廣義波方程的一個(gè)新解

廣義波方程的一個(gè)新解

是非營利非政府組織（n.1、2和3）的一個(gè)有限集合，并且邊境一旦閉合，它將是完全正的。未知泛函u=u（x，t）是=，+）（r）中的實(shí)際泛函。考慮到具有次線性噪聲擾動(dòng)的廣義波方程。{dut+αutdt-Δudt+λudt=f(x)dt+c(u)?dW(t)u(x?t)|?Ω=0t≥τu(x?τ)=u0(x)ut(x?τ)=u1(x)(1)其中α,λ均是正常數(shù),u0(x)∈H10(Ω),u1(x)∈L2(Ω),f(x)是與時(shí)間無關(guān)的已知泛函,并且f(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω),c(u)。dW(t)是次線性可乘白噪音.對(duì)函數(shù)c(u)我們有如下假定(H):(H)函數(shù)c(u)有次線性增長方式limu→∞|c(u)|u=0(2)且存在c1,c2>0滿足|c′(u)|≤c1?u∈R(3)|c?(u)|≤c2?u∈R(4)隨機(jī)函數(shù)W(t)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的雙邊實(shí)值Wiener過程,其中Θ={ω∈C(R?R)∶F是由Ω的緊-開拓?fù)湔T導(dǎo)的Borel-Sigma代數(shù),P是Wiener測度.則有W(t)=ω(t)(t∈R,ω∈Θ),因此,我們可定義如下一簇算子{θt}t∈R:θtω(?)=ω(?+t)-ω(t)t∈R?ω∈Θ令δ(θtω)=-σ∫-∞0eσs(θtω)(s)dst∈R?ω∈Θ則δ(θtω)是Ornstein-Uhlenbeck過程,并且是Ornstein-Uhlenbeck方程dδ+σδdt=dW(t)δ(-∞)=0?t≥0(5)的解.易知算子A=-Δ:D(A)=Η01(Ω)∩Η2(Ω)→L2(Ω)是自反的、線性的,并且λ1是它的第一特征值.令v=ut+εu-c(u)δ(θtω),其中u,ut是方程組(1)的解,A=-Δ,則方程組(1)能寫成{dudt=v-εu+c(u)δ(θtω)dvdt=-Au+ε(α-ε)u-λu+(ε-α)v+(σ-α+ε)c(u)δ(θtω)+c′(u)(εu-v-c(u)δ(θtω))δ(θtω)+f(x)u(x?τ)=u0v(x?τ)=u1+εu0-c(u0)δ(θτω)(6)其中初值滿足u(x,τ)∈H0γ1(Ω),v(x,τ)∈L2(Ω).所以有?τ(ω)=(u(x,τ),v(x,θτω))T∈E.由方程組(6)可定義一簇算子φ(t,ω)如下:φ(t?ω)?τ(ω)=?(t?θτω；?τ(ω))=(u(x?t)?v(x?θtω))(7)容易證得如此定義的φ是一個(gè)連續(xù)的RDS.在本文中,我們將證明隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)(7)存在非空緊的隨機(jī)吸引子,即定理1隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)(7)存在緊的隨機(jī)吸引子.未作說明的術(shù)語參見文獻(xiàn).令ε=αγα2+3γ,其中γ=λ+λ1,則方程組(6)可寫為{?˙+L?=F(??θtω)?(τ?ω)=(u(x?τ)?v(x?θτω))Τt≥τ(8)其中?=(uv)L=(εΙ-ΙA+(λ-ε(α-ε))Ι(α-ε)Ι)F(??θtω)=(c(u)δ(θtω)c′(u)(εu-v-c(u)δ(θtω))δ(θtω)+(σ-α+ε)c(u)δ(θtω)+f(x))通過簡單的計(jì)算很容易得出:引理1對(duì)任意的?=(u,v)T∈E,有(L???)E≥ε2∥?∥E2+α2∥v∥02.引理2假設(shè)B是任意的非隨機(jī)有界集,則當(dāng)(5)式中的σ充分大時(shí),存在隨機(jī)半徑ρ(ω)≥0,使得對(duì)任意的(u0,u1+εu0)T∈B,存在TB(ω)≥0,當(dāng)-τ≥TB(ω)時(shí),對(duì)幾乎處處的ω∈Ω有∥?(0?θ-τω；?-τ(ω))∥E≤ρ(ω)由Young不等式、Gronwall引理得∥?(t?θτω；?τ(ω)∥E2(1+r)≤e-ε(1+r)2(t-τ)+k1(1+ε)(1+r)∫τt(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη∥?τ(ω)∥E2(1+r)+2rεr∫τte-ε(1+r)2(t-s)+k1(1+ε)(1+r)∫st(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη?m1+r(θtω)ds其中m(θtω)=k1(|δ(θtω)|2+σ2kσ2+1).若σ≥max{1?α?64k12(1+1ε)2},則k1(1+ε)(E[|δ(θtω)|2]+E[|δ(θtω)|])≤ε4對(duì)任意的t≤0以及負(fù)充分大的τ,任取(u0,u1+εu0)T∈B,有∥?(t?θτω；?τ(ω))∥E2(1+r)≤ρ0(1+r?ω)其中ρ0(1+r?ω)=21+rεr∫-∞0eε(1+r)2s+k1(1+ε)(1+r)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη?m1+r(θsω)ds(9)現(xiàn)在將方程組(8)的解?分解成3個(gè)部分?=?i+?j+?k=(ui?uti+εui)+(uj?utj+εuj-(c(ui+uj)-c(ui)+c(0))δ(θtω))Τ+(uk?utk+εuk-(c(u)-c(u-uk)+c(ui)-c(0))δ(θtω))Τ其中?i=(ui,vi)T,?j=(uj,vj)T,?k=(uk,vk)T分別是下面方程的解?˙i+L?i=0?τi(ω)=(u0?u1+εu0)Τ(10)?˙j+L?j=F1?τj(ω)=(0?-c(0)δ(θ-τω))Τ(11)?˙k+L?k=F2?τk(ω)=(0?-(c(u0)-c(0))δ(θ-τω))Τ(12)其中F1=((c(ui+uj)-c(ui)+c(0))δ(θtω)c′(u)(εu-vj-c(u)δ(θtω))δ(θtω)+(σ-α+ε)c(u)δ(θtω)+f(x))F2=((c(u)-c(u-uk)+c(ui)-c(0))δ(θtω)c′(u)(vj-v)δ(θtω))引理3B是E中的非隨機(jī)子集,對(duì)充分大的σ,存在隨機(jī)半徑ρ1(ω)≥0,使得?i,?j,?k分別滿足limτ→-∞supB∥?i(0?θτω；?τ(ω))∥E=0limτ→-∞supB∥Aσ2?j(0?θτω；?τ(ω))∥E≤ρ1(ω)limτ→-∞supB∥?k(0?θτω；?τ(ω))∥E=0其中σ={34n=112n=2?3證分別對(duì)(12)式的兩邊與?i在空間E中作內(nèi)積,得∥?i(t?θτω；?τ(ω))∥E2≤∥?τi(ω)∥E2e-ε(t-τ)=(∥u0∥γ2+∥u1+εu0∥02)e-ε(t-τ)分別對(duì)(11)式的兩邊與Aσ?j在空間E中作內(nèi)積,由微分中值定理和Cauchy-Schwartz不等式有(((c(ui+uj)-c(ui)+c(0))δ(θtω)?Aσuj))γ≤c1|δ(θtω)|?∥Aσ2u2∥γ2-(c′(u)vjδ(θtω)?Aσvj)≤c1|δ(θtω)|?∥Aσ2vj∥02(σ-α+ε)(c(u)δ(θtω)?Avj)≤σc1|δ(θtω)|?∥u∥?∥Aσ2vj∥0(f(x)?Aσvj)≤∥Aσ2f(x)∥022α+α2∥Aσ2vj∥02有如下的Sobolev嵌入:Η0v(Ω)?D(Av2)?Ηv(Ω)?Lq(Ω)?L2(Ω)?Lq′(Ω)?Η-v(Ω)?D(A-v2)其中1q=12-vn1q+1q′=1v∈[0?1]當(dāng)n=1時(shí),可選v=14?q=4,并由D(Av1)?D(Av2)(v1>v2),可得ε(c′(u)uδ(θtω)?Aσvj)≤ε|δ(θtω)|?|(c′(u)A38u?A38vj)+(c?(u)uA38u?A38vj)|≤εm|δ(θtω)|(1+∥u∥)∥u∥?∥Aσ2vj∥0當(dāng)n=2時(shí),可選v=12?q=4;當(dāng)n=3時(shí),可選v=12?q=3,并由H01(Ω)?L6(Ω)同樣可得(10)式.根據(jù)(10)式同樣的作法可得-(c′(u)c(u)δ2(θtω)?Aσvj)≤|δ(θtω)|2?|(c?(u)c(u)Aσ2u+(c′(u))2Aσ2u?Aσ2vj)|≤m|δ(θtω)|2(1+∥u∥)∥u∥?∥Aσ2vj∥0其中m>0是與區(qū)域Ω,σ有關(guān)的常數(shù).綜上所述,存在與α和σ無關(guān)的常數(shù)k2>0,以及常數(shù)k3>0,由Gronwall引理有∥Aσ2?j(0?θtω；?τ(ω))∥E2≤eετ+k2(1+ε)∫τ0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη∥Aσ2?j(θτω)∥E2+k3∫τ0eεs+k2(1+ε)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη?(∥?(s?θτω；?τ(ω))∥E8+|δ(θsω)|2+1)ds當(dāng)σ≥max{1?α?64k12(1+1ε)2?16k22(1+1ε)2}時(shí),有k2(1+ε)(E[|δ(θtω)|2]+E[|δ(θtω)|])≤ε2由Aσ2?τj=0,當(dāng)τ負(fù)充分大時(shí),有∥Aσ2?j(0?θtω；?τ(ω))∥E2≤k3∫-∞0eεs+k2(1+ε)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη(ρ0(4?ω)+|δ(θsω)|2+1)ds記ρ12(ω)=k3∫-∞0eεs+k2(1+ε)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη(ρ0(4?ω)+|δ(θsω)|2+1)ds分別對(duì)(9)式的兩邊與?k在空間E中作內(nèi)積,由中值定理有(((c(u)-c(u-uk)+c(ui)-c(0))δ(θtω)?u3))γ≤(c1|δ(θtω)|+12c1|δ(θtω)|2)∥uk∥γ2+c12∥ui∥γ2(c′(u)(v-vj)δ(θtω)?vk)≤(c1|δ(θtω)|+12c1|δ(θtω)|2)∥vk∥02+c12∥vi∥02并由Gronwall引理可得∥?k(0?θτω；?τ(ω))∥E2≤c12|δ(θτω)|2γ(∥u0∥γ2+∥u1+εuo∥02)eετ+2c1∫τ0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη+c1(∥u0∥γ2+∥u1+u0∥02)eετ∫τ0e2c1∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dηds當(dāng)σ≥max{1?α?64c1ε2}時(shí),有2c1(E[|δ(θtω)|2]+E[|δ(θtω)|])≤ε2,則有l(wèi)imτ→-∞supB∥?k(0?θτω；?τ(ω))∥E=0因此可得,當(dāng)σ≥max{1?α?64k12(1+1ε)2