2023-2024學年貴州省納雍縣第五中學高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2023-2024學年貴州省納雍縣第五中學高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．過點作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或3．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線交雙曲線右支于A、B兩點，若是等腰三角形，且，則的周長為（）A. B.C. D.4．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，首項a1=1，若，則公差d的取值范圍為（）A. B.C. D.6．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點，點、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.7．一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，另兩名員工數(shù)據(jù)不清楚，那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64008．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.9．2018年，倫敦著名的建筑事務所steynstudio在南非完成了一個驚艷世界的作品一一雙曲線建筑的教堂，白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座教堂輕盈，極簡和雕塑般的氣質(zhì)，如圖．若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點在y軸上的雙曲線下支的一部分，且該雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，到漸近線距離為12，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.211．已知點為直線上任意一點，為坐標原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（）A. B.C. D.12．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以雙曲線的右焦點為圓心，為半徑的圓與的一條漸近線交于兩點，若，則雙曲線的離心率為_________14．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標是_____________15．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組16．已知過點作拋物線的兩條切線,切點分別為A、B,直線經(jīng)過拋物線C的焦點F,則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是數(shù)列的前n項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的前n項和.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，是等邊三角形.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.20．（12分）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線方程21．（12分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為3，對角線，將△沿著對角線BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一點M，且平面ABCD，（1）求證：平面平面ABD；（2）求點M到平面ABE的距離；（3）求二面角的正弦值22．（10分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)復數(shù)在復平面內(nèi)的坐標表示可得答案.【詳解】解：由題意得：在復平面上對應的點為，該點在第四象限.故選：D2、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為1，當切線的斜率不存在時，即直線的方程為，不與圓相切，當切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C3、A【解析】設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長.【詳解】由雙曲線可得設(shè)，．則，，所以，因為是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.4、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A5、A【解析】該等差數(shù)列有最大值，可分析得，據(jù)此可求解.【詳解】，故，故有故d取值范圍為.故選：A6、A【解析】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接、，分析可知、、三點共線，設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接、，如下圖所示：因為為、的中點，則四邊形為平行四邊形，可得且，因為，故、、三點共線，設(shè)、，易知點，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.7、D【解析】解：∵一個公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴當另外兩名員工的工資都小于5300時,中位數(shù)為(5300+5500)÷2=5400，當另外兩名員工的工資都大于5300時,中位數(shù)為(6100+6500)÷2=6300，∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300]，∴8位員工月工資的中位數(shù)不可能是6400.本題選擇D選項.8、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因為，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C9、A【解析】設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，即，上焦點的坐標為，其中一條漸近線為，上焦點到漸近線的距離為，則，解得，，即，故選：.10、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點即可求出,進而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標準方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.11、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點坐標.【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點，由得：，以為直徑的圓恒過定點.故選：D.12、D【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得，化簡整理得到，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的一個焦點到其一條漸近線為，所有由題意可得，即，則，所以離心率,故答案為：.14、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標為故答案為：15、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進行計算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別；乙組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別，因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：16、64【解析】用字母進行一般化研究,先求出切點弦方程,再聯(lián)立化簡,最后代入數(shù)據(jù)計算【詳解】設(shè),點處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點處的切線方程為,整理得同理,點處的切線方程為設(shè)為兩切線的交點,則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經(jīng)過焦點所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【點睛】結(jié)論點睛:過點作拋物線的兩條切線,切點弦的方程為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）當時，化簡得到，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項法，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數(shù)列的前n項和，且，當時，，當時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，可得，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，【小問2詳解】解：，.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）利用余弦定理，結(jié)合三棱錐的等積性進行求解即可.【小問1詳解】證明：設(shè)，因為是等邊三角形，且，所以是的中點，則.又，所以，所以，即.又平面平面，所以.又，所以平面.因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】解：因為，所以.在中，，所以，則又平面，所以.如圖，連接，則，所以.設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，解得，即點到平面的距離為.20、（1）．（或標準形式）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意，求出中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心的坐標，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案【小問1詳解】解：根據(jù)題意，因為圓過兩點，，設(shè)的中點為，則，因為，所以的中垂線方程為，即又因為圓心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，【小問2詳解】解：當過點P的切線的斜率不存在時，此時直線與圓C相切當過點P的切線斜率k存在時，設(shè)切線方程為即（*）由圓心C到切線的距離，可得將代入（*），得切線方程為綜上，所求切線方程為或21、（1）證明見解析；（2）1；（3）.【解析】（1）過E作EO垂直于BD于O，連接AO，由勾股定義易得，由菱形的性質(zhì)有，再根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標系，確定相關(guān)點的坐標，進而求的坐標及面ABE的法向量，應用空間向量的坐標運算求點面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，結(jié)合（2）中面ABE的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值，進而求其正弦值.【小問1詳解】過E作EO垂直于BD于O，連接AO，因為，，故，同理，又，所以，即因為ABCD為菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD【小問2詳解】以O(shè)為坐標原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，面ABE的法向量為，所以，令，則又，則點M到面ABE的距離為【小問3詳解】由（2）得：面ABE的一個法向量為，且，若面MBA的法向量為，則，令，則所以，故二面角正弦值為22、（1）答案見解析；（2）.【解