大學(xué)物理：第十章 電磁感應(yīng)

第十章電磁感應(yīng)（ElectromagneticInduction）

本章主要內(nèi)容1、法拉第電磁感應(yīng)定律。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、感生電動(dòng)勢(shì)（渦旋電場(chǎng)）。2、自感。自感系數(shù)、RL電路的暫態(tài)過程。3、磁場(chǎng)的能量。4、電磁場(chǎng)簡介。實(shí)驗(yàn)一當(dāng)磁鐵插入或拔出線圈回路時(shí)，線圈回路中會(huì)產(chǎn)生電流，而當(dāng)磁鐵與線圈相對(duì)靜止時(shí)，回路中無電流產(chǎn)生。一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象SN第一節(jié)電磁感應(yīng)定律實(shí)驗(yàn)二以通電線圈代替條形磁鐵當(dāng)載流線圈B相對(duì)線圈A運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈A回路內(nèi)會(huì)產(chǎn)生電流。當(dāng)載流線圈B相對(duì)線圈A靜止時(shí)，若改變線圈B中的電流，線圈A回路中也會(huì)產(chǎn)生電流。ABR實(shí)驗(yàn)三將閉合回路置于穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)體棒在導(dǎo)體軌道上滑行時(shí)，回路內(nèi)產(chǎn)生電流。總結(jié)以上幾個(gè)實(shí)驗(yàn)，可知：當(dāng)穿過閉合回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，不管這種變化是由什么原因?qū)е碌模芈分杏须娏鳟a(chǎn)生。電磁感應(yīng)現(xiàn)象中產(chǎn)生的電流稱為感應(yīng)電流，相應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)稱為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。abcd二、法拉第電磁感應(yīng)定律(Faraday’sLawofInduction)當(dāng)穿過回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與穿過回路的磁通量對(duì)時(shí)間的變化率成正比。式中的負(fù)號(hào)反映了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向，是楞次定律（Lenzlaw）的數(shù)學(xué)表示。關(guān)于表達(dá)式中的“負(fù)號(hào)”─ε的設(shè)定正向與Φ的設(shè)定方向右手螺旋關(guān)聯(lián)1.先選定回路正方向，即ε的設(shè)定正向計(jì)算結(jié)果若ε>0

，則其實(shí)際方向沿回路正方向右手螺旋確定回路所包圍面積的正法線方向 計(jì)算Φ時(shí)的設(shè)定正向就是該方向選定回路正方向ε的設(shè)定正向回路面積的正法線方向Φ的設(shè)定正向右手螺旋關(guān)聯(lián)楞次定律因此表示為法拉第電磁感應(yīng)定律數(shù)學(xué)表達(dá)式中的負(fù)號(hào)：楞次定律(Lenz’sLaw)閉合的導(dǎo)線回路中，產(chǎn)生的感應(yīng)電流，具有確定的方向，它總是使自己所產(chǎn)生的通過回路面積的磁通量，去抵消或補(bǔ)償引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。楞次定律是能量守恒定律的一種表現(xiàn)，其本質(zhì)是能量守恒定律：維持圖中滑桿運(yùn)動(dòng)必須外加一個(gè)力，此過程為外力克服安培力做功并轉(zhuǎn)化為焦耳熱。++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++用楞次定律判斷線圈中感應(yīng)電流方向NSNS應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律注意：1、先選定回路繞行的正方向，由此確定回路所包圍面積的正法線方向。2、根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，若εi>0，則其方向沿回路正方向。注意與楞次定律結(jié)論是一致的。通過N

匝線圈的磁鏈若回路中的電阻為R，則感應(yīng)電流：

注意到線圈所在處的磁場(chǎng)是不均勻的，并且還是交變的，因此須通過在線圈上取平行導(dǎo)線的面積微元來求磁通量。例一長直導(dǎo)線通以電流，旁邊有一個(gè)共面的矩形線圈a

bcd

。求：線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。odcbarxixdx解例長直導(dǎo)線通有電流I，在它附近放有一矩形導(dǎo)體回路.求：1）穿過回路中的

；2）若I=kt（k=常）回路中i=？

3）若I=常數(shù)，回路以v向右運(yùn)動(dòng)，i=？

4）若I=kt，且回路又以v向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求i=？解：設(shè)回路繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針，1）2）

I=kt時(shí)，在t時(shí)刻，逆時(shí)針方向Ilr3）I=常數(shù)，t時(shí)刻，此時(shí)回路的磁通：順時(shí)針方向a+vtb+vt4）綜合2）、3），t時(shí)刻回路的磁通：此題若這樣考慮：而：則：這樣就有:2）3）4）錯(cuò)在那里？例導(dǎo)線ab彎成如圖所示的半園形狀，半徑

r=0.10m，B=0.50T,轉(zhuǎn)速n=3600轉(zhuǎn)/分。電路總電阻為1000

。求：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流以及最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和最大感應(yīng)電流。解

rab外電路：正電荷在靜電場(chǎng)力的作用下從高電勢(shì)向低電勢(shì)運(yùn)動(dòng)。內(nèi)電路：正電荷在非靜電力的作用下從低電勢(shì)向高電勢(shì)運(yùn)動(dòng)。+補(bǔ)充：電動(dòng)勢(shì)(electromotiveforce)的概念+++++AB-----+++++非靜電力：為非靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)電源的電動(dòng)勢(shì)：在電源內(nèi)部將單位正電荷從負(fù)極移動(dòng)到正極的過程中非靜電力所作的功，因此有和電勢(shì)相同的單位。非靜電力做功由于非靜電力只存在于內(nèi)電路上，所以上式可以應(yīng)用到整個(gè)電路回路上：于是，法拉第電磁感應(yīng)定律可以表示為：式中左邊是非靜電力對(duì)回路積分，即感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；右邊是回路中磁通量變化率的負(fù)值。右圖中感應(yīng)電流的形成是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)導(dǎo)體內(nèi)的電子受到洛侖茲力作用：這就是非靜電力的來源。因此非靜電場(chǎng)為：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)(motionalemf)的概念++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++這個(gè)非靜電場(chǎng)在運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體上形成了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。一般情況下，磁場(chǎng)可以是不均勻的，運(yùn)動(dòng)導(dǎo)線各部分速度也可以不同，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)可以表達(dá)為：這種由于導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。

b

av例一矩形導(dǎo)體線框，寬為l

，與運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體棒構(gòu)成閉合回路。如果導(dǎo)體棒以速度

v

在磁場(chǎng)中作勻速直線運(yùn)動(dòng)，求回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。電動(dòng)勢(shì)方向a

b，b為正極。解這是求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的問題?；蛲ㄟ^求磁通量的變化率求解：電動(dòng)勢(shì)方向可以用楞次定律判斷，結(jié)論一樣。例一根長為L

的銅棒，在均勻磁場(chǎng)B

中以角速度

在與磁場(chǎng)方向垂直的平面內(nèi)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求棒兩端之間的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解

ldloa動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)方向：a

o或解：S

L

IavAB例一長直導(dǎo)線中通電流I=10A，有一長為l=0.2m的金屬棒與導(dǎo)線垂直共面。當(dāng)棒以速度

v=2m/s平行與長直導(dǎo)線勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。(a=0.1m)（書上P228例）解感生電動(dòng)勢(shì)（inducedelectromotiveforce）概念前述由于導(dǎo)體的切割磁力線運(yùn)動(dòng)可以產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。同樣由于磁場(chǎng)變化也可以使某回路中的磁通量發(fā)生變化，而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這樣的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)叫感生電動(dòng)勢(shì)(inducedemf)。即公式：中的

的變化是由磁場(chǎng)變化引起的。先看下述例題。例由導(dǎo)線繞成的空心螺繞環(huán)，單位長度上的匝數(shù)為n=5000/m，截面積S=2

10-3m2，導(dǎo)線和電源以及可變電阻串聯(lián)成閉合電路。環(huán)上套有一個(gè)線圈A，共有N=5匝，其電阻R’=2Ω。現(xiàn)使螺繞環(huán)的電流I1每秒降低20A。求(1)線圈A中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流。(2)2秒時(shí)間內(nèi)通過線圈A的電量。（P229例2）SnA解

（1）螺繞環(huán)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度會(huì)隨著電流的變化而改變，因此通過線圈A的磁通量

也發(fā)生變化。因此A中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為：A中的感應(yīng)電流為：（2）2秒內(nèi)通過A的電量為：三、有旋電場(chǎng)如圖，線圈中有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是因?yàn)榇磐炕虼艌?chǎng)的變化：感生電動(dòng)勢(shì)等于感生電場(chǎng)——非靜電場(chǎng)對(duì)回路的積分：，因此，對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)有：感生電場(chǎng)的環(huán)流不等于零，表明感生電場(chǎng)為渦旋場(chǎng)，是有旋電場(chǎng)。式中負(fù)號(hào)表示感生電場(chǎng)與磁場(chǎng)增量的方向成反右手螺旋關(guān)系。感生電場(chǎng)不是洛侖茲力，不是靜電力。它的力線是閉合的、呈渦旋形的，是一種新型的電場(chǎng)，用E(2)

表示。1861年，麥克斯韋就提出了感生電場(chǎng)的假設(shè)。變化的磁場(chǎng)在周圍空間要激發(fā)電場(chǎng)，稱為感生電場(chǎng)。感生電流的產(chǎn)生就是這一電場(chǎng)作用于導(dǎo)體中的自由電荷的結(jié)果。感應(yīng)電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的區(qū)別：（1）靜電場(chǎng)由靜止電荷產(chǎn)生，而感應(yīng)電場(chǎng)由變化的磁場(chǎng)激發(fā)。（2）靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，環(huán)流為零，其電場(chǎng)線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。而感應(yīng)電場(chǎng)為非保守場(chǎng)，環(huán)流不等于零，其電場(chǎng)線為閉合曲線。場(chǎng)中不能引入電勢(shì)概念。其電力線是無頭無尾閉合曲線~~渦旋電場(chǎng)。的方向判斷可用楞次定律；與的異同相同處:對(duì)電荷的作用相同。不同處：無源有源無旋有旋保守場(chǎng)→電勢(shì)非守保場(chǎng)與

i方向基本一致。一般地，四、渦電流(eddycurrent)當(dāng)大塊導(dǎo)體放在變化的磁場(chǎng)中或?qū)Υ艌?chǎng)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在導(dǎo)體內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，這種電流在導(dǎo)體內(nèi)自成閉合回路，故稱為渦電流。導(dǎo)體I↑渦電流熱效應(yīng)：由于大塊導(dǎo)體電阻小，電流大，容易產(chǎn)生大量的焦耳熱。利用它可實(shí)現(xiàn)感應(yīng)加熱。接大功率高頻電源接高頻交流電源抽氣電極玻璃殼高頻爐高頻加熱II～～變壓器鐵芯中的渦流渦電流機(jī)械效應(yīng)感應(yīng)電流會(huì)反抗引起感應(yīng)電流的原因，產(chǎn)生機(jī)械效應(yīng)，可用作電磁阻尼。機(jī)械效應(yīng)電子感應(yīng)加速器是利用感應(yīng)電場(chǎng)來加速電子的一種設(shè)備。電子感應(yīng)加速器線圈鐵芯電子束電子感應(yīng)加速器全貌電子感應(yīng)加速器的一部分

的計(jì)算例.求一個(gè)軸對(duì)稱磁場(chǎng)變化時(shí)的渦旋電場(chǎng)。已知磁場(chǎng)均勻分布在半徑為R的范圍，且dB/dt=常量，而且大于零。求：

1）任意距中心o為r處的Ei=?2）計(jì)算將單位正電荷從a→b，Ei的功。解：1)由Ｂ的均勻及柱對(duì)稱性可知，在同一圓周上Ei的大小相等，方向沿切線方向。Eioabr當(dāng)r＜R時(shí)：當(dāng)r＞R時(shí)：r2）沿1/4圓周將單位正電荷從a→b，Ei作功沿3/4圓周Ei作功2）r＞R，磁場(chǎng)外Ei≠0。3）A1/4ab≠A3/4aboabr即:Ei作功與路徑有關(guān)——非保守場(chǎng)結(jié)論：1）

，與B大小無關(guān)？例均勻磁場(chǎng)分布在半徑為R

的圓柱形空間區(qū)域內(nèi)。已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率dB/dt為大于零的恒量。問在任意半徑r

處感生電場(chǎng)的大小以及棒AB上的感生電動(dòng)勢(shì)。

AB

解

圓柱形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)變化，那么空間只要包含該區(qū)域的回路，就有感生電場(chǎng)產(chǎn)生，并且感生電場(chǎng)的方向在同心圓的圓周切線上。在r<R時(shí)在r>R時(shí):

ABRrdx

AB

OR求金屬棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：連半徑OA、OB，注意到感生電場(chǎng)沿圓周方向，與半徑垂直，則感生電場(chǎng)對(duì)

ABO回路的積分，在OA、OB上為零。即：方向：A→B

，即B為正極。本題也可以用疊加法求解。如果金屬棒置于圓柱形磁場(chǎng)區(qū)域之外，同樣也可以產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)。1.自感應(yīng)現(xiàn)象第二節(jié)自感一、自感現(xiàn)象、自感系數(shù)

由于回路中電流變化，引起穿過回路包圍面積的全磁通變化，從而在回路自身中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象叫自感現(xiàn)象。2.自感系數(shù)(self-inductance)由畢奧-沙伐爾定律與疊加原理：—

自感系數(shù)自感系數(shù)由線圈形狀、大小、匝數(shù)、周圍介質(zhì)分布等因素決定。如果自感系數(shù)為常量，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，自身回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：負(fù)號(hào)表示自感電動(dòng)勢(shì)總是要阻礙線圈回路本身電流的變化。自感系數(shù)：單位為亨利，1H=1Wb/A。

描述線圈電磁慣性的大小，求

自感系數(shù)L

的步驟：1、設(shè)線圈中通有電流I2、求B3、求全磁通4、II例長為

l的螺線管，橫斷面為

S

，線圈總匝數(shù)為N，管中磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為

，求自感系數(shù)。解n=N/l，單位長度上的匝數(shù)，V=lS，是螺線管的體積。提高L的途徑增大V提高n放入

值高的介質(zhì)實(shí)用例有一電纜，由兩個(gè)“無限長”的同軸圓桶狀導(dǎo)體組成，其間充滿磁導(dǎo)率為

的磁介質(zhì)，電流I

從內(nèi)桶流進(jìn)，外桶流出。設(shè)內(nèi)、外桶半徑分別為R1和R2

，求長為

l

的一段導(dǎo)線的自感系數(shù)。解磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外桶之間例.

兩根平行輸電導(dǎo)線，中心距離為d，半徑為a，求：兩導(dǎo)線單位長度上的分布電感（d>>a）。解：如圖，設(shè)導(dǎo)線中有電流I。單位長度上的磁通量：drdr二、RL電路電路中有自感與沒有時(shí)比較：分析RL串聯(lián)電路，開關(guān)指向1時(shí)L要出現(xiàn)自感電動(dòng)勢(shì)并在其中建立磁場(chǎng)：從上式可知，開關(guān)接通1的瞬間，電流不能立刻增長到最大值，增長快慢與R、L有關(guān)。當(dāng)t=L/R=τ時(shí)為最大電流值的(1-1/e)倍，即63.2%。τ=

L/R叫做RL電路的時(shí)間常數(shù)或馳豫時(shí)間。當(dāng)t→∞時(shí)電流達(dá)到最大電流值，即穩(wěn)定電流I0=ε/R。

如果此時(shí)將開關(guān)指向2，斷開電源，L中的磁場(chǎng)要消失，電路中電流不會(huì)立刻為零，而是要經(jīng)過一個(gè)衰減過程：當(dāng)t=L/R=τ時(shí)為最大電流值的1/e倍，即36.8%。一個(gè)自感很大的電路，當(dāng)切斷電源時(shí)電流變化值很大，回路中將產(chǎn)生很大的自感電動(dòng)勢(shì)，會(huì)在開關(guān)兩端產(chǎn)生火花或電弧，為此電路中要增加滅弧裝置。但日光燈鎮(zhèn)流器正是利用這一作用來點(diǎn)燃日光燈的。以RL電路為例，在接通電源時(shí)，其中的電流增長，同時(shí)在Ｌ中建立起磁場(chǎng)：第三節(jié)磁場(chǎng)的能量電源所作的功電阻上的焦耳熱電源反抗自感電動(dòng)勢(shì)作的功，建立了磁場(chǎng)磁場(chǎng)的能量：以長直螺線管為例考慮磁場(chǎng)能量由此得到單位體積內(nèi)磁場(chǎng)的能量，即能量密度：因?yàn)锽=

H，能量密度也可表示為：在體積V內(nèi)磁場(chǎng)能量為：例一根長直電纜，由半徑為R1和R2的兩同軸圓筒組成，穩(wěn)恒電流

I

經(jīng)內(nèi)層流進(jìn)外層流出。試計(jì)算長為

l

的一段電纜內(nèi)的磁場(chǎng)能量。解R2R1Ir先求r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：則可得r處的能量密度，同時(shí)在r處取dV為厚dr的圓筒：也可由能量法求自感系數(shù)電容器儲(chǔ)能自感線圈儲(chǔ)能電場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度第四節(jié)電磁場(chǎng)及其傳播當(dāng)參考系變換時(shí)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間可以相互轉(zhuǎn)化，這反映電場(chǎng)、磁場(chǎng)是同一物質(zhì)——電磁場(chǎng)的兩個(gè)方面。法拉第電磁感應(yīng)定律涉及到變化的磁場(chǎng)能激發(fā)電場(chǎng)，麥克斯韋在研究了安培環(huán)路定理運(yùn)用于隨時(shí)間變化的電路后，提出了變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)，從而進(jìn)一步揭示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的內(nèi)在聯(lián)系及依存關(guān)系，麥克斯韋總結(jié)出來的電磁現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)規(guī)律歸納成體系完整的普遍的電磁場(chǎng)理論——麥克斯韋方程組。進(jìn)而從理論上預(yù)言了電磁波的基本特性。一、位移電流(displacementcurrent)++++----IK電路中開關(guān)合上或斷開時(shí)，電容器中存在變化的電場(chǎng)，但電路導(dǎo)線上的電流在電容的兩極板間中斷了。因而對(duì)整個(gè)電路來講，傳導(dǎo)電流是不連續(xù)的。為此，麥克斯韋引入了位移電流的概念。在沖、放電過程中，面積為S的電容器極板上的電荷q以及電荷面密度σ、極板間的電位移D和通過極板的電位移通量Φe都是隨時(shí)間改變的。這時(shí)的傳導(dǎo)電流為：并且電位移通量Φe對(duì)時(shí)間變化率dΦe/dt數(shù)值上等于傳導(dǎo)電流強(qiáng)度Ic。在有電容器的電路中，極板間被中斷的傳導(dǎo)電流I，可以由位移電流Id繼續(xù)下去，從而構(gòu)成了電流的連續(xù)性。

電場(chǎng)中某一點(diǎn)位移電流密度矢量等于該點(diǎn)電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率；通過電場(chǎng)中某一截面的位移電流等于通過該截面電位移通量對(duì)時(shí)間的變化率，即位移電流位移電流與傳導(dǎo)電流的關(guān)系★位移電流與傳導(dǎo)電流在產(chǎn)生磁效應(yīng)上是等效的?！锂a(chǎn)生的原因不同：傳導(dǎo)電流是由自由電荷運(yùn)動(dòng)引起的，而位移電流本質(zhì)上是變化的電場(chǎng)?！锿ㄟ^導(dǎo)體時(shí)的效果不同：傳導(dǎo)電流通過導(dǎo)體時(shí)產(chǎn)生焦耳熱，而位移電流不產(chǎn)生焦耳熱。以表示位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度：與回路L中成右手螺旋關(guān)系。通過某一截面的全電流是傳導(dǎo)電流I和位移電流Id的代數(shù)和。全電流總是連續(xù)的。全電流定律：即：在任何磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任何閉合曲線的線積分等于閉合曲線所包圍的全電流。麥克斯韋方程組的積分形式二、麥克斯韋電磁場(chǎng)基本方程1、電場(chǎng)的性質(zhì)：2、磁場(chǎng)的性質(zhì)：3、變化電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系：4、變化磁場(chǎng)和電場(chǎng)的關(guān)系：麥克斯韋方程組的微