3維Lorenz空間中的類時(shí)Willmore曲面

3維Lorenz空間中的類時(shí)Willmore曲面

1類空單位法向量的確定及類空與引發(fā)性相關(guān)定理的提出位于3維羅登茲空間，配備內(nèi)部體積。其中設(shè)f:是一個(gè)類時(shí)曲面,H和K分別為曲面f的中曲率和Gauss曲率,則為Willmore泛函,它的Euler-Lagrange方程為其中△是關(guān)于度量(df,df)的Laplace算子.滿足方程(1.4)的曲面稱為中的Willmore曲面.由方程(1.4)知,中的極小曲面必為Willmore曲面.對(duì)空間中的Willmore曲面的研究已有豐富的結(jié)果,讀者可參見文獻(xiàn).文獻(xiàn)研究中的類空Willmore曲面,并證明類空Willmore球的唯一性,但沒有對(duì)導(dǎo)出曲面和Willmore對(duì)偶曲面進(jìn)行研究.本文主要研究中的類時(shí)Willmore曲面及其對(duì)偶定理.設(shè)是一個(gè)類時(shí)曲面,則的單位法向量.對(duì)任意定義其中H(p)為曲面M*在p點(diǎn)處的中曲率,則是中的一個(gè)單葉雙曲面,它與曲面M*在p點(diǎn)處相切,并有相同的中曲率H(p).曲面族在中有兩個(gè)不同的包絡(luò)面,一個(gè)是曲面M*本身,另一個(gè)記為,稱為曲面M*的導(dǎo)出曲面.加上在無窮遠(yuǎn)光錐C∞上的極限點(diǎn),我們得到中的曲面x:M→的導(dǎo)出曲面.將是擁有(-+++-)型內(nèi)積的Lorentz空間,則映射的共形Gauss映射.我們稱類時(shí)曲面x:為正則曲面,如果它的共形Gauss映射的漸近坐標(biāo),則可證明是M上共形不變的4-形式(見第2節(jié)).本文的主要結(jié)果如下:定理A為正則的Willmore曲面當(dāng)且僅當(dāng)它的共形Gauss映射為極小曲面.定理B設(shè)是類時(shí)曲面x:的導(dǎo)出曲面,則下述的3個(gè)命題等價(jià):(ⅰ)x:M→是滿足<ξuu,ξuu>=0和<ξvv,ξvv>=0的Willmore曲面;(ⅱ)中的一個(gè)點(diǎn);(ⅲ)x:共形等價(jià)于中的一個(gè)極小曲面.定理C設(shè)x:M→為類時(shí)的正則Willmore曲面.如果則它的導(dǎo)出曲面也是中的Willmore曲面,并且2類時(shí)曲面的確立設(shè)為L(zhǎng)orentz空間,裝備有內(nèi)積設(shè)是中的光錐,定義為定義為實(shí)射影空間中的二次超曲面則標(biāo)準(zhǔn)投影是一個(gè)纖維叢,它的纖維是R\{0}.易知是一個(gè)二層覆疊,其中于是,微分同胚.對(duì)纖維叢某個(gè)開集U上的局部截面所以,的共形類與局部截面Z的選取無關(guān).利用上的一個(gè)單位分解,可以得到上整體定義的度量h,它的共形類上標(biāo)準(zhǔn)的共形度量.為了證實(shí)h是上一個(gè)Lorentz度量,我們?nèi)【植拷孛鎰t有其中分別是上的標(biāo)準(zhǔn)度量.這樣,它的共形類[h]定義了上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Lorentz共形度量.由Cahen-Kerbrat定理(參見文獻(xiàn))可知,的共形變換群恰為L(zhǎng)orentz群它保持的內(nèi)積(2.1)不變,且在上的作用為設(shè)的共形嵌入,定義為定義無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的光錐為則有因此,是由Lorentz空間加上無窮遠(yuǎn)處的光錐C∞構(gòu)成的.設(shè)x:是類時(shí)曲面,則h在每個(gè)切平面上均不退化.因?yàn)樵跓o窮遠(yuǎn)光錐的每個(gè)切平面上退化,故至多是1維的.于是存在中的類時(shí)曲面并且由曲面f加上它在上的極限點(diǎn),我們可以重新得到因此中的類時(shí)曲面完全確定.稱曲面是Willmore曲面,如果它所對(duì)應(yīng)的中的曲面中的兩曲面是共形等價(jià)的,如果它們所對(duì)應(yīng)的中的曲面至多相差一個(gè)O(3,2)中的變換.設(shè)是類時(shí)曲面,則是M上的Lorentz度量.對(duì)叢的每個(gè)局部截面均可找到M的一個(gè)開集稱為曲面x的一個(gè)局部提升.于是,在曲面M的每一點(diǎn)p處均存在一個(gè)開集滿足以下條件:(ⅰ)存在局部提升(ⅱ)在U上存在漸近坐標(biāo)系(u,v),使得注意到與x*h共形等價(jià),故在U上有其中ω是U上的一個(gè)函數(shù).由此得到由(2.7)式推出這樣,在U的每一點(diǎn)處,向量組{y,yuv,yu,yv}張成的一個(gè)4維的非退化子空間,它的類型為(-+-+).于是,存在唯一映射,滿足顯然,映射ξ與局部提升y和漸近坐標(biāo)系(u,v)的選擇無關(guān),它是M上整體定義的一個(gè)映射.記并稱為曲面x的共形Gauss映射.引進(jìn)映射,定義為則有利用活動(dòng)標(biāo)架的結(jié)構(gòu)方程:其中ψ和φi及Ωi是U上定義的實(shí)函數(shù).由恒等式得到其中最后一個(gè)方程中的為度量<dy,dy>的曲率.現(xiàn)設(shè)為曲面x的另一個(gè)局部提升和漸近坐標(biāo)系,它們定義在的另一個(gè)開集V上,則它們定義了中的另一個(gè)活動(dòng)標(biāo)架以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)(參見方程(2.11)～(2.14)).我們?cè)赨∩V上可以找到一個(gè)非零函數(shù)λ,使得.因?yàn)?u,v)和同為漸近坐標(biāo)系,故在U∩V上有通過直接計(jì)算,在U∩V上有以下的關(guān)系式:由方程(2.17)和(2.19)～(2.23)推出以下的方程在U∩V上成立:因此,與局部提升y和漸近坐標(biāo)系{u,V}的選取無關(guān),它整體定義在曲面M上.又由于對(duì)任意T∈O(3,2),yT為的局部提升,(u,v)也是它的漸近坐標(biāo)系.從上述結(jié)構(gòu)方程和(2.27)式得知,g在共形變換下不變,它是一個(gè)共形不變量.進(jìn)一步,從(2.25)和(2.26)式知道,中滿足性質(zhì)的曲面在共形變換下不變.為了用Euclid不變量來表達(dá)共形不變度量g和上述共形不變方程,設(shè),其中為中的類時(shí)曲面,則是曲面x的局部提升.取x的漸近坐標(biāo)系(u,v),則有于是存在曲面f的單位法向量場(chǎng),使得令為曲面f的Hopf形式,為曲面f的中曲率,則有以下的結(jié)構(gòu)方程:為度量(df,df)的曲率.利用漸近坐標(biāo)系(u,v),我們得到由方程(2.11)～(2.14)和(2.32)～(2.34)直接得到于是,由(2.31)和(2.35)式得到這樣,恰好是中類時(shí)曲面的Willmore泛函.從(2.35)式我們得到.于是,Willmore泛函的Euler-Lagrange可寫成由(2.20)式知道,性質(zhì)也在共形變換群O(4,2)下不變.我們稱中滿足Ω1Ω2≠0的曲面為中的正則曲面.從(2.14)式可見,曲面為正則曲面,當(dāng)且僅當(dāng)它的共形Gauss映射是非退化的曲面.我們也注意到,中滿足的曲面為中的全臍曲面(參見(2.35)式)3推導(dǎo)曲面型的轉(zhuǎn)化設(shè)x:為類時(shí)定向曲面,為由(2.8)式定義的、曲面x的共形Gauss映射.取x的一個(gè)局部提升.稱映射為曲面x的導(dǎo)出曲面,如果存在一個(gè)映射,滿足,使得顯然,上述導(dǎo)出曲面的定義與局部提升y和映射的選取無關(guān).對(duì)任意p∈M,Gauss映射ξ(p)∈的幾何意義為與曲面x在x(p)點(diǎn)相切的、具有相同中曲率的唯一的單葉雙曲面.而導(dǎo)出曲面的幾何含義已在引言中給出:曲面x和它的導(dǎo)出曲面同時(shí)為這些單葉雙曲面的包絡(luò)面.命題3.1設(shè)x:M→是一個(gè)正則的類時(shí)曲面,則它唯一決定一個(gè)導(dǎo)出曲面.證設(shè)y是曲面x的一個(gè)局部提升,(u,v)是曲面x的一個(gè)漸近坐標(biāo)系,它們定義在M的一個(gè)開集U上.設(shè){y,η,yu,yv,ξ}是第2節(jié)中定義的中的活動(dòng)標(biāo)架.定義因?yàn)閤:是一個(gè)正則曲面,故有從(2.14)和(3.2)式我們得到因此滿足(3.1)式.現(xiàn)設(shè)是滿足(3.1)式的另一個(gè)映射.令其中{a,b1,b2,μ}為函數(shù),并且μ≠0.由,我們得到從(2.14)式和等式得到這樣,我們得到于是有.這樣,導(dǎo)出曲面是整體定義的,并由曲面x所唯一決定.證畢.由(2.13)和(2.14)式有從(2.14)式得它恰好是(2.27)式定義的共形度量.x:M→是正則曲面,它的共形Gauss映射是中的類時(shí)曲面.從(3.6)式我們知道ξ的Laplace算子為從(2.36)、(3.5)和(3.6)式知:x:M→是一個(gè)Willmore曲面當(dāng)且僅當(dāng)它的Gauss映射ξ滿足即為極小曲面.這樣我們就完成了定理A的證明.命題3.2設(shè)是一個(gè)正則Willmore曲面x:M→的共形Gauss映射,(u,v)為曲面的一個(gè)漸近坐標(biāo)系,則為M上整體定義的4-形式,且滿足證從(2.14)式知所以與漸近坐標(biāo)系的選取無關(guān),它們是M上整體定義的4-形式.由于是Willmore曲面,由(3.5)式知它的共形Gauss映射滿足于是存在函數(shù)a1,a2和b1,b2,使得由此得到命題3.3設(shè)是曲面x:M→的導(dǎo)出曲面,是由(3.2)式給出的曲面的一個(gè)局部提升,則有證利用(3.2)～(3.4)式得到于是,我們得到(3.7)式.證畢.現(xiàn)在我們來證明定理B.設(shè)x:M→是一個(gè)正則的類時(shí)曲面,y是x的一個(gè)局部提升,(u,v)是曲面x的漸近坐標(biāo)系.因?yàn)棣?Ω2≠0,從(2.14)和(3.1)式可知是中的一個(gè)活動(dòng)標(biāo)架.不妨設(shè),由此得到當(dāng)且僅當(dāng)也就是說,當(dāng)且僅當(dāng)它的導(dǎo)出曲面為常值映射(參見(3.8)式).由此推出定理B中的(i)和(ii)是等價(jià)的.則從(2.33)和(2.35)式得到且有由(3.2)式推出于是為常值映射.反之,如果是一個(gè)類時(shí)曲面,滿足為常值,其中我們可以找到從(2.32)式得到于是,由(3.13)式推出即φ1=φ2=0.從(3.13)式獲得由此得到H=0,即為極小曲面,因此定理B中的(ii)和(iii)也等價(jià).這就完成了定理B的證明.最后證明定理C.設(shè)x:M→是一個(gè)正則的Willmore曲面,則有Ω1Ω2≠0,并且由(3.8)式知設(shè)是x的導(dǎo)出曲面,其中由(3.2)式給出.由(3.8)、(3.11)和(3.12)式得到由(3.14)、(3.15)和(2.14)式得這樣,是一個(gè)類時(shí)曲面.因?yàn)閮蓚€(gè)曲面x,有相同的共形Gauss映射ξ,并且這個(gè)Gauss映射是極小的,故由定理A知也是Willmore曲面.由的