歐氏空間的類空向量

歐氏空間的類空向量

歐洲空間是一個線性空間，用于定義三維歐空間。假設e3是一個向量，和是e3的兩個向量，那么和的內積就是：，==p1y1，兩點，s3y3，并且，（x1、x1、x1）和（y1、y2、y3）是標準正交基和圓形空間的組件。當在3d線性空間中指定兩個向量時，表示三維線性空間中的兩個向量和它的內積如下。<α?β>=x1y1+x2y2-x3y3這樣的內積稱負指標為一的不定內積,定義了這樣內積的線性空間稱為三維Minkowski空間,用E31表示,它的度量為ds2=dx21+dx22-dx23.1類時向量不一定是類空平面(1)一個非零向量α∈E31,如果<α,α>>0,稱為類空向量;如果<α,α><0,稱為類時向量;如果<α,α>=0,稱為類光向量.零向量規(guī)定為類光向量.(2)任取α,β,γ∈E31,設α={x1,x2,x3},β={y1,y2,y3},γ={z1,z2,z3},定義α,β的外積為則有(α×β)γ=|x1x2x3y1y2y3z1z2z3|說明α×β與α,β所生成的平面中的任一向量λα+μβ(λ,μ是任意實數(shù))都是正交的.(3)直線的方向向量為類時向量,稱直線為類時直線.直線的方向向量為類空向量,稱直線為類空直線.(4)平面的法向量為類空向量時,稱平面為類時平面.平面的法向量為類時向量時,稱平面為類空平面.2類空向量的確定引理1E31中不存在兩兩正交的類時向量.定理1E31中兩平行向量對應坐標成比例.由向量線性相關性易證.定理2E31中兩平行向量要么都是類時向量,要么都是類空向量.證明假設有類時向量υ1={x1,x2,x3}與類空向量υ2={y1,y2,y3}平行,由預備知識(1)及定理1有x1y1=x2y2=x3y3=t與x21+x22-x32=-a2,故y12+y22-y32=-a2t2＜0與υ2為類空向量矛盾.證畢.定理3空間任一點P1(x1,y1,z1)到平面π:Ax+By+Cz+D=0的距離為d=|Ax1+By1+Cz1+D|ε(A2+B2-C2)ε=±1(1)證明過P1(x1,y1,z1)作平面的垂線,垂足為P0(x0,y0,z0),而平面的法向量為n={A,B,-C},與向量Ρ0Ρ1→平行,則由定理1及平面方程,可得x1-x0=A(Ax1+By1+Cz1+D)A2+B2-C2y1-y0=B(Ax1+By1+Cz1+D)A2+B2-C2z1-z0=C(Ax1+By1+Cz1+D)A2+B2-C2(2)(1)平面π為類時平面時,n為類空向量,由定理2?Ρ0Ρ1→為類空向量,故d=?Ρ0Ρ1→,Ρ0Ρ1→?=(x1-x0)2+(y1-y0)2-(z1-z0)2(3)將式(2)代入式(3),整理可得式(1)(此時ε=1).(2)平面π為類空平面時,n為類時向量,由定理2?Ρ0Ρ1→為類時向量,故d=-?Ρ0Ρ1→,Ρ0Ρ1→?=(z1-z0)2-(x1-x0)2-(y1-y0)2(4)將式(2)代入式(4),整理可得式(1)(此時ε=-1).證畢.定理4空間任一點P1(x1,y1,z1)到直線L:x-x0l=y-y0m=z-z0n的距離為d=ε1(|x1-x0y1-y0lm|2-|y1-y0z1-z0mn|2-|z1-z0x1-x0nl|2)ε2(l2+m2-n2)(5)其中εi=±1,i=1,2.證明過點P1(x1,y1,z1)作直線L的垂線,垂足為P2(x2,y2,z2),直線L的方向向量為υ={l,m,n},故有內積<υ,Ρ1Ρ2→>=0,再由定理1及直線方程L,可得根據(jù)定理3的證明,同理可得:(1)直線L為類時直線時,由引理,Ρ1Ρ2→為類空向量,點P1(x1,y1,z1)到直線L的距離為式(5)(此時ε1=-1,ε2=-1).(2)直線L為類空直線時,由引理1?Ρ1Ρ2→為類空向量或類時向量.①Ρ1Ρ2→為類空向量時,點P1(x1,y1,z1)到直線L的距離為式(5)(此時ε1=1,ε2=1).②Ρ1Ρ2→為類時向量,點P1(x1,y1,z1)到直線L的距離為式(5)(此時ε1=-1,ε2=-1).證畢.定理5空間異面直線L1:x-x1l1=y-y1m1=z-z1n1與直線L2:x-x2l2=y-y2m2=z-z2n2之間的距離為d=ε0|x2-x1y2-y1z2-z1l1m1n1l2m2n2|ε(|m1n1m2n2|2+|n1l1n2l2|2-|l1m1l2m2|2)(7)其中ε=±1,ε0=±1,ε0與行列式|x2-x1y2-y1z2-z1l1m1n1l2m2n2|的符號相同.證明設L1,L2的公垂線分別交直線L1,L2于點P3(x3,y3,z3),P4(x4,y4,z4),則P3P4為異面直線L1,L2的距離.由<Ρ3Ρ4→,υ1>=0與<Ρ3Ρ4→,υ2>=0,可解得<Ρ3Ρ4→?Ρ3Ρ4→>=|x2-x1y2-y1z2-z1l1m1n1l2m2n2|(|m1n1m2n2|2+|n1l1n2l2|2-|l1m1l2m2|2)(|m1n1m2n2|2+|n1l1n2l2|2-|l1m1l2m2|2)2由預備知識(2)可知,為<υ1×υ2,υ1×υ2>,其中υ1={l1,m1,n1},υ2={l2,m2,n2}分別為直線L1,L2的方向向量,于是根據(jù)定理3的證明,同理可得:(1)L1為類時直線,L2為類時直線時,由引理,預備知識(2)及定理2可知,υ1×υ2與Ρ3Ρ4→平行,均為類空向量,直線L1,L2之間的距離為式(7)(此時ε=1).(2)L1為類時直線,L2為類空直線或L1為類空直線,L2為類時直線時,由引理,Ρ3Ρ4→為類空向量,此時,直線L1,L2之間的距離同(1).(3)L1為類空