停線-域相容性的等價(jià)刻畫

停線-域相容性的等價(jià)刻畫

1對(duì)s1b32.的條件如上所述，merzbau居基尼fz、zua20或fzfz=fzzu、zu和z。并提出問題,對(duì)任意的停線λ、μ是否有Fλ∩Fμ=Fλ∧μ。聶贊坎在文中附加F3′、F4′條件,得到這個(gè)結(jié)果。本文在較弱的可乘性條件下,并附加F3′條件得到了這個(gè)結(jié)果,給出了停線σ-域相容的幾個(gè)等價(jià)條件,證明了加強(qiáng)形式的停止定理,并推廣了該加強(qiáng)形式的停止定理。設(shè)z1=(x1,y1),z2=(x2,y2)∈R2+,規(guī)定z1≤z2?x1≤x2,y1≤y2.z1<z2?x1<x2,y1<y2.對(duì)R2+中任意子集A,令ΗA-=∪z∈A[0,z),ΗA=∪z∈A[0,z],,ΗA+=∪z∈A(z,∞)其中[z1,z2)={z:z1≤z<z2},其余可類似定義。集A稱為不可比較集,若HA∩HA+=ue001φ;集A稱為分割線集,若它是閉的,不可比較且滿足HA-∪HA+∪A∪(H{0}+)c=R2+用S表示R2+中全體分割線集。R2+中的線稱為階梯的,若它是由有限條平行于坐標(biāo)軸的有限直線節(jié)組成的并,階梯分割線稱為簡(jiǎn)單分割線。(Ω,F,P)是完備概率空間,F的子σ-域族{Fz,z∈R2+}滿足通常F1～F3條件。對(duì)任意子集A?R2+,令FA=∨z∈AFzF*z=F1s∨F2t,其中z=(s,t).映射λ:Ω-S∪{∞}稱為停線,若?z∈R2+,{w,zˉ≤λ(w)}∈Fz,其中zˉ={z′:z′≤z}∩{z′:z′<z}cˉz={z′:z≤z′}∩{z′:z<z′}c.設(shè)λ為停線,令Fλ={A:A∈F∞,A∩{λ≤Γ}∈FΓ,??！蔛}F*λ={A:A∈F∞,A∩{λ≤ˉz}∈F*z,?z∈R2+}定義1(可乘性)稱σ-域族{Fz,z∈R2+}滿足可乘性,若?Γ1,Γ2∈S,有FΓ1∩FΓ2=FΓ1∧Γ2定義2(相容性)設(shè)R2+的任意子集族{Aα,α∈Δ}滿足F∩Aαα∈Δ=∩α∈ΔFAα,稱σ-域族{FAα,α∈Δ}是相容的。定義3若停線σ-域族{Fλα,α∈Δ}滿足∩α∈ΔFλα=F∧α∈Δλα,則稱停線σ-域族{Fλα,α∈Δ}是相容的。本文第三部分附加F3′條件。2tf條件下,(1)停線σ-域族是相容的。(2)分割線σ-域族是相容的。(3)σ-域族滿足F3′條件及可乘性。(4)Fλ=F*λ,其中λ為停線。(5)FΓ=∩Γ＜ˉzF*z,其中Γ∈S證明(1)?(2)?(3),顯然。往證(3)?(4)。Fλ?F*λ顯然,只證F*λ?Fλ。設(shè)Γ為簡(jiǎn)單分割線,不妨設(shè)Γ=n∧i=1ˉzi。由文定理2.1知,停線λ是Fλ可測(cè)的,則{λ≤Γ}∈FΓ?F*zi。設(shè)A∈F*λ,則A∩{λ≤ˉzi}∈F*zi而A∩{λ≤Γ}=A∩{λ≤ˉzi}∩{λ≤Γ}∈F*zi.故A∩{λ≤Γ}∈n∩i=1F*zi=Fn∧iˉzi=FΓ。設(shè)??！蔛,Γn為簡(jiǎn)單分割線列,且Γn↓Γ。則A∩{λ≤Γ}=∞∩i=1(A∩[λ＜Γi])∈∞∩i=1FΓi=FΓi。故A∈Fλ,即F*λ?Fλ。往證(4)?(1),由于F*λ=Fλ,只要證明∩α∈ΔF*λα=F*∧α∈Δλα即可,F*∧α∈Δλα?∩α∈ΔF*λα顯然,現(xiàn)證∩α∈ΔF*λα?F*∧α∈Δλα。設(shè)A∈∩α∈ΔF*λα,即?z∈R2+,有A∩{λα≤ˉz}∈F*z。而A∩{∧α∈Δλα≤ˉz}=∪α∈Δ(A∩[λα≤ˉz])∈F*z,?z∈R2+。故A∈F*∧α∈Δλα。往證(4)?(5),只證∩Γ＜ˉzF*z?FΓ。設(shè)A∈∩Γ＜ˉzF*z,則對(duì)Γ<ˉz的每個(gè)z,都有A∈F*z。?z∈R2+,A∩{Γ＜ˉz}={A當(dāng)Γ＜ˉz時(shí)φ當(dāng)?！凇時(shí)}∈F*z故A∩{?！堋}=∞∩n=1(A∩[Γ＜ˉz+1n])∈∞∩n=1F*z+1n=F*z(這里用到F3′,因?yàn)?4)?(3))。故A∈F*Γ=FΓ,即∩Γ＜ˉzF*z?FΓ.往證(5)?(3)。先證F3′條件成立。設(shè)Γn,?！蔛,且Γn↓Γ,只證∞∩n=1FΓn?FΓ。對(duì)Γ<ˉt的任意t,由Γn↓Γ,則存在N,當(dāng)n≥N時(shí),有Γn<ˉt。設(shè)A∈∞∩n=1FΓn,則A∈FΓN?F*t。故A∈∩Γ＜ˉtF*t=FΓ。再證可乘性,由FΓ=∩Γ＜ˉtF*t及集合運(yùn)算易得。推論1在F3′條件下,σ-域族{Fz,z∈R2+}滿足可乘性的充要條件是對(duì)任意兩個(gè)停線λ,μ,有Fλ∩Fμ=Fλ∧μ。推論2在F3′條件下,σ-域族{Fz,z∈R2+}滿足可乘性和F4條件等價(jià)于F4′條件。證明若σ-域族{Fz,z∈R2+}滿足F4條件,由文命題7知,FΓ1、FΓ2關(guān)于FΓ1∩FΓ2條件獨(dú)立,而FΓ1∩FΓ2=FΓ1∧Γ2。故FΓ1、FΓ2關(guān)于FΓ1∧Γ2條件獨(dú)立。故F4′成立。反之由文定理1知F4′條件等價(jià)于G(F4′)條件,從而易知可乘性與F4條件成立。3m為軸上為零的強(qiáng)監(jiān)定義4稱形如(i2n,j2n)(i,j為整數(shù),n為自然數(shù))的點(diǎn)為二進(jìn)點(diǎn)。定義5設(shè)λ是有界階梯停線,則按下述方法定義Mλ:設(shè)Z1(ω),Z2(ω),…,Zn(ω).(n≥3),?ω∈Ω,為第一個(gè)坐標(biāo)增加排列的λ(ω)的暴露點(diǎn),這時(shí)Μλ?n-1∑i=1(ΜΖi+1∨Ζi-ΜΖi)-ΜΖn。定義6設(shè)λ為有界階梯停線,Hλ表示λ的歷史,則Hλ為有限個(gè)矩形之并,定義Mλ,Mλ?M(Hλ).定理2設(shè)M為軸上為零的強(qiáng)鞅,Z0∈R2+,λ,μ為二進(jìn)階梯停線,且λ≤Ζˉ0,μ≤Ζˉ0,則E(Mλ|Fμ)=Mλ∧μ。證明由文知,Mλ∈Fλ,從而Mλ∧μ∈Fλ∧μ?Fμ。不妨設(shè)λ、μ是暴露點(diǎn)形如(i2n,j2n)的階梯停線,且λ≤Ζˉ0,μ≤Ζˉ0。用T表示形如(i2n,j2n)的二進(jìn)點(diǎn)組成的集合,若t∈T,其中t+=(i+12n,j+12n),記Δt=(t,t+],于是Μλ-Μλ∧μ=Μ(Ηλ-Ηλ∧μ)=∑t∈ΤΜ(Δt)1(λ∧μ≤tˉ)1(tˉ＜λ)設(shè)A∈Fμ,則A∩(λ∧μ≤tˉ)∩(tˉ＜λ)={[A∩(λ≤tˉ)]∪[A∩(μ≤tˉ)]∩(tˉ＜λ)}=[A∩(λ≤tˉ)∩(tˉ＜λ)]∪[A∩(μ≤tˉ)∩(tˉ＜λ)]因?yàn)?λ≤tˉ)c=(tˉ＜λ),故A∩(λ≤tˉ)∩(tˉ＜λ)=φ。又因?yàn)锳∈Fμ,則(μ≤tˉ)∈Ftˉ=Ft*。由文定理2.2知,(tˉ＜λ)∈Ftˉ?Ft*,故A(λ∧μ≤tˉ)∩(tˉ＜λ)∈Ft*。于是E[(Μλ-Μλ∧μ)1A]=∑t∈ΤE(E(Μ(Δt)1A1(λ∧μ≤tˉ)1(tˉ＜λ)|Ft*))=∑t∈ΤE(1A1(λ∧μ≤tˉ)1(tˉ＜λ)E(Μ(Δt)|Ft*))=0即E[Mλ-Mλ∧μ|Fμ]=0故E[Mλ|Fμ]=Mλ∧μ。定理3(加強(qiáng)形式的停止定理)設(shè)M為軸上為零的強(qiáng)鞅,Ζ0∈R+2,λ≤Ζˉ0,μ≤Ζ0的停線,則E[Mλ|Fμ]=Mλ∧μ。證明設(shè)λn,μn為二進(jìn)階梯停線列,且λn↓λ,μn↓μ。由文及定理2有E[ΜΖˉ0|Fλn|Fμn]=E[Μλn|Fμn]=Μλn∧μn=E[ΜΖˉ0|Fλn∧μn].由文引理2.11知,當(dāng)n→∞時(shí),有E[ΜΖˉ0|Fλ|Fμ]=E[ΜΖˉ0|Fλ∧μ]故由文定理1,有E[Μλ|Fμ]=E[FΖˉ0|Fλ|Fμ]=E[ΜΖˉ0|Fλ∧μ]=Μλ∧μ.定理4設(shè)M為軸上為零的強(qiáng)鞅,Ζ0∈R+2,λ≤Ζˉ0,μ為任意的停線,則有E[Mλ|Fμ]=Mλ∧μ.證明從定理2,定理3的證明過程看,若μ為