速=水速×2,游輪從A地出發(fā)時(shí)也采用2倍船速,則它的速度航行的速度是原船速×2+水速=水速×5,而原來從A地開往下游B地的航行速度是:原船速+水速=水速×3,游輪從A地出發(fā)時(shí)也采用2倍船速,它與原來游輪從A地開往下游B地的速度比是水速×5:水速×3=5:3,根據(jù)路程一定,速度和時(shí)間成反比,可知用的時(shí)間的比是3:5,據(jù)此可求出需要的時(shí)間.【解答】解:根據(jù)題意可知原船速度+水速=原船速×2﹣水速原船速=水速×2游輪從A地出發(fā)時(shí)也采用2倍船速,則它的速度航行的速度是:原船速×2+水速=水速×5而原來從A地開往下游B地的航行速度是:原船速+水速=水速×3游輪從A地出發(fā)時(shí)也采用2倍船速與原來游輪從A地開往下游B地的速度比是:水速×5:水速×3=5:31小時(shí)=60分60×=36(分鐘)答:需要36分鐘可以到達(dá)B地.故答案為:36.【點(diǎn)評(píng)】本題的重點(diǎn)是求出游輪從A地出發(fā)時(shí)也采用2倍船速后它的航行速度與原來沒提速時(shí)航行速度的比,再根據(jù)路程一定速度和時(shí)間成反比進(jìn)行解答.二、填空題Ⅱ(每題10分,共40分)5.(10分)桌面上放有10張卡片,編號(hào)分別是1、1、2、2、3、3、4、4、5、5,現(xiàn)在將這10張卡片打亂,并從左至右排成一排,然后數(shù)出夾在兩個(gè)1之間的卡片數(shù)、兩個(gè)2之間的卡片數(shù)、兩個(gè)3之間的卡片數(shù)、兩個(gè)4之間的卡片數(shù)和兩個(gè)5之間的卡片數(shù),這5個(gè)數(shù)總和的最大值是20.【分析】把10張卡片從左至右依次編號(hào)為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,而兩張卡片之間的卡片數(shù)=這兩張牌的編號(hào)之差﹣1,問題轉(zhuǎn)化成在這10個(gè)編號(hào)中選5個(gè)數(shù)做被減數(shù),另5個(gè)做減數(shù)最后減去5即是答案.最后給出一種排列,證明答案可行性.【解答】解:把10張卡片從左至右依次編號(hào)為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,而兩張卡片之間的卡片數(shù)=這兩張牌的編號(hào)之差﹣1,問題轉(zhuǎn)化成在這10個(gè)編號(hào)中選5個(gè)數(shù)做被減數(shù),另5個(gè)做減數(shù).最大是(10+9+8+7+6)﹣(5+4+3+2+1)﹣5=20.給出下列排法:3,2,4,5,1,3,2,4,5,1,這里兩個(gè)1之間有4張卡片,兩個(gè)2之間有4張卡片,…,兩個(gè)5之間有4張卡片;5個(gè)數(shù)總和=4×5=20.答案是可以實(shí)現(xiàn)的.故答案為:20【點(diǎn)評(píng)】通過排序,轉(zhuǎn)化為求一組數(shù)的最值問題,簡單明了.6.(10分)如圖,在5×5表格的每個(gè)格子中都填上一個(gè)自然數(shù)(自然數(shù)包括0),使得每個(gè)2×2方格所填四個(gè)數(shù)的平均數(shù)都是100,那么,整個(gè)5×5表格所填25個(gè)自然數(shù)的平均數(shù)的最小值是64.【分析】取左上角,左下角,右上角,右下角4個(gè)2×2方格,它們所含的16個(gè)小格互相之間不重疊,所以這個(gè)表格中的數(shù)的和不會(huì)小于400×4=1600,平均數(shù)不會(huì)小于1600÷25=64,構(gòu)造平均數(shù)為64的圖形即可解決問題.【解答】解:因?yàn)槊總€(gè)2×2方格所填四個(gè)數(shù)的平均數(shù)都是100,所以四個(gè)數(shù)的和為400,取左上角,左下角,右上角,右下角4個(gè)2×2方格,它們所含的16個(gè)小格互相之間不重疊,所以這個(gè)表格中的數(shù)的和不會(huì)小于400×4=1600,平均數(shù)不會(huì)小于1600÷25=64.當(dāng)填的數(shù)如圖所示時(shí),符合題意,所以5×5表格所填25個(gè)自然數(shù)的平均數(shù)的最小值是64.故答案為64.【點(diǎn)評(píng)】本題考查最大與最小、平均數(shù)的概念等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用特殊位置、特殊值法解決問題.7.(10分)在每個(gè)方框中填入一個(gè)數(shù)字,使得乘法豎式成立.則算式中的兩個(gè)乘數(shù)的和是658.【分析】首先根據(jù)由于第二個(gè)乘數(shù)的十位一定比百位數(shù)字大,所以題中所給的“1”不可能是9×9得來的,由于200多與100多相乘不可能是6位數(shù),所以題中給出的1不能是兩個(gè)1相乘得來的,那么一定是3×7的個(gè)位數(shù).根據(jù)這個(gè)規(guī)律逐步推理即可.【解答】解:由于第二個(gè)乘數(shù)的十位一定比百位數(shù)字大,所以題中所給的“1”不可能是9×9得來的,由于200多與100多相乘不可能是6位數(shù),所以題中給出的1不能是兩個(gè)1相乘得來的,那么一定是3×7的個(gè)位數(shù).由題中所給的“2”只能是有1□□×□□2或者2□□×1□□得到;綜合上面分析,可得以下4種情況:①1□3×7□2②1□7×3□2③2□3×7□1④2□7×3□1,如果是情況①,那么7□2中的□一定大于7,只能是8或者9,再通過第二行的0分析,得到的只能是113×782,163×782但是均不成立.如果是情況②,總乘積不可能是六位數(shù).如果是情況③,題中所給的“1”所在的行就是四位數(shù).如果是情況④,對(duì)于3□1的□進(jìn)行逐一嘗試,看是否有2□7×□=□□0□,有277×341,217×361,267×361,287×371,267×391.檢驗(yàn)可知只能是287×371=106477.故答案為:287+371=658.【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵在于對(duì)已知數(shù)字的可能性進(jìn)行分析,然后枚舉出來逐個(gè)排除,同時(shí)要注意數(shù)字位數(shù)之間的隱含關(guān)系,最終逐個(gè)排除求出答案,問題解決.8.(10分)老師共買了53支鉛筆,分給了A、B、C、D四個(gè)同學(xué),分到最多的與最少的鉛筆數(shù)相差不到5支,如果B把分到的鉛筆全部給A,那么A的鉛筆數(shù)是C的2倍,如果B把分到的鉛筆全部給C,那么C的鉛筆數(shù)是D的2倍.由此可知,B分到15支鉛筆.【分析】首先根據(jù)題意找出A、B、C、D的關(guān)系,結(jié)合題中“最多的與最少的鉛筆數(shù)相差不到5支”進(jìn)行分析可解.【解答】解:設(shè)A,B,C,D分到的鉛筆數(shù)分別是A,B,C,D,由B+C=2D,知C、D、B依次成等差數(shù)列,設(shè)公差為K;由A+B=2C,知A、C、B依次成等差數(shù)列,則公差為2K;由4人鉛筆數(shù)相差不會(huì)超過4,所以K=0或1;若K=0,則4×B=53,但53不是4的整數(shù)倍;若K=1,A<C<D<B,則4×C+1=53,C=13,B=15.A>C>D>B,則4×C﹣1=53,但54不是4的整數(shù)倍.綜上所述,B分到15支鉛筆.故答案為:15.【點(diǎn)評(píng)】本題考查盈虧問題的理解和運(yùn)用,關(guān)鍵問題是找到這幾個(gè)數(shù)字之間的數(shù)量關(guān)系,問題解決.三、填空題Ⅲ(每題12分,共48分)9.(12分)四只貓、四只狗和四只老鼠分別關(guān)在12個(gè)籠子內(nèi).如果貓和老鼠在同一列,貓就會(huì)喵個(gè)不停;如果老鼠左右被兩只貓夾著,老鼠就會(huì)吱個(gè)不停;如果狗兩側(cè)被貓和老鼠夾著,狗就會(huì)汪個(gè)不停.其它情況下動(dòng)物都不叫.某天,編號(hào)是3、4、6、7、8、9這6個(gè)籠子很吵鬧,其它籠子很安靜,那么四只狗所在籠子的編號(hào)之和是28.【分析】按題意,得到1、12是老鼠,6、7是貓,接下來可采用假設(shè)法從8的可能情況進(jìn)行推理,確定8后可進(jìn)一步確定2,結(jié)合2推測(cè)3,3確定后可進(jìn)一步確定4,10,進(jìn)而求解.【解答】解:根據(jù)分析,由于6、7很吵,得到1、12是老鼠,6、7是貓;若8是狗,那么9一定是老鼠,9的老鼠無法被貓夾著,不成立;若8是老鼠,那么9是貓,由9也吵鬧,得到3是老鼠,由3吵鬧,得到2和4都是貓,這樣已經(jīng)有5只貓,不成立;所以8只能是貓,由8吵鬧得到2是老鼠,若3是貓,那么9是老鼠,10必須也是貓,不成立;若3是老鼠,它根本無法吵鬧,不成立;所以3是狗,那么4是貓,由4吵鬧,得到10是老鼠,那么其余未知都是狗,綜上,狗的編號(hào)之和是:3+5+9+11=28.故答案是:28.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字和問題,本題突破點(diǎn)是:需要逆向思維,一一排除與題意矛盾的情況,最后確定狗所在的編號(hào).10.(12分)如圖,從A點(diǎn)出發(fā),要求每條路都必須經(jīng)過,但都恰好只走一次,最后回到A點(diǎn).那么,滿足條件的走法有32種.【分析】從A出發(fā)有2種選擇,不妨設(shè)從A到D,那必須將其它路都走完,最后由E回A.去掉AD、AE后,從D出發(fā),要使每條路線恰走一遍,最后走到E點(diǎn),途中D、E、F被路過的次數(shù)分別為1次,1次,2次.按樹形枚舉,可得結(jié)論.【解答】解:從A出發(fā)有2種選擇,不妨設(shè)從A到D,那必須將其它路都走完,最后由E回A.去掉AD、AE后,從D出發(fā),要使每條路線恰走一遍,最后走到E點(diǎn),途中D、E、F被路過的次數(shù)分別為1次,1次,2次.按樹形枚舉,不同的“蛙跳方式”只有以下4類:(1)D﹣E﹣F﹣D﹣F﹣E;(2)D﹣F﹣E﹣D﹣F﹣E;(3)D﹣F﹣E﹣F﹣D﹣E;(4)D﹣F﹣D﹣E﹣F﹣E.每一類“蛙跳方式”所對(duì)應(yīng)的走法都有2×2=4種.4類“蛙跳方式”所對(duì)應(yīng)的走法都有4×4=16種,所以,從A出發(fā)每條路線恰好走一遍回到A點(diǎn)的走法共有2×16=32種走法.故答案為32.【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確枚舉是關(guān)鍵.11.(12分)商店有編號(hào)為1~89的89個(gè)金幣等待銷售,每個(gè)售價(jià)30元,其中只有1個(gè)是“幸運(yùn)幣”.菲菲每次可以選擇其中一些編號(hào)向誠實(shí)的營業(yè)員提問:“幸運(yùn)幣的編號(hào)在其中嗎?”.如果得到的答案是“在”,那么菲菲需要支付20元錢咨詢費(fèi),如果得到的答案是“不在”,那么菲菲需要支付10元錢咨詢費(fèi),當(dāng)然,她也可以什么都不問,直接選擇一些金幣買走.菲菲至少需要支付130元才可以保證自己一定能得到幸運(yùn)幣.【分析】解析:考慮更一般的情形:有n枚金幣待售且其中只有一枚幸運(yùn)幣.(1)即便n=2時(shí),如果菲菲不咨詢?nèi)魏螁栴},直接買走兩個(gè)金幣,她當(dāng)然能得到幸運(yùn)幣,但她需要一共需要支付60元;如果菲菲就某個(gè)編號(hào)提問,要保證得到金幣,她需要支付20+30=50元.這意味著不管n是多少,菲菲都需要明確到底哪枚才是幸運(yùn)幣后才進(jìn)行購買才最劃算.所以:菲菲需要支付的錢=甄別出幸運(yùn)幣的咨詢費(fèi)+買走幸運(yùn)幣的購買費(fèi)(2)接下來我們通過找規(guī)律來探尋:菲菲從n枚待售金幣中甄別出幸運(yùn)幣所需要支付的咨詢費(fèi)m的變化情況(注意,要么不變,要么變大10)待售金幣n枚2345678…咨詢費(fèi)用m元20304040505050…通過找規(guī)律我們發(fā)現(xiàn):2×10元咨詢費(fèi),最多可以從2枚金幣中甄別出幸運(yùn)幣,記作E(2)=2;3×10元咨詢費(fèi),最多可

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